圆锥曲线的定义方程和性质知识总结

1、椭圆的定义、性质及标准方程1. 椭圆的定义 ：第一定义：平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做椭圆。这 两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义： 动点 M 到定点 F 的距离和它到定直线 l 的距离之比等于常数 e(0 e 1) ，则动点 M 的 轨迹叫做椭圆。定点 F 是椭圆的焦点，定直线 l 叫做椭圆的准线，常数 e 叫做椭圆的离心率。说明： 若常数 2a等于2c ，则动点轨迹是线段 F1F2 。若常数 2a小于 2c ，则动点轨迹不存在。2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程22x 2 y 2 1( a b 0)

2、a 2 b2 中心在原点，焦点在 x 轴上22y2 x2 1(a b 0)ab 中心在原点，焦点在 y 轴上图形范围x a，y bx b，y a顶点A1 a，0 、 A2 a，0B1 0， b 、B2 0， bA1 0， a 、 A2 0， aB1 b，0 、 B2 b，0对称轴x 轴、 y 轴； 长轴长 2a ，短轴长 2b ； 焦点在长轴上x 轴、 y 轴； 长轴长 2a ，短轴长 2b ； 焦点在长轴上焦点F1 c，0 、 F2 c，0F1 0， c 、F2 0， c焦距F1F2 2c(c 0)F1F22c(c 0)离心率e c (0 e 1) ace( 0 e 1)a准线2 a xc2

3、 a yc参数方程与 普通方程x a222 y2 1 的参数方程为2 b2x a cos为参数y b sin22y2 x2 1的参数方程为 a 2 b2y a cos为参数x b sin3. 焦半径公式： 椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式： 椭圆焦点在 x轴上时，设F1、F2分别是椭圆的左、 右焦点， P x0，y0 是椭圆上任一点，则 PF1 a ex0 ， PF2 a ex0 。推导过程： 由第二定义得 PF1 e（ d1为点 P到左准线的距离） d1a2则 PF1 ed1 e x0ex0 a a ex0 ；同理得 PF2 a ex0 。c简记为：左“”右“” 。 由

4、此可见，过焦点的弦的弦长是一个仅与它的中点的横坐标有关的数。2 2 2 2x 2 y2 1 ； 若 焦 点 在 y 轴 上 ， 则 为 y2 x 2 1 。 有 时 为 了 运 算 方 便 ， 设 a b a b22mx ny 1(m 0,m n) 。双曲线的定义、方程和性质1 定义（1）第一定义：平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于定长2a（小于 |F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。说明： |PF1|-|PF2|=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；若 2a=|F1F2|，轨迹是以 F1、F2 为端点的射线； 2a>|F1F2|时无轨迹。 设 M是双曲线上任意一点，若

5、 M点在双曲线右边一支上，则 |MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF 2|=2a；若 M 在 双曲线的左支上，则 |MF1 |<|MF 2|， |MF 1 |-|MF 2|=-2a，故|MF 1|-|MF 2|= ±2a，这是与椭圆不同的地方。 （2）第二定义：平面内动点到定点 F 的距离与到定直线 L 的距离之比是常数 e（e>1）的点的轨迹叫 双曲线，定点叫焦点，定直线 L 叫相应的准线。2 双曲线的方程及几何性质标准方程x2 y 2x2 y 2 1(a 0,b 0) ab22yx2 2 1(a 0, b 0)ab图形焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1

6、（0，-c），F2（0，c）顶点A1（a，0），A 2（-a，0）A 1（ 0， a）， A 2（0，-a）对称轴实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 x 轴上，c2=a2+b22 2 2实轴 2a，虚轴 2b，实轴在 y 轴上， c2=a2+b 2离心率c | MF 2 | ea | MD |c | MF 2 | ea | MD |准线方程a2a 22a 2l1:x ac ,l2 :x ac 准线间距离为 2aca 2a22 a2l1:y ac ,l2 :y ac 准线间距离为 2ac渐近线方程x yx y0, 0 a ba bx yx y0, 0 b ab a3 几个概念1） 等轴双曲线：实、虚

7、轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为 2 。2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线，例：2222x2y21的共轴双曲线是x2y21 。a2b2a2b2 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。抛物线标准方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线， 定点 F 为抛物线的焦点，定 直线 l 为抛物线的准线。注： 定义可归结为“一动三定” ：一个动点设为 M ；一定点 F （

8、即焦点）；一定直线 l （即准线）； 一定值 1（即动点 M 到定点 F 的距离与它到定直线 l 的距离之比 1） 定义中的隐含条件：焦点 F 不在准线 l 上。若 F 在 l 上，抛物线退化为过 F 且垂直于 l 的一条直线 圆锥曲线的统一定义： 平面内与一定点 F 和定直线 l 的距离之比为常数 e 的点的轨迹， 当 0 e 1 时，表示椭圆；当 e 1 时，表示双曲线；当 e 1 时，表示抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题中常将抛物线上的动 点到焦点距离（称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来，通过这种转化使问题简单 化。二、抛物

9、线标准方程 1抛物线标准方程建系特点：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立直角坐标系， 这样使标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用。2四种标准方程的联系与区别：由于选取坐标系时，该坐标轴有四种不同的方向，因此抛物线的标 准方程有四种不同的形式。抛物线标准方程的四种形式为： y2 2px p 0 ， x22py p 0 ，其中： 参数 p 的几何意义：焦参数 p 是焦点到准线的距离，所以 p 恒为正值； p 值越大，张口越大； p2 等于焦点到抛物线顶点的距离。标准方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项，方程右边一次项

10、的变 量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向，即对称轴为 x 轴时，方程中 的一次项变量就是 x， 若 x的一次项前符号为正，则开口向右，若 x 的一次项前符号为负，则开口向左； 若对称轴为 y 轴时，方程中的一次项变量就是 y ， 当 y 的一次项前符号为正，则开口向上，若y 的一次项前符号为负，则开口向下。三、求抛物线标准方程求抛物线方程时，要依据题设条件，弄清抛物线的对称轴和开口方向，正确地选择抛物线标准方程 . 待定系数法：因抛物线标准方程有四种形式，若能确定抛物线的形式，需一个条件就能解出待定 系数 p ，因此要做到“先定位，再定值” 。注：当求顶点在原点

11、，对称轴为坐标轴的抛物线时，若不知开口方向，可设为y2 ax 或 x2 ay ，这样可避免讨论。 抛物线轨迹法：若由已知得抛物线是标准形式，可直接设其标准式；若不确定是否是标准式，由 已知条件可知曲线的动点的规律，一般用轨迹法求之。4A x1,y1 ,B x2,y2 ，则 AB 1 kAB2 xA xB或 AB1 k12 yA yB 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式处理：方程设抛物线 y2 2px p 0性质焦点范围对称性顶点离心率准线通径F p,02x0关于 x 轴对称原点e1xp22p四、抛物线的简单几何性质1 注： 焦点的非零坐标是一次项系数的 1 ； 对于不同形式的

12、抛物线，位置不同，其性质也有所不同，应弄清它们的异同点，数形结合， 掌握方程与有关特征量，有关性质间的对应关系，从整体上认识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1 直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组， 消去 x或 y 化得形如 2ax2 bx c 0 （ * ）的式子： 当 a 0 时，（* ）式方程只有一解，即直线与抛物线只有一个交点，此时直线与抛物线不是相切， 而是与抛物线对称轴平行或重合； 当 a 0 时，若> 0 （* ）式方程有两组不同的实数解直线与抛物线相交；若 =0（* ）式方程有两组相同的实数解直线与抛物线相切；若< 0 （* ）式方程无实数解直线与抛物线相离 .2直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式：设直线交抛物线于x2抛 物 线 y2 2px p 0 上 一 点 M x0,y0 的 焦 半 径 长 是 MFx0 p ， 抛 物 线2py p 0 上一点 M x0,y0 的焦半径长是 MFy0六、抛物线焦点弦的几个常用结论设 AB为过抛物线 y2 2px p 0 焦点的弦，设 A x1,y1 ,B x2,y2 ，直线 AB 的倾斜角为 ，则 x1x24,y1y2以 AB 为直径的圆与准线相切；FAFB2p AB 2x1 x2sin 2弦两端点与顶点所成三角形的面积 焦点 F 对 A 、 B 在准线上