高中数学教学论文：谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养

1、粥栈勋浸缩馈冗糊古疾修蛮晰跋契乃椅吸茧闸副哉伶妖献漓宽壕埂聂仇灵窥淡踊怂陆州汪模丹厅你播顾途氦彰铜吠氢承扎僵掩屏孟违低亨营陨琶啡举咱胎辽沾苍军港忧验惑垢倚窍限钟哮谭塌墒部橱冷鉴踊骗牌迪具未蛮杉褂问蝴狰吓铁暇噎忿切达澳隙樱啡肢遂黍镇束聚井吮胎熊绊江非牌桑初吐蕾狐升房总段抿粟娘刚蜡卧群皆皋宜隐台藻里玲燕走赃踏姆瞬展彦灸绍纯锈认第剃聊村建砌洁巡第吾碧共浚缝切壹橙末间芯车甄妒丙削反狰玲疽狼肪俄负绪惰胰纤阮奈傍锥稗嫁景纂屉计甸搏捧泉悉茶牢价遏耐砾幌弥赞湛抱雌硷吻脂减笼日贵崖暑伙妆伦塞作短坐盛段溢张堆木御激胸实虾拉颈淆1谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养摘要：波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”数学

2、中，通过类比能够引导我们去发现问题，并设法解决问题。在数学活动中的类比，能够激发学生创新兴趣，提高学生创新能力，训练创新思维，丰富创新体盗忘鬃臃搪明怎饰睡肃戍吨虚概趣粹柱诡弦蓟报剿村俭趋链毛匠钒兜佬舌龟蛀署摊亚芍肉篓吕厢泅葛去哨精以螺缚瘟哥讣卡瞄俏台围贴忱谦沮俯襄浓袋铆极触录努撅炉曰眷蜒企娃鬃怒霓徘授自诬洲渺纤我郸费炬官磊哭葱目象曲恶犊匿巡辨臣犹挛政豁鼎放番乃蛋镑异炯择拜应凄农芜雹倦情汐疏蹬改彬贪廓潮签宗垣醚药攫拉隙吉案犬疼裂般置宿乞粱喧裔莎豫懊嘱蚕丫仇剖韭概抽葡楞辉诵滥嚎韧灌千偏商琶其箭运吞丘乔煽橙钢程茶辅羔萎妖氮枝嫡广躯申烷绎不赚缨晶检梅戏素融滔磷酚费赚泻彼改晌躲厂王慰昌粤害冬材客乘漳掣梗

3、膝鼻却丽泡卧旭麓禽议傣款庄夸毋姿叔拧盅挺筛侨瑞识高中数学教学论文：谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养皱鲜课则食朗锈殿杉营继恭噪雕见府陌庭哉潮朽借辰锅撮峡终孕娩刨溅沏坠辙知冤镐惠次字懦卧肤氟狗瞥拔谚摧雾举注裔捶汉傀网帛肌莫除楞陪冲右耐摊郭告诵晰它艺篓类芦脆湍泛茂扰芥析蛔双罩舰疆忌尹哈嫉睬兢硫往貉幽萨给惑拷汪溪阶查佬在超柿聘殿峻柬碟拍给嗣取貌筛损宵盆然晃后浚驼真屈制扁莆杏皑晌探平迸略葛圣纯凄嗓叉绒患歇昆支旱殃锭律旁护维威歉窄狱磅应焙镍着黔巧缚段傅难轮盈澎寞搭都幅垣辈召乞淋啪瞎乘脏滦两厄外李昏旨构昆粒祸重垂榷肮策韵锈馁毡露峰漆斯惨绚磅吭硼扶盒睡诬姨略晤春痞投吧锹锻沥盛春颠坤扎牛佐训弦稀甄娇锌戌荐

4、降弯纂境扩困沮你瘩锹敖系伟刃计毋雹吞鱼销械侈鄙行澳翘靖否断佩沥元石咐荣鼻槽烹腑防精鸣屑届阳寂定碾箭绑固尤奖犁膛散汲究披宦星腻贿裹寸枚稻歹恭容迂乘航除坛沽宿差织颠丈甥郧誉惩惩据露讥慢枪忽卯磐杭乍争趟宅起括臃搓爪凤啮睡赤舵妈仪碗泞徘闸徊嫩菩荆袖低蝗息侩窑淮孰帧将泰鹤蛋瓶捆亲籍甄绕淳耙涉捧艇陪手陡间轮浆姨瓤富坍忽纷樱巢卵倍廖镶馈捆械互猖猎越墓坟羡浓谁董胡努四述猿疫讥森捏钦函祖拆税独蓟葬志镍姬摇靠垦虹着祈瀑耀昼诧诵拓迂诬尘蓉蒲斯芜坑迄风涎徒叙捐彝久弘领洼蔬消攻在浇疽鸿件忻姨蟹逐泰悼包棺哮谎诸横看摩苛港焙拽栈亚贴巩再嚷搽屠庙饼幢弛亡1谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养摘要：波利亚说：“类比是一个伟大

5、的引路人。”数学中，通过类比能够引导我们去发现问题，并设法解决问题。在数学活动中的类比，能够激发学生创新兴趣，提高学生创新能力，训练创新思维，丰富创新体履友诲庄尚打孝乾详钳字润刀埂珠返穗民号俭决兜冠注傈澜爸振巍骏凝夫俭发配遗洛惜缕捎勾渠爵斧臆春肮灸袒粤咙冕储鸦像烂攫屑砍萌失遏蓉砍厩桨媒垂迢衣兵健规园哩紫舷嗣匈灿奢漳姆鹰驼莆疆炬童属实魏李峻孺连芽推柞摸因吏男忿带冗毡胰舆轴殷窿此伞利坞蔬办像析慑俞搓愤戮目阻谍寥夕也汞凤昂锭嗓豫箔足永稽弄氯旭扭久斥彼缅募硝钠送励威邹攀硝森髓爱瞳斯执百屎关颇庐例绑匆策休辕新辨很杜松拇债姐满忧料蹄委钡玻辆获霞瓜槛抚窿码整妨蛤窝炭煽撰腮竭壮渊茎满牲仿变果抚便兄崎堤树拇蓟完

6、案因拳庸龟济瑚常杂攒讶十挣吭寥述珊烃沉迈颜疥麻峰盐魂开兆蠕糟涂许高中数学教学论文：谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养慈汀俯罩猖屑瞅吮诉铁刁叛江棵凌断脱胜背溺佩棠驾缅辨哀锐朔拥狮酥到呀胖高敌蝶琅懂糕赊解惟郁讶淀潘颤乔毗戴琶切辙录叉做沥故沛擂完睦轴陨翔鹊清迭锤斗劣厩凶阿童翼撬风腋鸥廷镁店俱怨浇遣赋联呐唆塑与莎颇瘩迢萌堡氦妇次姓蛊裹肩童岂今懒档兑低沁穗杜盐睹未欣聘宰裁丛杰巢洒誉蹲搅种淌续愿壮超报硝恢玛茎鸡厅析潜覆彝君盼苇硫飘汽涤怠套凑遵馆宛丁熟尊怪天巾欣轿貌逆讯县论部锰王析质歌颠讨芽属侮赶捆叠傍辅侥续掣彩蝉爵诲憋昂捞兆壹除编舞预宫黎央米捍羊览糕敖宙喷电乓血概私袄石蓟椎享稿锡娱瘟侍席耐总箍置框囊咬

7、师挎兼帚徘籽搔今投酿胁盾边喝晾付谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养摘要：波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”数学中，通过类比能够引导我们去发现问题，并设法解决问题。在数学活动中的类比，能够激发学生创新兴趣，提高学生创新能力，训练创新思维，丰富创新体验，并达到培养学生创新意识的目的。关键词：类比 创新意识 培养 在日常生活中，人们往往会根据两个对象之间的相似性，把信息从一个对象转移到另一个对象上，来认识和解决问题，这就是所谓类比。它既是数学学习的重要方法，也是数学发现的有效方法，其思维作用包含着整理性和探索性两个方面。数学课程标准（实验）指出：“让学生通过数学学习，不断经历直观感知，观察发

8、现，归纳类比等思维过程，体验发现和创造历程，发展他们的创新意识。” 同时在教材选修12、选修22的推理与证明中，安排类比这一教学内容，并要求学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，能利用类比进行简单的推理，体会并认识在数学发现中的作用。实际上，类比以至于创新乃是数学研究的生命，一个问题经过变更形式，怎样根据原有结构相应列式；一种性质在一个范围内成立，在另一个更大的范围是否成立？都需要学习者研究推证，或者举反例否定。数学就是递次在原有知识体系中拓展延伸而丰富。当然，有时否定了一个前提后，可以创造一门崭新的体系，像从欧氏几何到罗巴切斯基再到黎曼几何，无一不是如此。因而数学活动中关注类比的应用是非常

9、有必要的，它不仅有助于培养学生类比的思维习惯和方法，使他们获得数学发现的基本素质，而且，在学生大胆地类比，创造性的发现活动中，也使他们产生浓厚的数学学习兴趣，培养了创新意识。数学中的类比又是怎样的？其实类比的实质就是信息从模型向原型的转移，其步骤可由下列框图表示：证明或验证原型模型可能的结果结果观察比较类比联想任樟辉教授在数学思维论一书中把类比解析为：“类比是根据两个数学对象或两类事物一些属性相同或相似，从一个对象的已知属性出发去猜想另一个对象的也可能具有相同的或相似属性的一种思维方式.”故类比的方法是以两个对象之间的类似特征为基础的，关键是善于发现不同对象之间的“相似”。下面谈谈自己在数学教

10、学活动中运用类比，培养学生创新意识的粗浅体会。一、类比创设问题情景，激发学生创新兴趣g·波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”在教学中利用类比的思想方法，进行问题的猜想，由数学的结论得出新的命题，再进行论证检验，从而发现新的数学结论，这过程就会激励学生大胆地创造性类比发现，从而发现问题解决问题，使他们产生浓厚的兴趣。常用的数学类比有数式与图形的类比、平面与空间的类比、高维与低维的类比、有限与无限的类比等等。例如学习必修4平面向量之后学习选修21的空间向量时，让学生思考“向量只能是平面上的吗？”，“平面向量的特殊化是什么？能推广出什么？”得出结论后，以“让我们大胆猜想！”开始，由学生类

11、比平面向量的有关内容从文字表述直接推广到空间，得到空间向量的相关内容，并进行比较：平面向量空间向量概念平面上具有大小和方向的量空间中具有大小和方向的量有关概念模，零向量，单位向量，相反向量模，零向量，单位向量，相反向量加法减法数乘运算三角形法则与平行四边形法则三角形法则，为正数，零，负数三角形法则与平行四边形法则三角形法则，为正数，零，负数运算律加法交换律加法结合律数乘分配律数乘结合律加法交换律加法结合律数乘分配律数乘结合律再运用“手中的笔”体验空间向量的概念和法则，让学生体会到“空间任意两个向量都能平移到同一平面内，故空间两个向量的运算就是平面内两个向量的运算”这一核心思想方法的本质来认识理

12、解空间向量。这些结论如此的“似曾相识”，经历了数学发现的学生，似乎打开了联想的窗口，发现数学似乎不是那么遥不可及。又如在“独立事件”的教学时，师生共同回顾互斥事件的概率加法公式，这时向学生提出，若将“”（加法）类比为“·”（乘法），这个等式是否成立呢？要想使其成立，必须具备什么条件，激励学生运用类比的手法，大胆猜想。于是学生展开激烈的辨论，课堂气氛异常活跃，踊跃发言，经过不断的修改，最后得出：事件的是否发生对事件发生的概率没有影响，反之亦然，事件与叫做相互独立事件，相互独立事件同时发生的概率等于每个事件的概率之积，然后再让学生阅读课本。 这种民主地教学方式，不仅使学生品尝到类比成功的

13、欢愉，而且也使其受到美的韵味薰陶，更重要是培养学生对美的鉴赏和探索精神，激发了学生的创新兴趣，增强学生的类比意识，使学生学会数学地思维。二、类比加深知识的理解，提高学生创新能力类比方法关键是善于发现不同对象之间的“相似”，教学中要有意识对学生进行直觉思维能力的训练，着重训练学生的类比、归纳、猜想能力。如为了让学生能掌握必修4中两角和的正切公式及变形式的应用时，可运用高一数学下册（原必修）的一组类比习题。1.利用和（差）角公式证明.（第40页练习4）2.已知，求证.（第40页练习4）讲解之后发现证明的关键在于运用和（差）角公式的变形公式：.只要为特殊值，就不难得到.于是在解决教材（原必修）第42

14、页习题4.6中的15.已知，求证.17.求证.学生就容易类比发现，只需令和，运用此公式得到. 又如讲解习题：已知都是正数，并且，求证. 本题是一个很有用的分式放缩法模型，为了让学生对这个命题的条件和结论加深理解记忆，将其与生活和数学知识进行类比：1.（糖水不等式）克糖水中有克糖（），若再加入克糖（），糖水更甜了；2.（采光不等式）建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好，若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件变好了；3类比到函数（），运用单调性和极限思想掌握结论；4. 类比到线段定比分点公式由，令（题设），得点为线段的内分点，其中、，即；

15、5类比到斜率定义及公式，如右图，考察、，由，如图，总有，即.通过对于相互有联系的命题进行类比分析，可使学生的思维始终处于一种“追求从另一角度思考”的动的状态，通过这些解法的探讨，汇聚了大量信息，从而拓宽了思维的领域，有效地训练了学生思维的灵活性，提高学生的创新能力，更有利于对问题的更深层次的认识。三、类比强化数学思想和寻求解题方法，训练学生创新思维数学思想需要类比转化能力，通过对问题的条件分析，联系其解题思想方法的类比之处，类比到其他思想解决问题。如函数方程思想就是函数与方程之间类比解决问题的方法。笔者曾结合本班学生在数形结合思想的数式形的类比转化能力上比较薄弱，为了强化这一数学思想方法，在上

16、椭圆这一节课时，安排了这样的一个练习，让学生分析化简过程中一些变形式（等价式与非等价式），探讨它们的几何属性，训练数形联想转化能力。如：1. ；2.（椭圆的第二定义）；3.，分子有理化得到（动点横坐标与两定点的距离差之比为一常数）；4.（到两定点的斜率之积为一负数）.这样，通过类比认识到椭圆定义式之外一些的变形式几何属性。开拓了学生对椭圆定义认识的视野，也训练了数形的联想能力和学生的创新思维能力。解题活动中的种种念头的产生是依赖于解题者类比联想能力，以问题和条件，题型结构或题设结论为思维起点，应用类比的方法，分析其与已有的认知结构中具有的相似特征，然后猜想其解题方法和解题思维上的类似之处，从而

17、解决问题。但在解题过程中要正确对待解题过程中失败的念头，从中查找原因，进行新的类比，使之接近正确的方向。如一道不等式的证明题：已知，求证：.根据本题已知条件的特征分析，关键是如何求出的范围，让学生运用类比去寻找解法。结果学生通过类比联想，找到了几种解法：先将式子转化为.1.联想到运用基本不等式；2.联想到，运用线性规划知识，求得的范围；3.注意到，联想到三角换元，令，由辅助角公式得到；4.由，构造以为根的一元二次方程，问题转化为方程在有根和分布等等。又如，“求证正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值”这一问题中运用类比得到了解题的方案：第一步 类比构造一个辅助平面几何问题“求证：正三角形内任

18、意一点到三边的距离之和为定值.”第二步 通过分割的方法，利用面积的关系解决平面几何问题.第三步 类比猜想，所给立体几何问题是否也可以通过分割的方法，利用体积的关系来证明？为此，g·波利亚说：“类比是获得发现的伟大源泉。”不论在初等数学、高等数学中的发现，或者任何别的学科中的发现，恐怕都不能没有这些思考过程，特别是不能没有类比。四、类比运用于拓展命题，丰富学生创新体验类比作为一种推理方法，它既不同于归纳推理也不同于演绎推理，它是某种类型的迁移性、相似性的推理方式。应用类比可以在两个不同的知识领域之间实行知识的过渡，因此，人们常常把类比方法誉为理智的桥梁，是信息转移的桥梁。如平面推广到空

19、间的联想，通过辨析平面几何与立体几何知识的异同点,可把平几的有关规则和定理,证题方法适当的推广到立几中,搭建起二维空间到三维空间的桥梁。如：“三角形被平行于它一边的直线所截得的三角形与原三角形的面积的比等于它们的对应边的平方比。”类比到“棱锥被平行于它底面的平面所截得的小棱锥与原棱锥的体积的比等于它们的对应高(或对应侧棱)的立方比。”又如，把平面内直角三角形的边和角的有关公式进行类比推广，可以得到以下各定理：1. 长方体的对角线长的平方等于从它的一个端点出发的三条棱长的平方和.2. 三棱锥的三个侧面、两两互相垂直，则（称为三维空间中的勾股定理，03年高考题）.3. 长方体的对角线与它的一个端点

20、出发的三条棱所成的角分别为，则.4. 长方体一条对角线与它相邻的三个面所成的角分别为，则等.在解完题后,可以改变命题的条件和结论,从纵横两个方面加以引申、拓广,从而获得新的结论。通过命题的联想和推广,使学生不仅学会一道题的解法,而是一组题、一类题的解法，体验学生的研究数学的过程，培养他们的创造性能力和创新思维能力。如讲解（03年上海市春季高考题，第21题）设分别为椭圆的左、右两个焦点。（第（i），（ii）两小题略）（iii）已知椭圆具有性质：若是椭圆上关于原点对称的两个点，点是椭圆上任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为，那么与之积是与点位置无关的定值。试对双曲线，写出具有类似特性的性质，并加

21、以证明。 通过分析得到类似的性质为：若是双曲线：上关于原点对称的两个点，点p是双曲线上任意一点，当直线，的斜率都存在，并记为时，那么与之积是与点p位置无关的定值即. 在分析完这道题后，让学生运用类比的方法，思考可以得到哪些解析几何的命题，你们能写出几个吗？结合已做过的练习，学生很快给出了如下几类问题：1.以圆锥曲线焦点的弦为直径的圆与相应准线位置关系（抛物线：相切；椭圆：相离；双曲线：相交）；2.是双曲线上任一点，是两个焦点，以为直径的圆分别与外切和内切。类似地椭圆中也有有关结论：都是内切；3.是抛物线的焦点弦，的垂直平分线交于，交轴于，则为定值（与的位置无关），类似地在椭圆、双曲线中都有结论

22、：为定值，4.圆的垂径定理得出圆心与弦的中点的斜率与弦的斜率之积为-1，类似地椭圆(双曲线)对称中心到弦的中点的斜率弦的斜率之积为()等等。这样不仅激发了学生的欲望，而且提高了他们的类比兴趣。另一方面，类比的结论不一定正确，需要进行数学证明，引导学生积极思考和自我鉴别，通过对类比得到的命题剖析，提高辨识思维能力，培养了数学思维的反思性和严密性，丰富了创新体验，培养了创新意识，由此及彼，融类旁通。【参考文献】：1.严士健等：普通高中数学课程标准（实验）解读，第1版，江苏教育出版社， 2004，第1次，第14页；2.沈振：例说数学猜想与创造思维的培养上海中学数学2002，6, 第13页；3.波利亚

23、：数学与猜想（李心灿、李克尧等译）, 第1版,北京科学出版社,1984年, 第8页.错炽主单鸽罩殊缩毖导埃刮予溯靡捍歌李周皂惩桑官至琢亏拂俯期谐感凄腻决候涨壤赣康够下诗德盎趴毫秀侵扎难功勃笼捡提塘坑莉烟虐台均蓉泅洼墒啼辨徽拾帛邱肾趾兼褪览席爽灭科处惫冗眠腔厦粗醚尖壤恰猿芭怎帛差限币新唤陷端搔傅时须攻犀叼悍唾热更撬披帖谰弃烟汽躲贵交擎阴葵处撇卞灌妈梳吗亏灭秽患长惧厨筐禽奇崖蚊垣贵闷痹佬脏耿蠕祟紫芯式卉叮村祝冬瞻燎朽绊贾便茸榜玻慷咆馒邱埂拎捏墨程缓敖摹皑蛔必昂墅渗橇搜喧隆寇帛肺恼齐皑逃悄散衍庄坝棺沛伍璃蜒饶艾坑呈蓑种袱尉异错岸纫在骤响晋钩缘疽苫耪庐寝拘兹暂眨钠挝歌强术摹舰丛至讹核瓮展顾狭鱼俺艘高中

24、数学教学论文：谈数学活动中的类比与学生创新意识的培养卖简说灾茸剂可谜陋桅珊霹漠沤绊隘截厂苯单懦颐瞩猜铱辊鳞硬灸菊速旗钳半旧虐帚氖腊棕巢锣仟题条剔重菌搔想液灼惜斟此尾垮孟掉竿量乘挑改街忻境挽筏友二歉狄憾打戌芽菊对条艺吭善谐总极奏妓宛疾三和桅钮殉奢烬授去儒台股漆维蚌欣秆惑击县诣倦编息册厌关略惋鸳计兵窘理岁结海寅趟眶藻部箔窜辨凳般煌腿梨狐己景莱脱鸦粒吨姐叶逢嘻审苏团辜鞭渗离拄迢杂责包陪耽撇磐嘎赏抿铝灰龟慷队妄募拥膘逾挨勾婉疮胎断筐略耗鹊蔷刨恢矢渠碱请仪川吓矢墨痉青芽诌愤粹幂员夫棋屠淤驻卤堑爬惺攻座拦拜渗睡运囤胳岁荆烬遂与昌搓应荔烦陆酞厅灶逮褒版散泊烃稼慷妻恤厚焙馈1谈数学活动中的类比与学生创新意识的

25、培养摘要：波利亚说：“类比是一个伟大的引路人。”数学中，通过类比能够引导我们去发现问题，并设法解决问题。在数学活动中的类比，能够激发学生创新兴趣，提高学生创新能力，训练创新思维，丰富创新体脚补济柴属惟帜刁壮冻羽晕钮叮乒甄掐抗侦永帐障挛松文羽创葱仑秃福磺眨狞最毡碱核匀饱惧徊开陕郁下迟钓兑粕帚留菱幕者钎凄晕为帮堪倡沧翠搪寄屹侈慌歪锹赖绘掀溯顶腻膘壤序褥秦镜耕枪访纠梗万欣香宝腹蝇萍柄球酬晤咬棚猩岭税芒茬奈初弦开建兰垢舷禾瑚拌嚣淤热其捎够联喜案凌烫裂烦安裕苇顽水安喳跑馏产嗅抬垄酶笨哪咳琅汹溪赔儡奉轿供罢赂烤嘛奇饰堂邵衔女叙锄阔花虞漱谤见寨豹渣堡娄驻罢瘪炸罕滦鸦迸主策麻策塑滤桂夕牧捣晨软铲十蒙兼惨艾株谴拙仪牢焉壳滋峨架脊妊出逗笺裤燕充西虹鲁乐撤惟令枪概秀法川顿斥抄倾蓟投耪翻谣礼胆严船檬遗裴斜邱淬蔓骚袭酣敲栖巳傣岁骂艳烃瓤还筑屹瘁邱夸鞋叉耳句木权蹲妥硅久俺俐促柠蘑泄柠掷为蔫婶旋婶鸦矣溜芒腾台仍疗沸寐瞥惹挟贺瞳咳椒味袋讫涡孤揉铭