浙江专用高考数学总复习第四章三角函数解三角形第3讲三角函数的图象与性质学案1014

1、 - 1 - 第第 3 3 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质 最新考纲 1.能画出ysin x，ycos x，ytan x的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间0，2上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间2，2内的单调性. 知 识 梳 理 1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 (1)正弦函数ysin x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，0)，2，1 ，(，0)，32，1 ，(2，0). (2)余弦函数ycos x，x0，2的图象中，五个关键点是：(0，1)，2，0 ，(，1)，32，0 ，(2，1). 2.正弦

2、、余弦、正切函数的图象与性质(下表中kz z) 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 定义域 r r r r x|xr r，且x k2 值域 1，1 1，1 r r 周期性 2 2 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 2k2，2k2 2k，2k k2，k2 递减区间 2k2，2k32 2k，2k 无 对称中心 (k，0) k2，0 k2，0 对称轴方程 xk2 xk 无 诊 断 自 测 - 2 - 1.判断正误(在括号内打“”或“”) (1)由 sin623sin 6知，23是正弦函数ysin x(xr r)的一个周期.( ) (2)余弦函数ycos x的对称轴是y轴.(

3、 ) (3)正切函数ytan x在定义域内是增函数.( ) (4)已知yksin x1，xr r，则y的最大值为k1.( ) (5)ysin|x|是偶函数.( ) 解析 (1)函数ysin x的周期是 2k(kz z). (2)余弦函数ycos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条. (3)正切函数ytan x在每一个区间k2，k2(kz z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数. (4)当k0 时，ymaxk1；当k0，xr r)，最小正周期t，则实数_，函数f(x)的图象的对称中心为_，单调递增区间是_. 解析 由t2，2，f(x)2sin2x6，令 2sin2x60，

4、得 2x6k(kz z)，xk212，对称中心为k212，0 (kz z)，由 2k22x62k2(kz z)，得k3xk6(kz z)，单调递增区间为k3，k6(kz z). 答案 2 k212，0 (kz z) k3，k6(kz z) 考点一 三角函数的定义域及简单的三角不等式 【例 1】 (1)函数f(x)2tan2x6的定义域是( ) a. x|x6 b. x|x12 c. x|xk6（kz z） d. x|xk26（kz z） - 4 - (2)不等式32cos x0 的解集是_. (3)函数f(x)64x2log2(2sin x1)的定义域是_. 解析 (1)由正切函数的定义域，得

5、 2x6k2， 即xk26(kz z)，故选 d. (2)由32cos x0，得 cos x32， 由余弦函数的图象，得在一个周期，上， 不等式 cos x32的解集为 x|56x56 ， 故原不等式的解集为 x|562kx562k，kz z . (3)由题意，得64x20，2sin x10， 由得8x8，由得 sin x12，由正弦曲线得62kx562k(kz z). 所以不等式组的解集为116，76 6，56 136，8 . 答案 (1)d (2) x|562kx562k，kz z (3)116，76 6，56136，8 规律方法 (1)三角函数定义域的求法 以正切函数为例，应用正切函数y

6、tan x的定义域求函数yatan(x)的定义域. 转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. (2)简单三角不等式的解法 利用三角函数线求解. 利用三角函数的图象求解. 【训练 1】 (1)函数ytan 2x的定义域是( ) a. x|xk4，kz z b. x|xk28，kz z c. x|xk8，kz z d. x|xk24，kz z (2)函数ysin xcos x的定义域为_. 解析 (1)由 2xk2，kz z，得xk24，kz z， - 5 - ytan 2x的定义域为 x|xk24，kz z . (2)法一 要使函数有意义，必须使 sin xcos x0.利用图象，在同一坐

7、标系中画出0，2上ysin x和ycos x的图象，如图所示. 在0，2内，满足 sin xcos x的x为4，54，再结合正弦、余弦函数的周期是 2，所以原函数的定义域为 x2k4x2k54，kz z . 法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为 x2k4x2k54，kz z . 法三 sin xcos x 2sinx40，将x4视为一个整体，由正弦函数ysin x的图象和性质可知 2kx42k(kz z)， 解得 2k4x2k54(kz z). 所以定义域为 x2k4x2k54，kz z . 答案 (1)d (2) x2k4x2k54，kz z 考点

8、二 三角函数的值域 【例 2】 (1)函数y2sin x1，x76，136 的值域是( ) a.3，1 b.2，1 c.(3，1 d.(2，1 (2)(2016全国卷)函数f(x)cos 2x6cos2x的最大值为( ) a.4 b.5 c.6 d.7 (3)函数ysin xcos xsin xcos x的值域为_. 解析 (1)由正弦曲线知ysin x在76，136 上，1sin x12，所以函数y2sin x1，x76，136 的值域是(2，1. (2)由f(x)cos 2x6cos2x12sin2x6sin x2sin x322112，所以当 sin x1 时函数的最大值为 5，故选 b

9、. - 6 - (3)设tsin xcos x， 则t2sin2xcos2x2sin xcos x， sin xcos x1t22，且2t2. yt22t1212(t1)21. 当t1 时，ymax1； 当t2时，ymin122. 函数的值域为12 2，1 . 答案 (1)d (2)b (3)12 2，1 规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型： (1)形如yasin xbcos xc的三角函数化为yasin(x)c的形式，再求值域(最值)； (2)形如yasin2xbsin xc的三角函数，可先设 sin xt，化为关于t的二次函数求值域(最值)； (3)形如yasin xc

10、os xb(sin xcos x)c的三角函数，可先设tsin xcos x，化为关于t的二次函数求值域(最值). 【训练 2】 (1)(2017杭州调研)函数y2sin6x3(0 x9)的最大值与最小值之和为( ) a.23 b.0 c.1 d.13 (2)(2017金华检测)函数y2cos12x31 的最大值是_， 此时x的取值集合为_. 解析 (1)因为 0 x9，所以36x376， 所以 sin6x332，1 . 所以y3，2， 所以ymaxymin2 3.选 a. (2)ymax2(1)13， 此时，12x32k， - 7 - 即x4k83(kz z). 答案 (1)a (2)3 x

11、|x4k83，kz z 考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度一 三角函数的奇偶性与周期性 【例 31】 (1)(2017宁波调研)函数y2cos2x41 是( ) a.最小正周期为的奇函数 b.最小正周期为的偶函数 c.最小正周期为2的奇函数 d.最小正周期为2的偶函数 (2)(2017衡水中学金卷)设函数f(x)sin12x3cos12x|2的图象关于y轴对称，则( ) a.6 b.6 c.3 d.3 解析 (1)y2cos2x41 cos2x4cos2x2 cos22xsin 2x， 则函数为最小正周期为的奇函数. (2)f(x)sin12x3cos12x 2sin12x3，由题意

12、可得f(0)2sin32，即 sin31，32k(kz z)，56k(kz z)，|0)在区间2，23上是增函数，则的取值范围是_. 解析 (1)由已知可得函数为ysin2x3，欲求函数的单调减区间，只需求ysin2x3的单调增区间. 由 2k22x32k2，kz z， 得k12xk512，kz z. 故所求函数的单调递减区间为k12，k512(kz z). (2)法一 由 2k2x2k2，kz z， 得f(x)的增区间是2k2，2k2(kz z). 因为f(x)在2，23上是增函数， 所以2，232，2. 所以22且232，所以0，34. 法二 因为x2，23，0. 所以x2，23， 又f(

13、x)在区间2，23上是增函数， 所以2，232，2，则22，232，又0，得 00，得 034. 答案 (1)k12，k512(kz z) (2)0，34 规律方法 (1)求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成yasin(x)形式，再求yasin(x)的单调区间，只需把x看作一个整体代入ysin x的相应单调区间内即可， 注意要先把化为正数.(2)对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷. 命题角度三 三角函数的对称轴

14、或对称中心 【例 33】 (1)(2017浙江适应性测试)若函数f(x)2sin(4x)(0，|2，x4为f(x)的零点，x4为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在18，536上单调，则的最大值为( ) a.11 b.9 c.7 d.5 解析 (1)由题可得，4242k，kz z，3k，kz z，0，函数f(x)cosx4在2， 上单调递增，则的取值范围是( ) a.12，54 b.12，74 c.34，94 d.32，74 解析 (1)因为f(x)cos2x52cos22xsin 2x，f(x)sin(2x)sin 2xf(x)，所以f(x)sin 2x是奇函数，所以f(x)的图象关于原点对称.故选 a. (2)函数ycos x的单调递增区间为2k，2k，kz z， 则242k，42k(kz z)， 解得 4k522k14，kz z， 又由 4k522k140，kz z 且 2k140，kz z， 得k1，所以32，74. 答案 (1)a (2)d 思想方法