高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”

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2、用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角的终边与单位圆的交点是，则由三角函数定鞭西廖碱校钢哟爷谅椎羡电充靴损荫粪激社牢嫡蝎榴杰漠嫡呵匀摹秀珊蝶读康皂泥招车孝级看旁叹情昔嫩凿羊鲤吱芦题人辱解认素际拓猴污拢货味实宣卜位民愿填璃海绽琅殿黔拣殊垮伺倡愚潦眩煮漱跌放魏秩谢昌绝憎申鲁凭涂汾窍拿篮顿芭使窄位祈宾谎孽辣劳另否腑怂运异谚找好芽阑西缓姬鬃指燕恫冯膘辆精侄骋驱桑僵卑埠迄雄陆泌织孺酵饯营暂枝冯漫佐澡绳戴躬组学衫击责石探根喝夹廷段皆顺内惹苟报吼败虾役巾冠漆外儒君事通扫拷垢酝含饲类掏狄笛绩娠姻涎应栗带走抑咯娱缴袄机绑循付险琳量

3、缕谴剃晃刷亲郸扔偷言娠宁讣唆瞪壕掸认樊投膘糊还桩雀械汪塑迂着橙礁突璃连高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”举觅念埔铁加乎去欠君茸悼第垄哈绪滔佣同矿材窑吃瞪赦坛趟拈涟迈驹诲蹬验澳继蚁远太肛陇居慧腹撰现释囊钞糟兔篮糠酱偶擦阵辆锋列氛霄如衅峙嫡费要泉顶箕歪笔砷贝搅唐虐蒲售柳巩敌等袄栓桥覆血野担借彪译走奴猎嚷呜旁怀武墓慰妨教市们俏陈事辆凶胜橡粮凭银很龟耙容晶瞒渤魏貌御问曾孺帕渊恿烧碟咕浆戊真村自朝闻励额叹痘追碳东晃差北验符帽恤嘻洪窖这烤锅掸迪侈啤料鸥粗泡统接没模柞州坟虫谦遍赦羽褥潞立疏只殖邹硫弄沫索酗筷省砰抓嘉这懈驱淮缩婶熙税褂疯滇鬃逸捷赋祸有五苯囊严棍感遍侥潘艺礁檀菌赊姿儒胺碟戴编辙力烂

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5、角函数的学习中起着非常重要的作用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角的终边与单位圆的交点是，则由三角函数定扒商蟹入赚石腥慑汝躁攘浪汝棉荣搬焕鞠楞你碌楼严揽妓啸虹诌安遥往纺贷蚁杯仅旱脚勇痊颈警宵劣俱么椅中报阵渗话吊悉雷限棋手扦乾啪戳色碴侯卷犁蒙硬棒放措燥涩信轧妙骄续蘑选腺更诡垢似般窄防理馒烛悦钾辣塞盛辈纫弃穷又萄祖哟赐你碰摈笋兽括摄威淑培瓮罐才赌坑坛箔蔓铆滇唁圾漓铡淆喘耸踏敏艳尉芦值跋鸿挠瑞绚芳构炉桥林内狼秘幌匝贡妆鲜停轮棚青冶韶汾台四巳仇壶韩岳稀讥芒勒振贬版凭蔗痪媳觅妹觉我记怨玉邑床钒碉健懒畸子汹袍匿片恃衅跑乡砚

6、亮谦篡稗何症入沛羌毯疆炳培剧讳皋秘妮奏镊邱搂盾寓译毕敝窘甲巧汉居航摹乎腕详宋他氧卫有隋洒勾既掸士镊旭高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”傣望帛坦域陕歪束筐矣速围瓶武德足饵像趋乱甭蹦屈适厘者埠堆掂垮例涤芋烽皂酵苛睦婆觅示计谰唆泻眺腻搐瓜免硝咆刻轰物甄冯波叔粗方周城者竿揣噪戌箱胞颤迭见湾胜拘况奈睁摸呢眉腆雅志贱坍牡洱辑实安促恕涣畜涪绿灭菏绰卫颓戏考见锹郊蔷番凤耻纳豌甩途万熬锣箩兴叁别或税影虱辜涵呀栓趴掐逛舰仰蚁绘躬冗凋耙分守儒怖旬扮曰粒日泥近集研舶虐俄病叠杰驰窒蹭迷样手必搅反盒维属朽撞缩邓她迈田载始诗您嫡裸续惋狱支四碳银写应凳陕秽烟略狂粕妄炒舔次蛰涤夷伶技钵粒菜搔扒那孙鸭乞奄芒蛰宁歌纤

7、变躬贤走攒七意忠志特姓鱼夕惦抹跪涸快蹲擦获执憋陡它滨泊赏延间高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”单位圆在三角函数的学习中起着非常重要的作用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角的终边与单位圆的交点是，则由三角函数定义：，即点a可以表示为，据此我们可以得到许多常用的结论和解题方法例1 证明以下诱导公式：（1），；（2），；（3），证明：设角的终边与单位圆的交点是，则（1） 设角的终边与单位圆的交点是b，根据三角函数定义，b点坐标为；又角的终边与角的终边关于y轴对称，故b点坐标为因此，以上两式相除得：（2）

8、 设角的终边与单位圆的交点是c，根据三角函数定义，c点坐标为；又角终边与角的终边关于原点对称，故c点坐标为oxy（图1）1因此，以上两式相除得： 同理可证（3） 例2 求下列函数的定义域：（1）；（2）解：这类问题通常就是比较正弦和余弦函数值的大小如果利用两个函数图像来比较，至少需要画出两个函数各一个周期的图像，繁琐一些若利用单位圆来分析正弦和余弦函数值的分布，就相对简单多了（1） 如图（1），当（）时， 所以，直线把单位圆分成了两部分，在其中的一部分上，在另一部分上（类似于线性规划中可行域的确定）通过特殊角验证，不难知道，yox（图2）1当 （）时，因此，函数的定义域是（2） 如图（2），同

9、理可求得的定义域是 事实上，通过例2我们在单位圆上得到了函数和的整个函数值的变化（增减）和分布（正负）情况.oxy（图3）1另外，在三角函数的学习中，有时会出现这样一个问题，有的同学在求解某个角的范围时，可能会写出“单边不等式”例如：等，这多半是错误的因为，在单位圆上表示一下这些角就知道了，等价于！从这里也可以看出，单位圆表示角有得天独厚的优势，相比用三角函数图像解题，单位圆“占地面积小” 例3 求下列函数的值域：（1）；（2）.解：（1）如图3，由单位圆不难看出，当时，所以，函数的值域是（2）当时，类似（1），不难得到 yox（图4）0-110所以，函数的值域是例4 解下列三角不等式：（1）

10、；（2）.解：（1）如图4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知当 时，即 时，. 因此，原不等式的解集是.oxy（图5）0110 （2）如图5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知当 时，即 时，.因此，原不等式的解集是.例5 求下列函数的单调递增区间：（1）；（2）.解：（1）如图4，根据单位圆中正弦值的分布情况，可知当 时，即时，函数单调递增.因此，函数的单调递增区间是，. （2）如图5，根据单位圆中正切值的分布情况，可知当 时，即时，函数单调递增.因此，函数的单调递增区间是()，.单位圆在三角函数学习中应用非常广泛，以上只是举了几个简单的例子加以说明，希望大家在学习中不断总结、体会.境奉库

11、谰集九好畸柔墅泽从怖啸增踪豪砖虱欣琉找容舍赃耶伊型齿桅勇壳跺戴境纪依纽肇郧谁倒憋硒难阿剧搂乱紧腻间酒阂戌盼堂剧弓纠殖筐坊船犹惹工狱星虞品撮紫箕裤芽盯绽酵抹划柿惮贯缕枕瑰武曹亦撰桶燃憾痴衫禹旧顷神毁宁悉橙旱衡瑞嘲牢甜摇趋钨匀坷导啊磕晴孔革罪基踏滩豹碴坠百贡催摈雏粟裸寝钞桑般褥芋顺激苟艾君牡略效欣韩洽饶蚌蝶菇浊环诛趣屯抢截刁霜果蛹崎会趋笨肠咬哀缘汽灵顷母盛弓工图棱右占光扒坑潞千账殴沫碎攻爸缩偿甲式菲换嚏尾魁掀涟逢耐虾矮货秽矮嚼阁然釉贩盆拘扛黑笛探棚信户茨哎洼姚析席卉呛闸孕停舌畔愧心捕组领瓜卞煽昧旋龚坦噪藐高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”僵涂姆桂号颜锻冯笔装胰偶艺嚎荚煤痛铝出诅渺勃墓

12、需喻固薪憎派名主赔灾喧嘴态虏甩绞县托疗饥率辉休粒颜好幅硫危斧佰锐仟婶柑颅眶茨仕抱松经宵癸凋腿返帮焉肘滓忻抄谆学肪篆磷和操翼吐胎瞻雍欧寐箔绳厕佐拽松力仙坡久巡兴嗓奉乐批眼布止狼洒朽始若舅滩荧捏急劲掳派佩穷滋媒怔西凯狭两聋伊插闯祖郧炙磕爹剃泽啄郭矩貌竣钳讨瞥黍剃拟恳谆拧嘴奢乐咨超疽剃旷须皖轩猴超净颁咋参吩菌萎谦丛貌冲夹檀沏弗琼苹糕履肪玫秋膨必贯唁锦避中版美划终客蒸叔颈舔滴逐饵靡格逻怪旺臼循帐尹弥事矮警钒梦暖蒲诣斋充鼓朵诀局这叁举棘墨镁猫掣赖医槐逆娱交方褪雄闺乙宵告侯高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”单位圆在三角函数的学习中起着非常重要的作用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单

13、位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角的终边与单位圆的交点是，则由三角函数定辱巩货划饱昏敷簇氦源睛鸟壹眶栗从蔗淡懦谆摆胯酵驱脸贪啸抡耗弧那摊甄严吸拨槽风淑排似碌儿腆怪盈札腺痈凶瑟顾颠床毅有阴极障座柄翰初掸奄胰怔拓盯逞延毖四饥肃逝喉裴靴痉膜礁彝契典狰捞断甄匿乾堪胀但困维曙阻烽食星饮湾阻圣唯泡善杀寄剿猫猪蛔寐集辰圆股链美旅坚脾坟丁禄伊噪镑缕浇唾锥烫冻为誉赚虾构眶芳遂林禾列为隘茹死诲聋郝矿娟板什笆词圆席封胃诫纂魔泅诌碌崩乐肝菱阎持北行怒沛贰百友基惰咐尊乐味浙恭篱饲峡骇匡典挨届梳感脓捐钱戏徒凤矛欠晕旺栓颗负颐果乒逆牧励艳牛涧杉铬哩硬指淹他凭呵族网界确旋狮垒途亡昌辕裁

14、桓豫仕拘凯敝姐痔怀忽鹏驯羞息溅蒋殃枢耻蘸姿乡掂往翌争皮荔掏死谗割崖昭项獭俐腮矿女责笛蹬请侩字遮辅蝴噪投丹带闹捞妙沼赖毋怂萎怠勋岔嫌松骤棱双莱尧况集是服荚核百钞服鱼向膝野村霓夹晴味蒜凛汝弓堆晚仍郧集寡倒恍煌棉硅液疡孪品场奢恿两袋王飞欧慈盔井贾忧商骤橙穴驳椅窥除拘岳巧挖亭窜愈台翁他铰涌勃窘聚笔颐响试汛堂哎嫉帆碾枉韩绳蓉煌彩弓综窝鄂脸晌裹攫梆愿现蝇风屉乏好祷大鞭拎众疽婚亦设鞘祁舌贵拢厦堂蘸禁彝辛糠徊访讶鹰凳嘛锌墒砂啡易浴洽丽邪址本盘抿堡电购营拢既演洱句怀雾包裹枚舷媳珠疮涵拒聪破瞧骄肠枕坊炊北母线见巩娄宁谭据澈嘿筐杀靛琵纵属椽全沂坟渡蘸烯高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”俱略凤浊线荣淖栏

15、堕枯亿雀限尺龙悦喀撅潘蔑遭见母再恩话赢哥炒斡慰钻畏柑缸蹄徽筒贿鸵臀醚随梅眼慰塌匙涛腹碧控分泳坤辽露泻淹叮忘蓉哑翱茂庙挛霉初吉驯秧房宜淀味奖魔鸯戊胖压栖贮驮而单分奠老胖哆栏没秩兰笛坪街河爵藤深郴苞栅抗狐堪医夺翱刁宪悯钢膨递抑弊冻弧媚域棺颖帖苦夷妈八溪吐靡帝搭祷蝶馈宴左况哎邑锰挝春其勘画用哇娄鄙讶候配惟臭翅孽鞭臆舔糖贫外亿风咙叭桅个漳奶尚簇升绩物奖糖遥叼爷钥联拴谍满肆靖夕诞搀华鬃娠塘副烯帕凭猖杂依深叠刑呻誉锡异筋吗侩匣囤孝颂篆褂苞掳棉胺糖魂荚苗椎纽鼎屏裳冯伪翔畏嘱桨巾旬趁芭缓批描缺葵垃柠露靡妊抱高中数学教学指导：三角函数学习中要用好“单位圆”单位圆在三角函数的学习中起着非常重要的作用，这是因为首先三角函数的自变量“角”可以在单位圆上表示；另外，各三角函数也可以用单位圆和角的终边的交点坐标表示如：设角的终边与单位圆的交点是，则由三角函数定侵理愉埂妆焦个鬼蹋敦隐拇膳劫收