圆周角与圆心角的关系

1、民乐县第二中学民乐县第二中学 王爱萍王爱萍回顾与思考回顾与思考aobn100 ，1、如图在、如图在 o中，中，aob=100 ，则，则ab的度数为的度数为_anb的度数为的度数为_。260 生活中的数学生活中的数学北师大版九年级下册第三章第三节北师大版九年级下册第三章第三节当角顶点发生变化时当角顶点发生变化时, ,我们得到几种情况我们得到几种情况? ?a.obc. 思考：三个图中的思考：三个图中的bacbac的顶点的顶点a a各在圆的什各在圆的什么位置？角的两边和圆是什么关系？么位置？角的两边和圆是什么关系？.aobc.obca.想一想想一想我思考，我进步我思考，我进步你能仿照圆心角的定义给你

2、能仿照圆心角的定义给圆周角圆周角下个定义吗下个定义吗?.obca特征：特征：角的顶点在圆上角的顶点在圆上.角的两边都与圆相交角的两边都与圆相交.圆周角定义圆周角定义: 顶点在圆上顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角并且两边都和圆相交的角叫圆周角叫圆周角.想一想想一想我思考，我进步我思考，我进步1、判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是不是不是是是不是不是不是不是图图图图图图图图图图练一练练一练我思考，我进步我思考，我进步oooabcabcabc请同学们动手画出请同学们动手画出o o中弧中弧acac所所对的圆周角和圆心角，各小组总对的圆

3、周角和圆心角，各小组总结出一共画了几种不同的情况？结出一共画了几种不同的情况？.oca我思考，我进步我思考，我进步n提示提示: :注意注意圆心圆心与与圆周角圆周角的位置关系的位置关系. .n 为了解决这个问题为了解决这个问题, ,我们先探究一条弧所对的我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间的关系圆周角和圆心角之间的关系. .v在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆心角圆心角相等相等. .v在在同圆同圆或或等圆等圆中中, ,相等的相等的弧弧所对的所对的圆周角圆周角有什么关系？有什么关系？oabcoabcoabc合作探究合作探究业精于勤荒于嬉业精于勤荒于嬉v量一量弧量一

4、量弧acac所对的圆周角所对的圆周角abcabc与与圆圆心心角角aocaoc的度数，看看有什么发现？的度数，看看有什么发现？ abcoabcooabc我思考，我进步我思考，我进步n提示提示:注意圆心与圆周角的位置关系注意圆心与圆周角的位置关系.圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系v1.1.首先考虑一种特殊情况：首先考虑一种特殊情况：v当圆心当圆心(o)(o)在圆周角在圆周角(abc)(abc)的一边的一边(bc)(bc)上时上时, ,圆周角圆周角abcabc与圆心角与圆心角aocaoc的大小关系的大小关系. .证明证明:aoc:aoc是是aboabo的外角的外角aoc=b+a.aoc=b+

5、a.oa=oboa=ob，oabca=b.a=b.aoc=2b.aoc=2b.即即 abc = aoc.abc = aoc.21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于等于它所对的它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .理解并掌理解并掌握这个握这个模模型型.v如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样? ?v2.2.当圆心当圆心(o)(o)在圆周角在圆周角(abc)(abc)的内部时的内部时, ,圆周角圆周角abcabc与圆心角与圆心角aocaoc的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n提示提示: :能否转化为能否转化

6、为1 1的情况的情况? ?n证明：过点证明：过点b b作直径作直径bd.bd.由由1 1可得可得: :你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于等于它所对的它所对的圆心角圆心角的一半的一半. .oabcd21nabd = aod,cbd = codabd = aod,cbd = cod, ,21圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系21 abd + cbd = aod+ cod abd + cbd = aod+ cod21 abc = aoc. abc = aoc.21v如果圆心不在圆周角的一边上如果圆心不在圆周角的一边上, ,结果会怎样结果会怎样?

7、?v3.3.当圆心当圆心(o)(o)在圆周角在圆周角(abc)(abc)的外部时的外部时, ,圆周角圆周角abcabc与圆心角与圆心角aocaoc的大小关系会怎样的大小关系会怎样? ?n提示提示: :能否也转化为能否也转化为1 1的情况的情况? ?n证明：过点证明：过点b b作直径作直径bd.bd.由由1 1可得可得: : abc = aoc abc = aoc. .21你能写出这个命题吗你能写出这个命题吗? ?一条弧所对的圆周角等于一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半它所对的圆心角的一半. .doabcnabd = aod,cbd = cod,abd = aod,cbd = cod,2

8、121圆周角圆周角和和圆心角圆心角的关系的关系 abd-cbd= aod- cod, abd-cbd= aod- cod,2121圆圆 周周 角角 定定 理理v综上所述综上所述, ,圆周角圆周角abcabc与与圆心角圆心角aocaoc的大小关系是的大小关系是: :v圆周角定理圆周角定理: :一条弧所对的一条弧所对的圆周角圆周角等于它所对等于它所对 的的圆心角圆心角的一半的一半. .oabcoabcoabc即即 abc = aoc.abc = aoc.21dd圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半。1 1如图，在如图，在oo中，中，boc=50boc=50，则

9、，则bac=bac=变式：变式：若若bac=40bac=40，则，则boc=boc=ocb=ocb= 小试牛刀小试牛刀业精于勤荒于嬉业精于勤荒于嬉2.如图，如图，aob=100，则，则acb=_。oabc3、如图，在直径为如图，在直径为ab的半圆中，的半圆中，o为为圆心，圆心，c、d为半圆上的两点，为半圆上的两点，cod=500，则，则cad=法小结方法小结: :解决圆周角和圆心角的计算和证解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时明问题时, ,要准确找出同弧所对的圆周角和要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角圆心角, ,然后再灵活运用圆周角定理。然后再灵活运用圆周角定理。.o

10、3636或或1441445 5、如图，已知、如图，已知aob=100aob=100，则、，则、adb=_adb=_。acb=_acb=_daocb4、半径为、半径为r r的圆中，有一弦分圆周成的圆中，有一弦分圆周成1 1：4 4两部分，则弦所对的圆周角的度两部分，则弦所对的圆周角的度数是数是 。 1301305050练一练练一练收获知多少？收获知多少？6 6、 如图，如图，aa3535, ,则则obc=_.obc=_.boca5555注意：同圆注意：同圆的半径相等的半径相等2.如图，圆心角如图，圆心角aob=100，则，则acb=_。oabcbao.70 x1.求圆中角求圆中角x的度数的度数1

11、30cao.x120cdb3、如图，在直径为如图，在直径为ab的半圆中，的半圆中，o为为圆心，圆心，c、d为半圆上的两点，为半圆上的两点，cod=500，则，则cad=_25小试牛刀小试牛刀业精于勤荒于嬉业精于勤荒于嬉方法小结方法小结: :解决圆周角和圆心角的计算和证解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时明问题时, ,要准确找出同弧所对的圆周角和要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角圆心角, ,然后再灵活运用圆周角定理。然后再灵活运用圆周角定理。我的思维我拓展！我的思维我拓展！ 1 1、如图，、如图，abab、acac为为oo的两条弦，延长的两条弦，延长caca到到d d，使使ad=abad=ab，

12、如果，如果adb=35adb=35，求，求bocboc的度数。的度数。解解ab=acab=acabd=adb=35abd=adb=35bac=abd+adb bac=abd+adb =70=70boc=2bacboc=2bac =140 =1402.2.如图如图(2),(2),在在oo中中,b,d,e,b,d,e的大小有什么关系的大小有什么关系? ? 为什么为什么? ?3.3.如图如图(3),ab(3),ab是直径是直径, ,你能确定你能确定cc的度数吗的度数吗? ?拓展拓展化化心心动为动为行行动动v1.1.如图如图(1),(1),在在oo中中,bad =50=50, ,求求cc的大小的大小.

13、 .ocabd(1)obacde(2)oabc(3)b=d=ec=130c=901、圆周角定义圆周角定义；2、圆周角定理及其定理应用圆周角定理及其定理应用.3、一条弧所对圆周角、一条弧所对圆周角=圆心角的一半圆心角的一半=弧的度数的弧的度数的一半一半.解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时解决圆周角和圆心角的计算和证明问题时,要准确找要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周然后再灵活运用圆周角定理。角定理。思想方法思想方法圆周角定理的证明渗透了圆周角定理的证明渗透了“特殊到一般特殊到一般”的思想的思想方法和分类讨论的思想方法。方法和分类讨论的思想方法。.我

14、的收获我来谈！我的收获我来谈！知识方面知识方面技能方面技能方面我的收获我来谈！我的收获我来谈！例例1.如图：如图：oa、ob、oc都是都是 o的半径的半径aob=2boc.求证：求证：acb=2bac.aob=2bocaobcacb=2bac证明：证明：规律规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理然后再灵活运用圆周角定理分析分析:ab所对圆周角是所对圆周角是acb,圆心角是圆心角是aob.则则acb=aob.bc所对圆周角是所对圆周角是bac,圆心角是圆心角是boc

15、,则则bac=boc2121acb=aob21bac=boc21 盛年不重来盛年不重来, ,一日难再晨一日难再晨, ,及时宜自勉及时宜自勉, ,岁月不待人岁月不待人. .结束寄语结束寄语5、如图，在、如图，在 o中，中，bc=2de，boc=84，求，求a的度数的度数。 4 4、abab、acac为为oo的两条弦，延长的两条弦，延长caca到到d d，使，使ad=abad=ab，如果，如果adb=35adb=35，求，求bocboc的度数。的度数。解解ab=acabd=adb=35bac=abd+adb=70boc=2bac=140解解:连接连接cdboc=84bad= boc=42boc=8

16、4bad= boc=42bc=2dedebc=2dede为为4242的弧的弧dce=42dce=42 =21 =21a=bdc-dce=42-21=21a=bdc-dce=42-21=212121 1 1、abab、acac为为oo的两条弦，延长的两条弦，延长caca到到d d，使，使ad=abad=ab，如果，如果adb=35adb=35，求，求bocboc的度数。的度数。解解ab=acab=acabd=adb=35abd=adb=35bac=abd+adb=70bac=abd+adb=70boc=2bac=140boc=2bac=140一一、这节课主要学习了两个知识点：、这节课主要学习了两个知识点：1、圆周角定义。、圆周角定义。2、圆周角定理及其定理应用。、圆周角定理及其定理应用。二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了透了“特殊到一般特殊到一般”的思想方法和分类讨