高中数学第一章数列1.4数列在日常经济生活中的应用课件北师大版必修5016392

1、4数列在日常经济生活中的应用1.体会“零存整取”“定期自动转存”及“分期付款”等日常生活中的实际问题.2.能在具体的问题情境中,发现并建立等差数列或等比数列这两种数学模型,感受它们的广泛应用,并利用它们解决一些实际问题.数列在日常经济生活中的应用1.等差数列和等比数列是日常经济生活中的重要数学模型.2.数列应用题常见模型:(1)银行储蓄单利公式:利息按单利计算,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+xr).(2)银行储蓄复利公式:按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元,每期利率为r,存期为x,则本利和y=a(1+r)x.(3)产值模型:原来产值的基础数为n,平均增长率为p,对于

2、时间x的总产值y=n(1+p)x.(4)分期付款模型:a为贷款总额,r为年利率,n为贷款年限,b为等额还款数,【做一做2-1】 有一种细菌和一种病毒,每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒,则细菌将病毒全部杀死至少需要().a.6秒 b.7秒c.8秒 d.9秒解析:依题意,得1+21+22+2n-1100,整理得2n101.故n7,则所求为7秒钟.答案:b【做一做2-2】 在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察表中数据的特点,表中()处由上到下依次填().a.13686b.14185c.14085d.

3、14086答案:c题型一题型二题型三题型一 等差数列的应用【例1】 某产品按质量分10个档次,生产最低档次的产品的利润是8元/件,每提高一个档次,利润每件增加2元,同时每提高一个档次,产量减少3件,在相同的时间内,最低档次的产品可生产60件.试问:在相同的时间内,应选择生产第几档次的产品可获得最大利润?(设最低档次为第一档次)分析:由于总利润=第n档次的件数第n档次每件的利润,因此需要求出第n档次的件数及第n档次的利润的表达式.题型一题型二题型三解:设在相同的时间内,从低到高每档次产品生产的件数分别为a1,a2,a10(单位:件),对应每档次产品的利润分别为b1,b2,b10(单位:元),则a

4、n,bn均为等差数列,且a1=60,d=-3,b1=8,d=2,所以an=60-3(n-1)=-3n+63,bn=8+2(n-1)=2n+6,利润f(n)=anbn=(-3n+63)(2n+6)=-6n2+108n+378=-6(n-9)2+864.显然,当n=9时,f(n)max=f(9)=864元.答:在相同的时间内,生产第9档次的产品可以获得最大利润.反思对于实际问题,通常需要建立适当的数学模型,本题即从实际问题中抽象出两个等差数列,进而利用二次函数的最值,获得结果.在建立模型时,一般要依据所求问题设定,常用的模型工具有方程、不等式、函数等.题型一题型二题型三【变式训练1】 有一种零存整

5、取的储蓄项目,即每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以提出全部本金及利息,这是整取,它的本利和公式如下:(1)试解释这个本利和公式.(2)若每月存入100元,月利率为0.51%,到第12个月底的本利和是多少?(3)若每月存入一笔金额,月利率是0.51%,希望到第12个月取得本利和2 000元,那么每月应存多少金额?题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型二 等比数列的应用 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?分析:(1)n年内总投入组成等比数列,n年内总收入也组成

6、等比数列.(2)当旅游业总收入超过总投入时,其组成数列的通项之差应大于0.题型一题型二题型三题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思因为数列在现实生活中有着广泛的应用,所以数列应用题在数列中占有一定的地位.解决这类问题的基本步骤为:(1)仔细阅读题目,认真审题,将实际问题转化为数列模型;(2)挖掘题目的条件,分析该数列是等差数列还是等比数列,分清所求的是项的问题,还是求和问题,然后利用数列的有关知识进行解答,得出结果;题型一题型二题型三(3)检验结果,写出答案.在数列应用题中,如果增加(或减少)的量是一个固定量,那么该模型即为等差数列模型,增加(或减少)的量就是公差,则可把应用问题抽象为数学中

7、的等差数列问题,然后用等差数列知识对模型解析,最后再返回实际中去;如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数,那么该模型是等比数列模型,这个固定的数就是公比,解此类题型的思路同等差数列模型;如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定,随项的变化而变化时,应考虑an与an+1的递推关系,或考虑前n项和sn与sn+1的递推关系.题型一题型二题型三【变式训练2】 一个热气球在第一分钟上升了25 m的高度,在以后的每一分钟里,它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.试问这个热气球上升的高度能超过125 m吗?题型一题型二题型三题型三 等差数列与等比数列的综合应用【例3】 某国采用养老储备金制度.公

8、民在就业的第一年就交纳养老储备金,数目为a1,以后每年交纳的数目均比上一年增加d(d0),因此,历年所交纳的储备金数目a1,a2,是一个公差为d的等差数列.与此同时,国家给予优惠的计息政策,不仅采用固定利率,而且计算复利.这就是说,如果固定年利率为r(r0),那么,在第n年末,第一年所交纳的储备金就变为a1(1+r)n-1,第二年所交纳的储备金就变为 以tn表示到第n年末所累计的储备金总额.(1)写出tn与tn-1(n2)的递推关系式;(2)求证:tn=an+bn,其中an是一个等比数列,bn是一个等差数列.题型一题型二题型三分析在(1)中,根据题意直接写出递推公式;在(2)中,证明数列是等差

9、和等比数列,可以采用通项公式法证明,求出an和bn的通项公式,再进行证明.(1)解:由题意有,tn=tn-1(1+r)+an(n2).(2)证明:t1=a1,对n2反复使用上述关系式,得tn=tn-1(1+r)+an=tn-2(1+r)2+an-1(1+r)+an=a1(1+r)n-1+a2(1+r)n-2+an-1(1+r)+an,在式两端同乘1+r,得(1+r)tn=a1(1+r)n+a2(1+r)n-1+an-1(1+r)2+an(1+r),题型一题型二题型三题型一题型二题型三反思由于应用题的题目较长,相关学科知识与数学知识互相渗透,知识面较广,极易造成阅读和理解上的困难,这就要求有较强

10、的阅读理解能力,阅读理解及“审题”应分为“初读”和“熟读”两个层次,“初读”时要求一字一句地读,理解其含义,搞清题目的大概意思,“熟读”则应着重研究题目涉及哪几个量,这几个量有什么关系,是等差数列模型还是等比数列模型等.题型一题型二题型三【变式训练3】 为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年更换一万辆燃油型公交车,每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车.今年初投入了电力型公交车128辆,混合动力型公交车400辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%,混合动力型车每年比上一年多投入a辆.(1)求经过n年,该市被更换的公交车总数s(n);(

11、2)若该市计划用7年的时间完成全部更换,求a的最小值.题型一题型二题型三题型一题型二题型三123451某种细胞开始有2个,1小时后分裂成4个,2小时后分裂成8个,3小时后分裂成16个按此规律,6小时后细胞的个数是().a.63b.64c.127d.128解析:细胞分裂的个数依次构成等比数列,记为an,则a1=2,公比q=2,所以a7=a1q6=226=128.答案:d12345答案:a 123453某化工厂在国家积极财政政策的推动下,积极吸收外资,盘活工厂活力.从2014年1月起,到2016年12月止的36个月中,月产值不断递增且构成等比数列an,若逐月累计的产值sn=a1+a2+an满足关系式sn=101an-36,则该厂的年增长率为(提示:1.01121.126 8,精确到万分位)().a.12.66%b.12.68%c.12.69%d.12.70%解析:由题意,得sn=101an-36,an+1=sn+1-sn=101an+1-101an,月增长率为1%,年增长率为(1+1%)12-112.68%.答案:b123454九章算术“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为升.123455有10台型号相同的联合收割机,收割一片土地上的庄稼.若同时投入工作至收割完毕需用24 h,但现在它们是每隔相