复习课等腰三角形

1、(n-2) 180三角三角形形与三角与三角形有关形有关的线段的线段a-bca+b（a-b0）高高三角形的边三角形的边三角形的三边关系三角形的三边关系中线中线角平分线的定义角平分线的定义位置位置、交点交点三角形的内角和三角形的内角和多边形的内角和多边形的内角和多边形的外角和多边形的外角和三角形的外角和三角形的外角和多边形外角和为多边形外角和为360镶嵌的原理镶嵌的原理回顾上节内容：回顾上节内容：三三角角形形的的角角考点聚焦考点聚焦考点考点1 1 等腰三角形的概念与性质等腰三角形的概念与性质 定义定义有有_相等的三角形是等腰三角形相等的两相等的三角形是等腰三角形相等的两边叫腰，第三边为底边叫腰，第

2、三边为底性质性质轴对轴对称性称性等腰三角形是轴对称图形，有等腰三角形是轴对称图形，有_条条对称轴对称轴定理定理1等腰三角形的两个底角相等等腰三角形的两个底角相等(简称为：简称为：_)定理定理2等腰三角形顶角的平分线、底边上等腰三角形顶角的平分线、底边上的的_和底边上的高互相重合，和底边上的高互相重合，简称简称“三线合一三线合一”两边两边 一一 或三或三等边对等角等边对等角 中线中线 考点聚焦考点聚焦拓展拓展(1)(1)等腰三角形两腰上的高相等等腰三角形两腰上的高相等(2)(2)等腰三角形两腰上的中线相等等腰三角形两腰上的中线相等(3)(3)等腰三角形两底角的平分线相等等腰三角形两底角的平分线相

3、等(4)(4)等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶 角的一半角的一半(5)(5)等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行(6)(6)等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之 和等于一腰上的高和等于一腰上的高(7)(7)等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距等腰三角形底边延长线上任意一点到两腰距离之差等于一腰上的高离之差等于一腰上的高 考点聚焦考点聚焦考点考点2 2 等腰三角形的判定等腰三角形的判定 定理定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所

4、对的边也相等所对的边也相等(简写成：简写成：_)拓展拓展(1)一边上的高与这边上的中线重合的三角形是一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形等腰三角形(2)一边上的高与这边所对的角的平分线重合的一边上的高与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形三角形是等腰三角形(3)一边上的中线与这边所对的角的平分线重合一边上的中线与这边所对的角的平分线重合的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形等角对等边等角对等边考点剖析考点剖析 考点考点1 等腰三角形的性质的运用等腰三角形的性质的运用 命题角度：命题角度：1. 等腰三角形的性质；等腰三角形的性质；2. 等腰三角形等腰三角形“三线合一三线合一

5、”的性质；的性质；3. 等腰三角形两腰上的高等腰三角形两腰上的高(中线中线)、两底角的平分线的性质、两底角的平分线的性质. 例例1 1 2012.2012.镇江镇江 如图如图1 1，在四边形，在四边形abcdabcd中，中，adbcadbc，e e是是abab的中点，连接的中点，连接dede并延长交并延长交cbcb的延长线于点的延长线于点f f，点，点g g在边在边bcbc上，且上，且gdfgdfadf.adf.(1)(1)求证：求证：adeadebfebfe；(2)(2)连接连接egeg，判断，判断egeg与与dfdf的位置关系，的位置关系，并说明理由并说明理由图图1 1 考点剖析考点剖析

6、解析解析 先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线先通过平行条件得到两对内错角相等，结合线段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角段中点得到的线段相等，可证明两个三角形全等；由角相等的条件可证明相等的条件可证明dfgdfg是等腰三角形，再结合点是等腰三角形，再结合点e e是是dfdf的中点，根据等腰三角形的中点，根据等腰三角形“三线合一三线合一”的性质可证明结的性质可证明结论论 考点剖析考点剖析解： (1)证明：adbc，adebfe，daefbe.e是ab的中点，aebe.ade bfe.(2)eg与df的位置关系是egdf.gdfadf，又adebfe，gdfbfe，gdgf.由(

7、1)得，deef，egdf. (1) (1)利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进利用线段的垂直平分线进行等线段转换，进而进行角度转换行角度转换 (2)(2)在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进在同一个三角形中，等角对等边与等边对等角进行互相转换行互相转换 考点考点2 等腰三角形判定等腰三角形判定 命题角度：命题角度：等腰三角形的判定等腰三角形的判定考点剖析考点剖析图图2 例例2 2011 已知：如图已知：如图2，锐角，锐角abc的两条高的两条高bd、ce相交于点相交于点o，且，且oboc.(1)求证：求证：abc是等腰三角形；是等腰三角形；(2)判断点判断点o是否在是否在bac的平

8、分线上，并说明理由的平分线上，并说明理由 考点剖析考点剖析 解析解析 (1) (1)利用利用bdcbdccebceb 证明证明dcbdcbebcebc；(2)(2)连接连接aoao，通过，通过hlhl证明证明adoadoaeoaeo，从而得到，从而得到daodaoeaoeao，利用角平分线上的点到两边的距离相等，利用角平分线上的点到两边的距离相等，证明结论证明结论解：解：(1)证明：证明：oboc，obcocb.bd、ce是两条高，是两条高，bdcceb90.又又bccb，bdc ceb (aas)dbcecb, abac.abc是等腰三角形是等腰三角形考点剖析考点剖析(2)点点o是在是在ba

9、c的平分线上的平分线上连接连接ao.bdc ceb，dceb.oboc， odoe.又又bdcceb90，aoao，ado aeo(hl)daoeao. 点点o是在是在bac的平分线上的平分线上 要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相要证明一个三角形是等腰三角形，必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有等，而得到两边相等的方法主要有(1)(1)通过等角对等边得两边相等；通过等角对等边得两边相等；(2)(2)通过三角形全等得两边相等；通过三角形全等得两边相等；(3)(3)利用垂直平分线的性质得两边相等利用垂直平分线的性质得两边相等 考点考点3 3 等腰三角形的多解问题等腰三角形的多解问

10、题 例例3 3 20122012已知等腰已知等腰abc中，中，adbc于点于点d，且，且ad0.5 bc，则，则abc底角的度数为底角的度数为()a45 b75c45或或75 d60考点剖析考点剖析命题角度：命题角度：1. 遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，遇到等腰三角形的问题时，注意边有腰与底之分，角有底角和顶角之分；角有底角和顶角之分；2. 遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况，遇到高线的问题要考虑高在形内和形外两种情况，还要考虑是腰上的高还是底上的高；还要考虑是腰上的高还是底上的高；3.遇到腰中垂线的问题要考虑交在腰上和底上两种情况。遇到腰中垂线的问题要考虑交在腰上和底上

11、两种情况。c 考点剖析考点剖析 因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶因为等腰三角形的边有腰与底之分，角有底角和顶角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种角之分，等腰三角形的高线要考虑高在形内和形外两种情况故当题中条件给出不明确时，要运用分类讨论思情况故当题中条件给出不明确时，要运用分类讨论思想方法进行解题，才能避免漏解情况想方法进行解题，才能避免漏解情况1、已知等腰三角形一个内角、已知等腰三角形一个内角的度数为的度数为40，那么它的，那么它的底角的度数是底角的度数是_2、已知等腰三角形的两边长已知等腰三角形的两边长分别是分别是3 3和和7 7，则它的周长，则它的周长是是_3、已

12、知等边三角形的边长为、已知等边三角形的边长为2cm，则该等边三角形的，则该等边三角形的面积为面积为_70 、70 或或40 、40 173 等腰三角形两等腰三角形两底角相等底角相等等腰三角形两等腰三角形两 腰相等腰相等 等腰三角形底边上等腰三角形底边上的中线，顶角的平分的中线，顶角的平分线，底边上的高三线，底边上的高三线合一线合一演练演练考点考点 4. 如图如图(1)，在，在rtabc中，中，bac=90 ， acb=45,adbc于于d，be平分平分abc分别交分别交ac、ad于点于点e和点和点f。请判断。请判断aef的形状，并说明理由的形状，并说明理由.cabdef考点考点 演练演练 证明

13、：证明： aefaef是等腰三角形是等腰三角形 理由：理由： bac=90 bac=90 abe + aeb = 90 abe + aeb = 90 adbc adbc adb= 90adb= 90 fbd +bfd fbd +bfd = 90= 90 又又 be be平分平分abc abc abe = fbd abe = fbd aeb = bfd aeb = bfd bfd bfd = = afeafe aeb= afe aeb= afe aef是等腰三角形是等腰三角形 变式变式1、将、将abe绕点绕点a逆时针旋转逆时针旋转90 得到得到 acg， 线段线段be与与cg有什么关系呢？说明理由。有什么关系呢？说明理由。 abcgefd证明：证明： be cgbe cg且且 be = cgbe = cg理由：延长理由：延长bebe交交cgcg于于h h点点 acg acg 是由是由 abeabe旋转所得旋转所得 acg acg abe abe be =cg be =cg g=aef, abe= acg g=aef, abe= acg abe+ aef= 90 abe+ aef= 90 chb= g+abe=90 chb= g+abe=90 =chb=chb be cg be cg be c