习题课：等差数列前n项和习题课

1、2.3 等差数列及前等差数列及前n项和项和及其性质及其性质 知识回顾一、等差数列的通项及图象特征一、等差数列的通项及图象特征等差数列的通项是关于等差数列的通项是关于n的的1次形式，反之成立，次形式，反之成立，图像为落在一条直线上的点图像为落在一条直线上的点二、等差数列的性质二、等差数列的性质性质性质1：对称项，成等差：对称项，成等差 等间隔，成等差等间隔，成等差性质性质2：下标和相等，对应项和相等：下标和相等，对应项和相等性质性质3：等距项，和相等：等距项，和相等24d.性质 ：等差数列平均分组，各组之和仍等差， 且公差为k三、等差数列前三、等差数列前n项和公式项和公式即即s sk k,s,s

2、2k2k-s-sk k,s,s3k3k-s-s2k2k, ,成等差数列成等差数列(1)a(1)a1 1+a+a2 2+a+a3 3=5=5，a a4 4+a+a5 5+a+a6 6=10,=10,则则a a7 7+a+a8 8+a+a9 9=_=_a a1919+a+a2020+a+a2121=_=_(2)s(2)sn n=25,s=25,s2n2n=100,=100,则则s s3n3n=_=_1535225引入引入 2n11n n-1dds =na +d=n + a -n222 可见可见d0d0时，时，s sn n是关于是关于n n的缺常数项的的缺常数项的二次函数，其二次项系数是公差的一半。

3、二次函数，其二次项系数是公差的一半。新课：等差数列的性质：新课：等差数列的性质：一、求和公式的性质：一、求和公式的性质： 性质性质1 1、若数列、若数列aan n 的前的前n n项和为项和为s sn n=pn=pn2 2+qn+qn(p,q(p,q为常数为常数) )，则数列，则数列aan n 是等差数列。是等差数列。aan n 是等差数列是等差数列s sn n=pn=pn2 2+qn(p,q+qn(p,q为常数为常数,d=2p),d=2p)性质性质2 2、等差数列、等差数列aan n 的前的前n n项和为项和为s sn n, ,则则n+12nnn+122n a=n s =na +a2中a (n

4、(n为奇数为奇数) )(n(n为偶数为偶数) ) 11717918910a +as =17=17a ;s =9 a +a2如如：如：两个等差数列如：两个等差数列aan n,b,bn n 的前的前n n项和为项和为s sn n,t,tn n1111s23=,t37若若则则66a23=b37反之呢？反之呢？p27-8,11性质性质3 3、若等差数列、若等差数列aan n 共有共有2n-12n-1项，项， 若等差数列若等差数列aan n 共有共有2n2n项，则项，则s s偶偶-s-s奇奇=nd,=nd,nn+1sa=sa奇奇偶偶 如如aan n 为等差数列，项数为奇数，奇数项和为为等差数列，项数为奇

5、数，奇数项和为4444，偶数项和为偶数项和为3333，求数列的中间项和项数。，求数列的中间项和项数。a =11n=7中中，sn,=sn-1nssaa奇奇偶中偶测评：测评：p2713性质性质4 4、aan n 为等差数列，求为等差数列，求s sn n的最值。的最值。n1n+1a0a 0,d0a0 若若且且，则则s sn n最大。最大。n1n+1a0a 0a0 若若且且，则则s sn n最小。最小。或利用二次函数求最值。或利用二次函数求最值。二、常用数列的求和方法：二、常用数列的求和方法： 222211 1 +2 +3 +n =n n+12n+16 23333n n+12 1 +2 +3 +n =

6、2122334nn+11n+11111n+=a aa aa aa aa a(3)(3)裂项法：设裂项法：设aan n 是等差数列，公差是等差数列，公差d0d0nn+1nn+11111=-a ad aa其其中中 n1111s =+1 33 55 72n-12n+1求求和和n111 11 111s =1-+-+-+-233 55 72n-1 2n+111=1-=22n+1n2n 1 (4) (4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。相等。三、项数有限的等差数列的设法 1.项数为奇数 a-2d,a-d,a,a+d,a+2d 测评p19-8 2.项数为偶数 a

7、-3d,a-d,a+d,a+3d 测评p2017测评：测评：p19-8，p20-17，p25-15监测：监测：p22b-2，随堂练习随堂练习1 1、在等差数列、在等差数列aan n 中中, ,已知已知s s1515=90,=90,那么那么a a8 8等于等于 a a、3 b3 b、4 c4 c、6 d6 d、1212 2 2、等差数列、等差数列aan n 的前的前m m项的和为项的和为3030，前，前2m2m项的和项的和为为100100，则它的前，则它的前3m3m项的和为项的和为 a a、130 b130 b、170 c170 c、210 d210 d，260260 3 3、设数列、设数列aa

8、n n 是等差数列，且是等差数列，且a a2 2=-6,a=-6,a8 8=6,s=6,sn n是数列是数列aan n 的前的前n n项和，则项和，则 a a、s s4 4ss5 5 b b、s s4 4=s=s5 5 c c、s s6 6ss5 5 d d、s s6 6=s=s5 5ccb4 4、设、设aan n 是递增等差数列，前三项的和为是递增等差数列，前三项的和为1212，前三项的积为前三项的积为4848，则它的首项是，则它的首项是 a a、1 b1 b，2 c2 c、4 d4 d、6 65 5、数列、数列aan n 中，中，a an n=26-2n,=26-2n,当前当前n n项和项

9、和s sn n最大时，最大时，n=_n=_6 6、在等差数列、在等差数列aan n 中中, ,已知前已知前4 4项和是项和是1 1，前，前8 8项项和是和是4 4，则，则a a1717+a+a1818+a+a1919+a+a2020等于等于_7 7、已知在等差数列、已知在等差数列aan n 中，中，a a1 10,s0,0,公差公差d0,sd0,s0,s13130. 02a +as =13=13a 02 解解1)：由题意：由题意37673d-3a +4d0a 02a +7d0d24-d-3-77 2)2)由于由于a a7 70,a0,0,所以所以s s6 6最大最大。67121370000aa

10、ssa注意：监测：监测：p25b-5测评：测评：p24-13，p26-17,p27-4,5,6,7 例例4 4、在等差数列、在等差数列aan n 中，已知中，已知a a1 1=20,=20,前前n n项和为项和为s sn n, ,且且s s1010=s=s1515，求当，求当n n取何值时，取何值时，s sn n有最大值，并求出它的最大有最大值，并求出它的最大值。值。解：由解：由s s1010=s=s1515得得a a1111+a+a1212+a+a1313+a+a1414+a+a1515=0=0所以所以a a1313=0=0因为因为a a1 10,a0,a1313=0,=0,所以所以d0d0

11、0而而n14n14时时a an n00所以所以s s1212和和s s1313最大最大最大值为最大值为130测评：测评：p22-14，p24-1，p26-17，p27-7 5)2 (1,2,3)(1)nan n2xnnn例 ：设f(x)=log x-log 2(0 x1)，数列 a满足f(2求数列 a 的通项公式.(2)判断数列 a 的单调性.2212221021nnannannanaann 22有loglog解：201,0210(1,2,13)nnanxaannn 监测：监测：p21-5212221(1)(1)12111,0(1)(1)1nnnnnnnaannnnannaan解（ ）又数列

12、a思考思考：还有没有其它方法？：还有没有其它方法？ 1.2(1)nnaan1nnn-1n4例6：已知 a 数列满足a =4,a =4-，令ba求证数列 b 是等差数列。(2)求数列的通项公式。 142(2)12211122(2)221111.2222nnnnnnnnnnbaaaaaabba n+1n+1n+1：（）aaa数列解是等差数列1221221111.)2222nnnananana解（ ）是等差数列（ 1.2(1)nnaan1nnn-1n4例6：已知 a数列满足a =4,a =4-，令ba求证数列 b是等差数列。(2)求数列的通项公式。监测：监测：p21-3 27,(1)2ap+nnn1

13、n例 ：数列 a 的前项和为s =npa (nn )，且a求常数 的值。（ ）证明数列 a是等差数列.10. 111222121（）当n=1时，a =pa ,若p=1时，a +a =2pa =2aa =a ,与已知矛盾, p 1,则a解：12221222(21)0,1/2naapapaaap当时，111111(2).2(1)222nnnnnnnannassnanaan， 22122(2)(1)nnnnannanaaaaan21累乘得：注意数列 a是以a 为公差a 为首项的等差数列。a 212a(0)( )( )( ),a .nnnnffffnnnx1例8：已知函数f(x)=,数列满足4求114142(1)4242 424xxxxxfx解：14112( )(1)42422xxxf xfx12a(0)()()()121a()()()()112a(1)a24nnnnnffffnnnnnnffffnnnnnn=倒序相加法的应用监测：监测：p25-b-4 219,(2) .8(1)nnnansannnnn例 ：已知数列 a求证 a是等差数列.1(2)若b = a -30，求数列 b 的前n项和的最小值2 22111111(2