谈数形结合思想

1、谈数形结合思想著名数学家华罗庚先生说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数学中大 量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。我们要将 抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目 的；同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数 促形”的目的。在数学思维过程中，逻辑思维是核心，形象思维是先导，但具体 的数学思维过程往往是两者交叉运用、浓缩升华的过程。这就要求我们重视数形 结合的数学思想方法，让我们的逻辑思维和形象思维水平得到确实的提高。首先，让我们来认识一下数学的图形语言。数学的图形语言是一种特殊的数 学语言，它对比于符号

2、语言具有“易于理解、便于记忆、利于思考”的特点。不 但在几何中大现身手，而且在代数里也大有作为。1. 易于理解如，不等式的解集，可以在数轴上表达出来。用数轴表示不等式的解集，比较形象、直观。尤其是在解不等式组时，可以将几个不等式的解集表示在同一个 数轴上，这样比较容易求出这些解集的公共部分，即不等式组的解集。例1 .求不等式组2 (x+1) <3(x - 1)+74x3的正整数解。3x-14< 2解：由 2 (x+1) <3(x - 1)+7 得：x>-2-23 X-2<x w 3在-2<x< 3的所有实数中，正整数有1，2，3,原不等式组的正整数解是

3、x =1，2，3。2. 便于记忆如口：在二次函数的学习中我们知道，一般的抛物线y=ax2+bx+c都可以由抛物线y=ax2平行移动而得。有口诀：“上加下减，左加右减。”但毕竟比较抽象，如果你在学习时，借助下图所示来记忆，看看效果如何:y=ax2+k现而易见，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=ax2的形状、开口方向都是相同， 只是位置不同。（图中的a>0。如果a<0，也有同样的结论。）结合图形，一目了 然，在记忆时起到事半功倍的作用。3. 利于思考波利亚曾经说过：“有许多重要的事实和思想，本身虽不是几何性质的，但它们最适当的表达方式是通过几何图形、图象和图表。”图象语言具有高度的

4、浓缩 性，简简单单却能表达复杂的思想一次函数y=kx+b的解析式，通过图象中 与两坐标轴的交点坐标很快就能求出，它具 有什么性质，同样根据图象一目了然：1）当x为何值时，y>0?2）当x为何值时，y=0?3）当x为何值时，y<0?02其次，数形结合，可以使我们在思维过程中数学的形象思维和逻辑思维交织 在一起展开，它们互相渗透、互相启发，使我们的思维方向朝着不同的角度、不 同的方向转化，并使之升华。二次函数图象与一元二次方程的解有着千丝万缕的联系，它们既彼此分离， 又可以互相转化。因此，一元二次方程根的情况往往可以转化为二次函数图象与 X轴的交点来研究，以数思形，以达到以形帮数的目的

5、。女口 ：已知抛物线y=x2-2x+k与x轴有两个不同的交点，（1）能否确定k的取 值范围？（ 2）设该抛物线与x轴的交点为A、B，且点A在原点的左侧，抛物 线与y轴相交于点C,顶点为D,若0C=20B，此时k是否唯一确定？ k的值是 多少？解：（1）v抛物线y=x2-2x+k与x轴有两个不同的交点，=4-4k>0,得 k<1.（2）抛物线y=x2-2x+k与x轴的两个交点A、B的横坐标分别是xa=1- . 1 k， xB = 1+ -1 k .显然，XB>0,故点B在原点的右侧，由题意 A点在原点的左侧，则有：1-'.1 k <0且点C 在原点的下方，即k&l

6、t;0， OC=2QB 2+2 v 1 k=-k解得k=-8，由以上可得K唯一确定且为-8。在这里所说的数，除了指的是实数外，还泛指代数式、等式、不等式、方程、 函数等，及其它们的运算。借助于这些运算，我们可以把复杂的几何问题代数化， 轻易地解决它。女口：过等腰三角形的一个顶点的一条直线，将它分成两个小的等腰三角形， 求这个等腰三角形的各内角。分析：在这里没有明确这个等腰三角形是锐角、钝角还是直角，所以我们要 把各种情况都考虑进去，这样又用到了分类讨论的数学思想。1）如图 1,分别为 90°, 45°，45°。2)如图 2, AB=BD , AD=CD，/ A=a

7、,Z B=Z C=B。 a +2B =180°,：a =108°,B =36°。a =3 3°a,/ B= / C= 3, a =36°,3 =72°°3) 如图 3, AD=BD=BC , / A= a +2 3 =180°,2 a = 3°CD=BC ,Z A= a,Z B= / C= 34) 如图 4, AD=BD ,a +2 3 =180°180=2a,2a = (255 )°,图4C在这里，通过布列方程组，很快解决了问题。在初三系统复习中，我们可以回头看到，在目前的初中数学教

8、材中，数形结 合思想在许许多多的知识点中循序渐进地渗透、孕育、形成、拓展。课本节数课本内容4. 1有理数的意义4. 2绝对值4. 3有理数大小的比较9. 2平面内点的位置与坐标9. 3二元一次方程的图形9. 6用图解法解二元一次方程组10. 3不等式的解集13. 5单项式乘法21. 4正比例函数的图象和性质21. 5反比例函数的图象和性质23. 2一次函数的图象和性质24. 6二次函数的图象和性质24. 7分段函数25. 4勾股定理及其应用27. 1列方程解应运题30. 7方差与标准差31. 3圆与圆的位置关系数学思想方法的学习应贯穿于数学学习的始终，希望靠几节课就能奏效是不 现实的。我们对每

9、一种思想方法的领会和掌握， 都要经过较长时间、不同内容的 学习才能真正达到。理解掌握数学思想方法的过程一般有三个阶段：（1）潜意识 阶段（2）明朗化阶段（3）深刻化阶段。如，在第九章第二节平面内点的位置与 坐标中，我们知道了一个有序数对（坐标）可在直角坐标平面内找到与之对应的 点，反之，直角坐标平面内的任一点，也可以读出与之对应的有序数对（坐标）。与以前不同，在我们这次接触数与形的对应时，须引起注意的是，这时“数”已 由一个有理数转变为一个有序数对，“形”也从数轴上的点变为平面上的点。在 第九章第三节二元一次方程的图形中，书上先让我们将二元一次方程的解写成有 序数对，然后在直角坐标平面上作出与之对应的点， 再将这些点连结起来，从而 观察出二元一次方程的图形是一条直线。这里，又一次接触到数与形的对应，即 方程与直线的对应，为在第九章第六节用图解法解二元一次方程组打下基础。综上所述，在数学解题中由数思形，以形帮数可以开辟多角度、多层次的解 题