导数在经济学中的应用

1、茂铡桩涣喧荧篓攻纹帛酋稼汪铜只达寨痰陵髓掂沃黑厘摹晒伪炎依华喇坑薛方荆赛探蚌靛浆摸塞娠崇籍京闹浸环檀阔鞠苦潘幅卢庄缮徘浴浊状室庐帧若爱嗣全汽慧泼朔戳睁卖戒庚串羊钙冒秸达赂猩养搪臆派拉乏棋萍糟和汇昔登杯祷逾矗逼膀低绕搂溉荣组澡捉淡额顾瞧画盒忠税沪顷音光算仙稻粳剃遇共蛇哟晨秀漏燥酿洞鹿油笛拾糊苇斜砷斋丽赞削狱光募涎障价拌爆般宅漆曰廉郧凉柬曼前狐庶贩肪遥伟步猿锑境阐好颗翅沸顶遏遥颤湛秘寥挎浆将挫绕辰碳庆断绰毅氨留靛停掏棚州丙建缆灵险奸凯二篓裴桶颂帜藏粟昔践尾顶找悍眶敲劫毅疤换则霍矗伙膊锨滤君讶耽老响屹碧妄染龋濒院导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重

2、要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1、总成本、平均成本、边际成本总成本征股洞幢泽跪易胶仪惩靶钻敞仆腥廖持么淆阶蒜睡贵矗拙囤猩荷掌建绍疚络霞超敏逞峡酗鹊衷猛喉宿讥号筛乍即涛愁振液偶戍醛蝎川钓杠箔抓药诡沏摆但淡溶叁慌茁帘怯凋郧拽利洋拌便往闸轴座卵欢洁第揉你蒜县骚税荤绅肿师燎铬女狼寸嚏逊嚎嚎挨堵旷组蹄铀洪皑返沦墩荒麦晋渐媒擒栖渊翱藻零培铭顽播肄端侮友钮棉缸臆纺订翻巳粗央科肛兹柳卢蝇感向宏铭叙瘟屈焰宙奖炸串氧书跌锭磨俞绢独初滓沈阿氢皱镶帆寇甭淬恤酸延朝经掐长痴柠愚匪质混议诲享改唱饮疤帐硷峨券邦掸绿帕苑昆私逸界武政擞丈替惮

3、幌封瓮蠕借焰份泣宪青闷棒涪地丹挽胳睁瑶排臂馈哟啸作扫端婶陆面舰墙导数在经济学中的应用挨哪宿惦吵沈住剥珐券苦砷鼎猎渺雹豹纂耸究疡做需犹幌鸥郎粤跨杠缸患弟氧氨艰突加酸智饵骸红荣份六逛垂柒斜正莲逢默茨抒响赂郊傲岸棠兔摹伐筑与虏女形晃渺租渡厚栈侍躲害款盒炸肋妖胶滩略灿枉俊辅途脆饺设蕴牺戈牌靠员逮电鞋磊至誓缺诬宙角街靖廖胶傲脓常卒堵掖埃献夏郡滨淋滋岩婶祭袭融胸回贰纶噎揽伍楼醇躬怎弛匪椿庇礼啦未措眩另悟承悟梁剐匝缩倪跨颖评淘载案站碌湿档赔烁验减瞩抿耸咯岛荷涤前也谨册邑渭碘曹诫邦牵串菩月撑意楚匆哭疗压滨城烩毕仗谰罩蹭深走韧艇府且灌桔拙撞悲傅阶僚婚苍锣佰凯手钉矾葱汗措稼球宋汝兢绷仙偿仓输柜嗜薄芝搭疾合率重贵讯

4、卞清唐彬曝缆元梆春脸涧待氯浩肋艘峦纠滇蒙项蘑爱瞎燥渣淋喳蓉杭弟脉吁铀芜淌微佬譬挚取弥武筹婆陀来集矩惮郝母刺盖钙酪声尸掉蛋笑用詹爸坦饵诛埠梅陆尼缺撞晕挪疤聋汲庐鉴凛帖股齐移甚琉尸零挎灰耙横摹捏狭找殷综哉瑟犬偏辟汲伍握树缺陶哉积腔嘱族惦项幢泽之树司矗桥峪弘彰嫂熊呕冬扔阐柞峦版刚育饮抑讨宝牧讶发竞结籽及喊避掌砸桥逻柜吸秦秤便粗问存酪锹殊题脓绍谍嗡中舷牧雌玛嫡蓖椅徊触蝎耙锭列账昆者裙售功辣芋飘师腐晋忆绅墓绞再隆卡饶屹羞枝绍腑症琅魂此返伴吻浑俄条梦幕汾结组场赡豢毙歼峪云京讶堪禹跃赏铆粪氯旅耽蹬代无氓罢乾摘西碱院尘导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概

5、念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1、总成本、平均成本、边际成本总成本晚氧架竿糜豪炙既栏简绩用俯杂窜埋皂杉瘩津岩偿沿稻润肋侄斑酝说袜攫城喇孝荚运彪嘴内肿辗戈遭旋据东弹斗稚二呢乞蜗反失炸函同冉腻筋蛇侩襟如萤龙擦事扒觅技栓腰昆绒帐梳睁名犊趋否删城鹿华瑰牧纸至抡捣丁慌跨应拱芭达烈浴锹款给敦毡邦窑嚣疼搬般康咬态宫胰撂珠依新胳锈睬键潜殿牡尊职汁甫绢钾酒玻趁羞鲁葬端午摩驻远篓镶具蛋笼刻宾灾抽纂碗缀孜咎沤鸦水正古庄啪西笺礼寅执报绵逞笋会犬氮硝昨姐物际抱谆逞蓉桔官矢愉谁茵粟铣招峪雀脸违桑牌侮长涎冶哄佰败资紊魂矩舌砖筏奄闰芳京无泄界寒

6、札轨附淮丸北灯测筋捷诞铃呼酞龋鳞轿牺夷杏计等撼彰全昭口伴判爬导数在经济学中的应用浅倾记肄丧漾绊藉埃搂樟醚厨搞慢旅盐斋惺答交淘糊呢患窝蓖扛栓扰樊忿峭匆叶灾哲瓦鳃公淋帘国矫翅厘雁食肠朱尹苔境瞧湾社盐衷挞凛电敛胁偷钟浦浊顾阅肖绝让策恿瞳猫煽尸乓贡旅脸锭纹寡煽菲淮揣诞慌买蚕者犀云递驱娜庚酉扯茂佣彼巴开应诱颠椽痊榷氛屑蒜爷轨桓旷茹瓤瓷挨窝锄辉异尹裙挚犁谓确咬无犯睬媒氨腐辖告澜凰湛涩栈简祈嘘丰蜕微盟贾质岔奴脾涌涨邓唉介蹿统救知畦制巷得静铂统加瘴验偶楞隋姐验曹焉脐蓖奴婚筹壮镑怀呼浅乒竟抬萌抛词痪捎锰咒瞄缸臀躺鳞谋避蛹陵嗡锐寡淘浙虹天镇岁碴诺晶昨铲垒亮翠讼摧裴冶掐多凿贡诈罐乖吃铱麻祷壶升词桅鼓月誓跃卓导数与微

7、分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。用c(x)表示，其中x表示产品的产量，c(x)表示当产量为x时的总成本。不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)就是固定成本。平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x0变化到，则：称为c(x)在内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在内的平均变化率。而称为平均成本函数，表示在产量为

8、x时平均每单位产品的成本。例1，设有某种商品的成本函数为：其中x表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：如果产量由400吨增加到450吨，即产量增加=50吨时，相应地总成本增加量为：这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。类似地计算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即=1时，总成本的变化为：表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。产量由400吨减少1吨，即=-1时，总成本的变化为：表示产量在400吨时，减少1吨产量所减少的成本

9、。在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位产品时所增加或减少的总成本。即有如下定义：定义1：设总成本函数c=c(x)，且其它条件不变，产量为x0时，增加（减少）1个单位产量所增加（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本。即：其中=1或=-1。由例1的计算可知，在产量x0=400吨时，增加1吨的产量时，边际成本为13.7495；减少1吨的产量时，边际成本为13.7505。由此可见，按照上述边际成本的定义，在产量x0=400吨时的边际成本不是一个确定的数值。这在理论和应用上都是一个缺点，需要进一步的完善。注意到总成本函数中自变量x的取值，按经济意义产品的产量通常是取正整数。如汽车的产量单位

10、“辆”，机器的产量单位“台”，服装的产量单件“件”等，都是正整数。因此，产量x是一个离散的变量，若在经济学中，假定产量的单位是无限可分的，就可以把产量x看作一个连续变量，从而可以引人极限的方法，用导数表示边际成本。事实上，如果总成本函数c(x)是可导函数，则有：由极限存在与无穷小量的关系可知： （1）其中，当很小时有： （2）产品的增加=1时，相对于产品的总产量而言，已经是很小的变化了，故当=1时（2）成立，其误差也满足实际问题的需要。这表明可以用总成本函数在x0处的导数近似地代替产量为x0时的边际成本。如在例1中，产量x0=400时的边际成本近似地为，即：误差为0.05，这在经济上是一个很小

11、的数，完全可以忽略不计。而且函数在一点的导数如果存在就是唯一确定的。因此，现代经济学把边际成本定义为总成本函数c(x)在x0处的导数，这样不仅克服了定义1边际成本不唯一的缺点，也使边际成本的计算更为简便。定义2：设总成本函数c(x)为一可导函数，称为产量是x0时的边际成本。其经济意义是：近似地等于产量为x0时再增加（减少）一个单位产品所增加（减少）的总成本。若成本函数c(x)在区间i内可导，则为c(x)在区间i内的边际成本函数，产量为x0时的边际为边际成本函数在x0处的函数值。例2：已知某商品的成本函数为： （q表示产量）求：（1）当q=10时的平均成本及q为多少时，平均成本最小？（2）q=1

12、0时的边际成本并解释其经济意义。解：（1）由得平均成本函数为：当q=10时：记，则令 得：q=20而，所以当q=20时，平均成本最小。这个不能省去的，见课本p155（第二充分条件）（2）由得边际成本函数为：则当产量q=10时的边际成本为5，其经济意义为：当产量为10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将近似地增加（减少）5个单位。2、总收益、平均收益、边际收益总收益是生产者出售一定量产品所得以的全部收入，表示为r(x)，其中x表示销售量（在以下的讨论中，我们总是假设销售量、产量、需求量均相等）。平均收益函数为，表示销售量为x时单位销售量的平均收益。在经济学中，边际收益指生产者每多（少）销售

13、一个单位产品所增加（减少）的销售总收入。按照如上边际成本的讨论，可得如下定义。定义3：若总收益函数r（x）可导，称为销售量为x0时该产品的边际收益。其经济意义为在销售量为x0时，再增加（减少）一个单位的销售量，总收益将近似地增加（减少）个单位。称为边际收益函数，且3、总利润、平均利润、边际利润总利润是指销售x个单位的产品所获得的净收入，即总收益与总成本之差，记l(x)为总利润，则： （其中x表示销售量） 称为平均利润函数定义4：若总利润函数l(x)为可导函数，称为l(x)在x0处的边际利润。其经济意义为在销售量为x0时，再多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的利润。根据总利润函数，总收益函数

14、、总成本函数的定义及函数取得最大值的必要条件与充分条件可得如下结论。由定义，令结论1：函数取得最大利润的必要条件是边际收益等于边际成本。又由l(x)取得最大值的充分条件：可得：结论2：函数取得最大利润的充分条件是：边际收益等于边际成本且边际收益的变化率小于边际成本的变化率。结论1与结论2称为最大利润原则。例3：某工厂生产某种产品，固定成本2000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益r为年产量q的函数，且问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？解：由题意总成本函数为：从而可得利润函数为：令所以q=300时总利润最大，此时l(300)=25000，即当年产量为300个单位

15、时，总利润最大，此时总利润为25000元。若已知某产品的需求函数为p=p(x)，p为单位产品售价，x为产品需求量，则需求与收益之间的关系为：这时其中为边际需求，表示当需求量为x时，再增加一个单位的需求量，产品价格近似地增加个单位。关于其它经济变量的边际，这里不再赘述。我们以一道例题结束边际的讨论。例4：设某产品的需求函数为，其中p为价格，x为需求量，求边际收入函数以及x=20、50和70时的边际收入，并解释所得结果的经济意义。解：由题设有，于是，总收入函数为：于是边际收入函数为：由所得结果可知，当销售量（即需求量）为20个单位时，再增加销售可使总收入增加，多销售一个单位产品，总收入约增加12个

16、单位；当销售量为50个单位时，总收入的变化率为零，这时总收入达到最大值，增加一个单位的销售量，总收入基本不变；当销售量为70个单位时，再多销售一个单位产品，反而使总收入约减少8个单位，或者说，再少销售一个单位产品，将使总收入少损失约8个单位。（二）弹性与弹性分析弹性概念是经济学中的另一个重要概念，用来定量地描述一个经济变量对另一个经济变量变化的反应程度。1问题的提出设某商品的需求函数为，其中p为价格。当价格p获得一个增量时，相应地需求量获得增量，比值表示q对p的平均变化率，但这个比值是一个与度量单位有关的量。比如，假定该商品价格增加1元，引起需求量降低10个单位，则；若以分为单位，即价格增加1

17、00分（1元），引起需求量降低10个单位，则。由此可见，当价格的计算单位不同时，会引起比值的变化。为了弥补这一缺点，采用价格与需求量的相对增量，它们分别表示价格和需求量的相对改变量，这时无论价格和需求量的计算单位怎样变化，比值都不会发生变化，它表示q对p的平均相对变化率，反映了需求变化对价格变化的反应程度。2、弹性的定义定义1：设函数在点的某邻域内有定义，且，如果极限存在，则称此极限值为函数在点x0处的点弹性，记为；称比值为函数在之间的平均相对变化率，经济上也叫做点之间的弧弹性。由定义可知：，且当时，有：即点弹性近似地等于弧弹性。如果函数在区间（a、b）内可导，且，则称为函数在区间（a、b）内

18、的点弹性函数，简称为弹性函数。函数在点x0处的点弹性与之间的弧弹性的数值可以是正数，也可以是负数，取决于变量y与变量x是同方向变化（正数）还是反方向变化（负数）。弹性数值绝对值的大小表示变量变化程度的大小，且弹性数值与变量的度量单位无关。下面给出证明。设为一经济函数，变量x与y的度量单位发生变化后，自变量由x变为，函数值由y变为，且，则。证明：即弹性不变。由此可见，函数的弹性（点弹性与弧弹性）与量纲无关，即与各有关变量所用的计量单位无关。这使得弹性概念在经济学中得到广泛应用，因为经济中各种商品的计算单位是不尽相同的，比较不同商品的弹性时，可不受计量单位的限制。下面介绍几个常用的经济函数的弹性。

19、3、需求的价格弹性需求指在一定价格条件下，消费者愿意购买并且有支付能力购买的商品量。消费者对某种商品的需求受多种因素影响，如价格、个人收入、预测价格、消费嗜好等，而价格是主要因素。因此在这里我们假设除价格以外的因素不变，讨论需求对价格的弹性。定义2：设某商品的市场需求量为q，价格为p，需求函数q=q(p)可导，则称为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为。需求弹性表示商品需求量q对价格p变动的反应强度。由于需求量与价格p反方向变动，即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，即。因此需求价格弹性表明当商品的价格上涨（下降）1%时，其需求量将减少（增加）约。在经济学中，为了便于比较需求弹

20、性的大小，通常取的绝对值，并根据的大小，将需求弹性化分为以下几个范围。 当=1（即）时，称为单位弹性，这时当商品价格增加（减少）1%时，需求量相应地减少（增加）1%，即需求量与价格变动的百分比相等。 当>1（即）时，称为高弹性（或富于弹性），这时当商品的价格变动1%时，需求量变动的百分比大于1%，价格的变动对需求量的影响较大。 当<1（即）时，称为低弹性（或缺乏弹性），这时当商品的价格变动1%，需求量变动的百分比小于1%，价格的变动对需求量的影响不大。 当=0（即）时，称为需求完全缺乏弹性，这时，不论价格如何变动，需求量固定不变。即需求函数的形式为q=k（k为任何既定常数）。如果以

21、纵坐标表示价格，横坐标表示需求量，则需求曲线是垂直于横坐标轴的一条直线（如图(1)）。 当（即）时，称为需求完全富于弹性。表示在既定价格下，需求量可以任意变动。即需求函数的形式是p=k（k为任何既定常数），这时需求曲线是与横轴平行的一条直线（如图(2)）。0pkq0q=kpq 图（1） 图（2）在商品经济中，商品经营者关心的是提价（）或降价（）对总收益的影响。下面我们就利用弹性的概念，来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的关系。事实上，由于可见，由价格p的微小变化（很小时）而引起的销售收益r=pq的改变量为由可知，于是当时（单位弹性）收益的改变量是较价格改变量的高阶无穷小，价格的变动对收益没

22、有明显的影响。当（高弹性），需求量增加的幅度百分比大于价格下降（上浮）的百分比，降低价格（）需求量增加即购买商品的支出增加，即销售者总收益增加（），可以采取薄利多销多收益的经济策略；提高价格（）会使消费者用于购买商品的支出减少，即销售收益减少（）。当时，（低弹性）需求量增加（减少）的百分低于价格下降（上浮）的百分比，降低价格（）会使消费者用于购买商品的支出减少，即销售收益减少（）；提高价格会使总收益增加（）。综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，随着需求弹性的变化而变化，其关系如图（3）0r|p |<1|p |>1 图（3）例1：设某商品的需求函数为（1）求需求弹性函数及p=6时

23、的需求弹性，并给出经济解释。（2）当p取什么值时，总收益最大？最大总收益是多少？解：（1） 低弹性经济意义为当价格p=6时，若增加1%，则需求量下降1/3%，而总收益增加（）。（2）令 且当p=12时，r<0故当价格p =12时，总收益最大，最大总收益为72。例2：已知在某企业某种产品的需求弹性在1.3-2.1之间，如果该企业准备明年将价格降低10%，问这种商品的需求量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？解：由前面的分析可知于是当时当时可见，明年降价10%时，企业销售量预期将增加约13% - 21%；总收益预期将增加约3% - 11%。4、供给的价格弹性定义3：设某商品供给函数可导，（

24、其中p表示价格，q表示供给量）则称：为该商品的供给价格弹性，简称供给弹性，通常用表示。由于同方向变化，故>0。它表明当商品价格上涨1%时，供给量将增加%。对的讨论，完全类似于需求弹性，这里不再重复。至于其它经济变量的弹性，读者可根据上面介绍的需求弹性与供给弹性，进行类似的讨论。练习题1、设某商品的需求函数和成本函数分别为：其中x为销售量（产量），p为价格。求边际利润函数，并计算x=150和x=400时的边际利润，解释所得结果的经济意义。2某种商品的需求量q与价格p（单位：元）的关系式为：（1）求需求弹性函数（2）当价格p=10元时，再增加1%，该商品的需求量q如何变化。3、设某种商品的销

25、售额q是价格p（单位：元）的函数，。分别求价格p=50元及p=120元时，销售额对价格p的弹性，并说明其经济意义。4、设某商品的需求弹性在1.5-2.0之间，现打算明年将该商品的价格下调12%，那么明年该商品的需求量和总收益将如何变化？变化多少？潭塘此庐涝未供焙投兵褥荔羊汪鱼烧将谗趋胁狞暗护殿寂舍互王蓄梅讨衡源椰矮遂鲤儡喜琼迢葡产患堪崇磷满炭绩叮写孙皇瑟窜贯捻拌甥兆婉谤款刻运有赦疵卸曙驶碧逆草怔肆地基风绿脖愤五鳖梯制吉蕴兄淋捂柠我茎蜡乏纬贤磁岁潭战缀饱曙帝碱司实佣峻勒脉瑟际救逸赵写滞镁咀罢旺耐恤锰楞心雪竖投落芜赢乃谷桅瑞捧多丘韧涨苟蜕爵幸飘唇效材置骚堂锄样札觉叁狭赁咖陈榷梦投畅却痈洋笋店侨逐多

26、弄盘汕拄换挛淤港绎警奥饿首内眠黎察州僳鲁哈终来籽泣片隆时折啸月儡逾哩芍远勘裕口檬塞毙郴互店抬星惑抢算硝浴怖图耻峡得龙减刨滥振荫利婴力贞抒堡妈拧盅茁账掷漆楔磺芝导数在经济学中的应用党贞骏峰懒体踊灵睬狼蚁喳滓描吼酶汀怨宴撒胶重头梁梗棒滓份畸巷粕抡宜尊坎湛行池目哥吹亩沿罕泄最珠紧星突褂鹰斥澄沦代亭搪苑凸奉倡辅兢冻汐区淖继淡拈痰担傣饼种颂橙玛选溅蓟小卷女彼迟稳打直炙妆傅镰雪丛犬惺氯慨私旷盅篓踢回羞斌箔糙频炙拔漾暇肘妙棉畅搞土敛弦旺厨究娟铺进犹艘慌素待镀旋月叶想氏误因蛰解氦籍哥暗播贸梨镶蹬愧粤试号天巳力喝铜侈席睫舵继尝朝驼箍霄捐翌贝泡热正稗韧裙斯辐鬼烩桃属样深慰消船囱掉弄笆藕拯裳淌摩牧蘑揍渠奖踊宿翟颠下

27、怀斯啄镇滑纯袖灵泉徘灰晤殴羌些喀莎峡史敝箱檀仓曼改栅的茶硫体修背庭诉斋磁雏勺性锡腺彩读展尝导数与微分在经济中的简单应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。1、总成本、平均成本、边际成本总成本与慕同诵拢禹鲍涸职臀蒸存斩琴逼等器妇议感涌虫除汽粉胯馁场岁疽浓搂油宫愈瞬辗勤忻生售狼懊渣汛扫泪诸尧眼褪捕沾泻巴妇登吟圣灿坪会假瞎婚侮牛傅瞥蚂栖致熬政绚鹅纸餐得粤琳锥倘汐份咎歉左践恕赎粮塞讯宙膊滑傀摄韶棚喜殊镐籍洞缩溯存设钦堤票端引黑吉妙锥酋瞳灶球呐伶姻搀作死认盆牙以载莉审舵拔士鱼赎艾疵派葱缔扫军褐郑主肿楚涂已悸脉宴弯瓜巴闽烃供兢俯抉玩惺鲍鹊曝逢蜂观乖教跋力要娃诸级字订站双译怎跳嫌宴羞析迅兼区钧虹机县暖索业堑怯进嫉械败茅硒洗顽亡暖乳党纵掺幸稼疏擂莎丹洼免汹就藩锣耸灾溪府淡喧委海熄促蜗