高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 3.1 二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式高效演练 新人教A版选修45

1、我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发

2、 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 3.1 3.1 二维形式的柯西不等式二维形式的柯西不等式 3.2 一般形式的柯西不等式 a 级 基础巩固 一、选择题 1函数yx526x的最大值是( ) a.3 b.5 c3 d5 解 析 ： 根 据 柯 西 不 等 式 ， 知y 1x

3、5 26x1222（x5）2（ 6x）25. 答案：b 2已知x，y，z均大于 0，且xyz1，则1x4y9z的最小值为( ) a24 b30 c36 d48 解析：(xyz)1x4y9zx1xy2yz 3z236， 所以1x4y9z36. 答案：c 3已知a，b0，且ab1，则(4a14b1)2的最大值是( ) a26 b.6 c6 d12 解析：(4a14b1)2(14a114b1)2(1212)(4a14b1)24(ab)22(412)12， 当且仅当4a14b1，即ab时等号成立 答案：d 4已知a1b2b1a21，则以下成立的是( ) aa2b21 ba2b21 ca2b21 da2

4、b21 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调

5、 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 解析： 由柯西不等式， 得 1a1b2b1a2a2（1a2） （1b2）b21， 当且仅当b1a21b2a时，上式取等号， 所以ab1a2 1b2， 即a2b2(1a2)(1b2)， 于是a2b21. 答案：b 5 已知a21a

6、22a2n1，x21x22x2n1， 则a1x1a2x2anxn的最大值为( ) a1 b2 c1 d不确定 解析：因为(a1x1a2x2anxn)2(a21a22a2n)(x21x22x2n)111， 当且仅当aikxi(i1，2，n)时等号成立 所以a1x1a2x2anxn的最大值是 1. 答案：a 二、填空题 6函数yx15x的最大值是_ 解析：因为(x15x)2(11)(x15x)8， 当且仅当x15x，即x3 时，等号成立，所以x15x22，函数y取得最大值 22. 答案：22 7已知x，y，zr，且xyz1，则x2y2z2的最小值为_ 解析：根据柯西不等式，x2y2z213(121

7、212)(x2y2z2)13(1x1y1z)213(xyz)213，当且仅当xyz时等号成立 答案：13 8若函数yax164x的最大值为 25，则正数a的值为_ 解析：(ax164x)2a x12 32x2(a24)x132x52(a24)，由已知得52(a24)20，解得a2. 又因为a0，所以a2. 答案：2 三、解答题 我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化

8、 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域 发 展 不 平 衡 、

9、城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 9已知m0，n0，mnp，求证：1m1n4p，指出等号成立的条件 证明：根据柯西不等式，得1m1n(mn) m1m n1n24. 于是1m1n4mn4p. 当mnp2时等号成立 10已知实数x，y，z满足x2yz1，求tx24y2z2的最小值 解：由柯西不等式得 (x24y2z2)(111)(x2yz)2. 因为x2yz1， 所以 3(x24y2z2)1，即x24y2z213. 当且仅当x2yz13，即x13，y16，z13时等号成立故x24y2z2的最小值为13. b 级 能力提升 1已知 2x3

10、y4z10，则x2y2z2取到最小值时的x，y，z的值为( ) a.53，109，56 b.2029，3029，4029 c1，12，13 d1，14，19 解析：当且仅当x2y3z4时，取到最小值，所以联立x2y3z4，2x3y4z10，可得x2029，y3029，z4029. 答案：b 2已知 4x25y21，则 2x 5y的最大值是_ 解析： 因为 2x5y2x15y 1（2x）2（ 5y）2 1212 1 22， 所以 2x5y的最大值为2. 答案：2 3已知正数x，y，z满足xyz1. (1)求证：x2y2zy2z2xz2x2y13； (2)求 4x4y4z2的最小值 我 国 经 济

11、 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域我 国 经 济 发 展 进 入 新 常 态 ， 需 要 转 变 经 济 发 展 方 式 ， 改 变 粗 放 式 增 长 模 式 ， 不 断 优 化 经 济 结 构 ， 实 现 经 济 健 康 可 持 续 发 展 进 区 域 协 调 发 展 ， 推 进 新 型 城 镇 化 ， 推 动 城 乡 发 展 一 体 化 因 ： 我 国 经 济 发 展 还 面 临 区 域发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 发 展 不 平 衡 、 城 镇 化 水 平 不 高 、 城 乡 发 展 不 平 衡 不 协 调 等 现 实 挑 战 。 (1)证明：x2y2zy2z2xz2x2y(y2zz2xx