3.3 二维连续型随机变量ppt课件

1、13.3 二维连续型随机变量二维连续型随机变量2(,)( , ),X YF x y定定义义：对对于于二二维维随随机机变变量量的的分分布布函函数数( , ),f x yx y 如如果果存存在在非非负负的的函函数数，使使得得有有R( , )( , ) d d ,xyF x yf x yx y (,),X Y则则称称是是连连续续型型的的二二维维随随机机变变量量( , )(,),f x yX Y称称为为二二维维随随机机变变量量联联合合概概率率密密度度的的简简称称概概率率密密度度. .函数函数一一.二维连续随机变量的的定义二维连续随机变量的的定义( , ) ddd( , ) d .xyxyf x yxy

2、xf x yy 3联联合合密密度度函函数数),(yxf具具有有以以下下性性质质： ( ,)( ,)d dxyF x yf x yx y 定理定理3.53.5任何联合概率密度都具有上述两条性质；任何联合概率密度都具有上述两条性质； 以上两条性质的二元函数必可作为联合概率密度以上两条性质的二元函数必可作为联合概率密度. 凡是满足凡是满足(x,y)( , )(,)( , )d dxyDF x yP Xx Yyf x y x y xyD42( ,)( , )( ,).Ff x yx yf x yx y 若在点处连续，则(, )( , )(, )( , )d d .DX Yf x yPX YDf x y

3、x y若，则( ,)( ,)d dxyF x yf x yx y D概率的计算概率的计算5二维连续随机变量(X,Y)的联合分布函数为在例3.1中：21( , )arctanarctan, ,.2223xyF x yx y R其概率密度为：221( ,)arctanarctan2223xyf x yx y 2212arctan423yyx2226( ,).(4)(9)x yxy R .22212349xy .6例例3.5 3.5 设二维连续随机变量设二维连续随机变量( (X, ,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为解解(23 )e, 0,0( , )0 , xyAxyf x y其他2300e

4、dedxyAxy(1) 由正则性得由正则性得1( , )d df x yx y 1,6A6.AxyO632 yx23D230011(e)|(e)|23xyA(23 )00d dxyAx y e7(23 )6e, 0,0( , )0 , xyxyf x y其他(23 )006ed d ,0,00, xyxyx y xy 其他 xyyxyxfyxFdd),(),()2(23(1 e)(1 e),0,0.0, xyxy其他2300116(e)| (e)| ,0,0230, xxyyxy其他23006eded ,0,00, xyxyxy xy其他( , )x y8),()3(DYXP Dyxyxfdd

5、),(13(6 2 )233006ededxxyxy32602(ee )dxx2636012(ee)|1 7e.2xx (23 )6e, 0,0( , )0 , xyxyf x y其他xyO632 yx23D1(6 2 )32330016e(e)|d3xxyx9例例3.6 3.6 设二维随机变量设二维随机变量( (X, ,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为解解1( , )d dx yf x yx y (1)(1)P XY4,01,01( , ),0,xyxyf x y其他1100d4dxxxy y1xyGOxy4d dGxy x y12 1002|dxxyx23410411()|.326

6、xxx1202 (1) dxxx(1,1)1(,)( , )|1XYX Yx y x y 10(2)()P XY4d dGxy x y100d4dxxxy yxyOyx(1,1)G12002| dxxyx134 100112d|.22xxx(,)( , )|XYX Yx y x y( , )d dx yf x yx y11 设设G是平面上的有界区域是平面上的有界区域, 其面积为其面积为SG. 若二维随机变量若二维随机变量( X,Y )具有概率密具有概率密度度1,( , )( , ) 0, Gx yGSf x y其他则称则称( X,Y )在在G上服从上服从均匀分布均匀分布. 若若( X,Y)服从

7、区域服从区域G上的均匀分布上的均匀分布, 则对于则对于G中任一子区域中任一子区域 D, 有有DD1( , )( , )d dd d.DGGSP X YDf x yx yx ySS二维均匀分布二维均匀分布G12 于是于是( X,Y )落在落在G中任一子区域中任一子区域 D 的概率与的概率与 D 的面积成正比的面积成正比, 而与而与 D的形状和的形状和位置无关位置无关. 在这个意义上我们说在这个意义上我们说,服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域服从某区域上均匀分布的二维随机变量在该区域内是内是“等可能等可能”的的.13例例3.73.7 设国际市场上甲、乙两种产品的需求量（单位：设国际市场上甲

8、、乙两种产品的需求量（单位：吨）是服从区域吨）是服从区域 ,|20004000, 30006000Hx yxy 上的均匀分布上的均匀分布, 试求两种产品需求量的差不超过试求两种产品需求量的差不超过1000吨吨的概率的概率. 解解 设甲、乙两产品的需求量分别是设甲、乙两产品的需求量分别是X和和Y,则则(X,Y)的联合概率密度为的联合概率密度为61, ( , ),( , )6 100, 其 它.Hx yf x y 14所求概率为所求概率为: | 1000PXY | 1000( ,)d dxyf x yx y 261(2000)26 10 1.3 61d d6 10Gx y 1000yx1000yx

9、 HG2000400060003000 xyO| 100010001000X YYX 15二二.二维随机变量的边缘概率密度二维随机变量的边缘概率密度设设( X,Y )是连续型二维随机变量，其联合概率密度为是连续型二维随机变量，其联合概率密度为, ),(yxf由于由于( )( ,)XF xF x( ,)d dxf x yx y ( , )ddxf x yyx，因此，因此， X 的概率密度为的概率密度为( )( , )dXfxf x yy，同理同理, Y 的概率密度为的概率密度为( )( , )d .Yfyf x yx16定理定理3.6 设二维连续型随机变量设二维连续型随机变量( X,Y ) 的联

10、合概率密度为的联合概率密度为 则则, ),(yxf( )( , )dXfxf x yy，( )( , )d .Yfyf x yx分别称为分别称为 (X,Y) 关于关于 X 和关于和关于Y的边缘概率密度的边缘概率密度.17解解例3.8设设( (X, ,Y ) )的联合概率密度为的联合概率密度为 求关于求关于 X 及及Y 的边缘概率密度的边缘概率密度. . 关于关于X, Y的边缘概率密度分别为的边缘概率密度分别为128d4 (1)01( ).0 xXxy yxxxfx其他,010,08),( 其其他他yyxxyyxf308d401( ).0yYxy xyyfy其他xy011xy 18x1 11 y

11、1补充例题：补充例题：设二维随机变量设二维随机变量( (X, ,Y) )的联合概率密度为的联合概率密度为 其他其他 , 01 ,1),(22yxyxf 求关于求关于 X 及及Y 的边缘概率密度的边缘概率密度. . 解解关于关于X边缘概率密度为边缘概率密度为 ( )( , )dXfxf x yy22111d | | 10,xxy x，其他22 1,| 1,0,xx其他21 xy 21 xy x22 1,| 1( )0,Yyyfy同理,其他19 其其他他,00, 10),2(),(xyxxcyyxf求求 (1) c 的值；的值；(2) 关于关于X,Y的边缘概率的边缘概率密度密度.100d(2)dxxcyxy( , )d df x yx y 解解 (1)524c设设 (X, Y ) 的联合概率密度是的联合概率密度是 作业作业3.133.13：xy01xy 1,24.5c120(2)d2cx xxx20 其其他他,00, 10),2(524),(xyxxyyxfxyO1xy 024(2)d 0150,xyxyx，其他212(2) ,01,50,xx