勾股定理的九种证明方法附图(共7页)

1、 . 勾股定理的证明方法 一、传说中毕达哥拉斯的证法（图1） 左边的正方形是由1个边长为的正方形和1个边长为的正方形以及4个直 角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为 的正方形和4个直角边分别为、，斜边为的直角三角形拼成的。因为这两 个正方形的面积相等(边长都是)，所以可以列出等式 ，化简得。 二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图3） 这个直角梯形是由2个直角边分别为、，斜边为 的直角三角形和1个直 角边为 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所 以可以列出等式，化简得。 三、相似三角形的证法： 4.相似三角形的方法：在学习了相似三

2、角形以后，我们知道在直角三角 形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三A 角形相似。 如图，RtABC中，ACB=90°。作CDAB，垂足为D。则 BCDBAC，CADBAC。 2由BCDBAC可得BC=BD × BA， D 2=AD × AB。ACBACCAD由可得 B C 1 / 5 . 我们发现，把、两式相加可得AD+BB）+A=AAD+BD=A=A因此B+A，这就=+。这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识四、古人的证法如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，以，他肯令出入相补，各从

3、其为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配勾股各自乘，并之为弦实，开方了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，之，即弦为简明、直观五、项明达证法b>作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别a、把它们拼成如图所示的多边形，使E再做一个边长为c的正方形. 斜边长为c. . C三点在一条直线上A、P. 于点BC，交ACQP 过点Q作 ；再过点PQ，垂足为M过点B作BM N. ，垂足为PQ F作FN BC，BCA = 90°，QP MPC = 90°， ， BMPQ ，BMP = 90° . 是一个矩形，即MB

4、C = 90° BCPM QBA =90 °，QBM + MBA = MBC = 90°MBA = ABC + ， 2 / 5 . QBM = ABC， 又 BMP = 90°，BCA = 90°，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. 同理可证RtQNF RtAEF.即a2+b2=c2 六、欧几里德射影定理证法 ： 如图，RtABC中，ABC=90°，AD是斜边BC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下： 1）（BD）2;=AD·DC， （2）（AB）2;=AD·AC ， （3）（BC）2;=CD

5、·AC 。 由公式（2）+（3）得： （AB）2;+（BC）2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）2;， 即 （AB）2;+（BC）2;=（AC）2 七、杨作玫证法： 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c. 再做一个边长为c的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形. 过A作AFAC，AF交GT于F，AF交DT于R. 过B作BPAF，垂足为P. 过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为E，DE交AF于H. BAD = 90o，PAC = 90o， DAH = BAC. 又 DHA = 90o

6、，BCA = 90o， DGaAD = AB = c， c. BCADHA Rt Rt12b9. ，AH = AC = b DH = BC = ac PBCA 是一个矩形，由作法可知， AFPRH8 即PB = BCA. APB 所以 Rt Rt . PH = baCA = b，AP= a，从而T5463BCA , RtDGT Rtbcc. BCA RtRtDHA Q. DHA Rt RtDGT 7aCBE HDA . DH = DG = a，GDT = o，o，DHF = 90又 DGT = 90 o，TDH = 90TDH = HDA+ GDH = GDT + . DGFH 是一个边长为a

7、的正方形. a ，TF = GTGF = b GF = FH = a . TFAF .a）FP=a +a，下底BP= b，高（b是一个直角梯形， TFPB上底TF=b 为边长的正方形的面积为用数字表示面积的编号（如图），则以c2S?SS?S?cS 5412311?2a?a?a?S?SS?bb?b?abb? 48322= ， 3 / 5 . S?S?S， 98512?ab?S?bSS?2?S?bS 8342 = . 81把代入，得 22?S?S?SS?S?b?cS 9182812b?S?S22a?b. = = 92222a?b?c. 八、陈杰证法： 设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>

8、;a），斜边的长为c. 做两个边长分别为a、b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上. 用数字表示面积的编号（如图）. B在EH = b上截取ED = a，连结DA、DC， . AD = c则 c ， EM = EH + HM = b + a , ED = a5c4?ab?b. a = bED = DM = EMFA ，CMD = 90o，CM = a又 aCG AE = b，AED = 90o， 23cb. DMCAED Rt Rtaac17. DC = AD = cEAD = MDC， 6 o，ADC+ MDC =180 ADE + aEDbMH A

9、DE + EAD = 90o，ADE + MDC = . oADC = 90. 的正方形是一个边长为cDC，CBDA，则ABCD 作AB o，FAD = 90BAF + FAD = DAE + . DAE BAF= ADE中，连结FB，在ABF和 DAE，AB =AD = c，AE = AF = b，BAF= . ADEABF . BF = DE = a AFB = AED = 90o，. 在一条直线上F、G、H 点B、 RtABF和BCG中，在Rt AB = BC = c，BF = CG = a，. RtBCGABF Rt222SS?Sa?S?Sb?S?S?c?SS? ， ， ， 671232345 S?SS?S?S ， 7651422S?S?S?ab?S?S 63127?SS?SSS? =72631S?SSS =53242c =4 / 5 . baba222b?caA . DAD 九、辛卜松证法aaa abc c ab a aa2的正a+.作边长设直角三角形两直角边的长分别为a，斜边的长aCbBBb