3 光在几类特殊晶体的传播规律

1、3. 光在几类特殊晶体中的传播规律光在几类特殊晶体中的传播规律(1) 各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体(2) 单轴晶体单轴晶体 a. 两种特许线偏振光波两种特许线偏振光波(本征模式本征模式) b. e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向(3) 双轴晶体双轴晶体4.2.1 光在晶体中传播的解析法描述光在晶体中传播的解析法描述(1) 各向同性介质或立方晶体各向同性介质或立方晶体 主介电系数主介电系数 1= 2 = 3 = n02 将波法线菲涅耳方程通分、整理，得到：将波法线菲涅耳方程通分、整理，得到：0)()()()(321212313232232222121223322

2、22114kkkkkknkkkn 1= 2 = 3= n02，并注意到，并注意到 k12+k22+k32 = 1，上式简化为：，上式简化为：0)()()()(32121231323223222212122332222114kkkkkknkkknk1e1+k2e2+k3e3=0 解得重根 n= n= n0。 把 n= n= n0 代入(4.2-34)，得到三个完全相同的关系式：0)(2202nn0ek 在各向同性介质中，沿任意方向传播的光波折射率都等于主折射率 n0 ，即光波折射率与传播方向无关。各向同性介质中d, e, k, s 的关系 eeddsk0ek 在各向同性介质或立方晶体中传播的光波

3、，允许有两个传播速度相同的线性不相关的偏振态，两偏振方向正交。相应的振动方向不受限制，并不局限于某一特定的方向上。keks/de/(2) 单轴晶体单轴晶体则： k1 = 0, k2 = sin , k3= cos ne no 正单轴晶体ne no 负单轴晶体a 两种特许线偏振光波(本征模式) 为讨论方便，取 在x2ox3平面内，并与 x3 轴夹角为 。k2o2e32o21,nnn主介电系数为：0111111322322221221nknknk(4.2-31)0)sinsin()sinsin(2e4o22e22o2e2o222e22o4nnnnnnnnnn0)cossin(2e2o22e22o2

4、2o2nnnnnnn）（解得：22e22oeocossinnnnnn (4.2-45)化简得(4.2-44)将 代入(4.2-31)得到2o2e32o21,nnnn = non与光传播方向无关，相应的光波称为寻常光波，即 o光。 在晶体中只有 x3 轴一个方向是光轴，称为单轴晶体。 对于 e 光，当 =/2 时，n= ne；当 =0 时，n= no 。可见，当 与 x3 轴方向一致时，光的传播特性如同在各向同性介质中一样， n= n= no ，因此把 x3 轴称为光轴。kn与光传播方向有关，随 变化，相应的光波称为异常光波(非寻常光波、非常光波)，即 e 光。将 n = n= no和k1= 0

5、, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得 o 光0)sin(cossin322o2e22oennen0cossin)cos(32o222o2oenenn0)(12o2oenn 因此 o 光的 平行于x1轴， 。对于一般的 方向，o 光的 垂直于 与光轴(x3 )所决定的平面。又由于 ，所以 o 光 。iee1kkendoo2ed/ee第一式中系数为零，e1 有非零解；第二、三式系数行列式不为零，e2 =e3 =0。将 n = n和 k1= 0, k2= sin , k3= cos 代入(4.2-34)式，得 e 光0)sin)(cossin)(3222e22 enne

6、n0cossin)()cos)(322222o enenn0)(122o enn一式中系数不为零，所以 e1 = 0 ；二、三式系数行列式为零，e2 和 e3 有非零解。 d1= 01e1 = 0 ，所以 在x2o x3面内，但 不平行于 。另外 、 与光轴共面，但 与 不平行。仅当 =/2 时，e2=0， 与光轴平行， ， 。eed/ksksks/de 位于x2o x3平面内，即 与光轴(x3 )所决定的平面内。ke 单轴晶体中存在两种特许偏振方向的光波(本征模式)： o光和 e光。对应于某一波法线方向 有两条光线： 和 ，两种光波的 ( )彼此垂直。kesosed 对于o光： ，并且垂直于

7、 与光轴所确定的平面；折射率不依赖于 的方向； 与波法线方向重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性一样，所以称为寻常波。de/kkos 对于 e光： 与 一般不平行，并且都在 与光轴所确定的平面内。它们与光轴的夹角随 的方向改变；折射率随 的方向变化； 与波法线方向不重合。这种特性与光在各向同性介质中的传播特性不一样，所以称为异常光波。edkkkesx1x3x2deeodosoeesek图4-6 单轴晶体中的 o 光和 e 光b. e 光的波法线方向和光线方向光的波法线方向和光线方向 由上分析已知，单轴晶体中由上分析已知，单轴晶体中 e 光波法线方向与光线方光波法线方向与光线方向之间存在

8、着一个夹角，通常称为向之间存在着一个夹角，通常称为离散角离散角。确定这个角度，。确定这个角度，对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。对于晶体光学元件的制作和许多应用非常重要。 3213210321000000eeeddd则：22o02102ened32e03303ened(4.2-49)2323tan,taneedd由几何关系得(4.2-50) 对于 同一e 光：取 x3 轴为光轴， 均在主截面 x2ox3 平面内， 与 x3 轴的夹角为 ， 与 x3 轴的夹角为 ，且所取坐标系为单轴晶体的主轴坐标系，则有ksde、kstantan1tantan)tan(tan12e22o22e2osin

9、cos112sin21tannnnn根据离散角的定义将 (4.2-51)式代入，整理得tantan2e2onn由(4.2-49)和 (4.2-50)式可得(4.2-51)(4.2-52)(4.2-53)可见：eo2o2em2arctannnnn 当 = 0或 = 90 ，即光波法线方向 平行或垂直于光轴时，=0。此时， 与 、 与 方向重合。deskk /2时，对于正单轴晶体，ne no， 0，e光的光线较其波法线靠近光轴；对于负单轴晶体，ne no， 0，e光的光线较其波法线远离光轴。 当 与光轴间的夹角 满足： 时，koetannndd1dd)tan1 (tancos1tan11dd224

10、o4e2e2o22e2o24e4onnnnnnnn0)tan1 (tan1dd1dd224o4e2e2onnnn证明： 时，将 = 对 求导，得为得到最大离散角 m ，应令 d /d = 0，即由 ，有tantan2e2onnoetannneo2o2em2arctannnnn oetannneo2o2em2arctannnnn 求解得：由此得：0)tan1 (tan22e2o24o4ennnntantan2e2onn(4.2-51)tantan1tantan)tan(tan(4.2-52)图 4 - 7 实际的晶体元件方向 光轴空气晶体e光o 光 实际应用中，经常要求晶体元件工作在最大离散角的

11、情况下，同时满足正入射条件。 通光面(晶面)与光轴的夹角 = 90 。 eotannn则 满足： (3) 双轴晶体双轴晶体 1 2 3 ，n1 n2 n3 。 通常通常 1 2 3 。 双轴晶体有两个光轴，当光沿该二光轴方向传播时，其双轴晶体有两个光轴，当光沿该二光轴方向传播时，其相应的二特许线偏振光波的传播速度相应的二特许线偏振光波的传播速度(或折射率或折射率)相等。相等。 由波法线菲涅耳方程可以证明，两个光轴都在由波法线菲涅耳方程可以证明，两个光轴都在x1ox3平面平面内，并且与内，并且与 x3 轴的夹角分别为轴的夹角分别为 和和 。 小于 45 的晶体，叫正双轴晶体; 大于 45 的晶体

12、，叫负双轴晶体。2223212213tannnnnnn光轴1光轴2x3x1x2(垂直纸面向内)232122121222/ )(sin2/ )(cos1nnn2/1232212sincos nnn1nn 由(4.2-31)式可以证明，若光波法线方向 与二光轴方向的夹角为1和2时，相应的二特许偏振光的折射率满足：k当1=2 = ，即当波法线方向 沿二光轴角平分面时，相应的二特许偏振光的折射率为：k对于某个给定的波法线方向 ，其相应的二特许偏振光的光矢量 ( ) 振动方向和光线传播方向 就确定了。kde,s1.折射率椭球折射率椭球(光率体光率体)2.折射率曲面和波矢曲面折射率曲面和波矢曲面3.菲涅耳

13、椭球菲涅耳椭球4.射线曲面射线曲面4.2.2 光在晶体中传播的几何法描述光在晶体中传播的几何法描述1. 折射率椭球折射率椭球(光率体光率体)(1) 折射率椭球方程折射率椭球方程(2) 折射率椭球的性质折射率椭球的性质(3) 利用折射率椭球确定利用折射率椭球确定 d, e, k, s方向的几何方法方向的几何方法(4) 应用折射率椭球讨论晶体的光学性质应用折射率椭球讨论晶体的光学性质(1)折射率椭球方程折射率椭球方程由光的电磁理论，主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度由光的电磁理论，主轴坐标系中，晶体中的电场储能密度:在给定能量密度在给定能量密度 we 的情况下，该方程为的情况下，该方程为 (d1、

14、d2、d3)空空间的椭球面。间的椭球面。d故有故有ewddd0323222121232322212102121ddddewe1232322222121nxnxnx则有则有或或 1323222121xxxeeewdxwdxwdx0330220112,2,2若令：若令：图图 4 - 10 折射率椭球折射率椭球(光率体光率体) 若从主轴坐标系原点出若从主轴坐标系原点出发作波法线矢量发作波法线矢量 ，再过，再过坐标原点作中心截面坐标原点作中心截面 (k)与与 垂直，垂直， (k)与椭球的与椭球的截线为一椭圆，该椭圆的半截线为一椭圆，该椭圆的半长轴和半短轴的矢径分别记长轴和半短轴的矢径分别记作作 ra(

15、k) 和和 rb(k) 。kk(2) 折射率椭球的性质折射率椭球的性质| )(|)(| )(|)( krknkrknba两个重要性质：两个重要性质： 与波法线方向与波法线方向 相应的两个特许线偏振光的折射率相应的两个特许线偏振光的折射率 n 和和 n，分别等于椭圆的两个主轴的半轴长：，分别等于椭圆的两个主轴的半轴长： k| )(|)()(| )(|)()( krkrkdkrkrkdbbaa 与波法线方向与波法线方向 相应的两个特许线偏振光相应的两个特许线偏振光 的振动方向的振动方向 和和 ，分别平行于，分别平行于 和和 ，即：，即：kddd arbr这里，这里， 是是 矢量方向上的单位矢量。矢

16、量方向上的单位矢量。dd两个重要性质：两个重要性质： 对于给定晶体，已知晶体的主介电张量，可以作出相应对于给定晶体，已知晶体的主介电张量，可以作出相应的折射率椭球，从而就可以通过几何作图法定出与波法线矢的折射率椭球，从而就可以通过几何作图法定出与波法线矢量量 相应的两个特许线偏振光的折射率和相应的两个特许线偏振光的折射率和 的振动方向。的振动方向。kd 折射率椭球的物理意义：折射率椭球的物理意义：表征晶体折射率在晶体空间的表征晶体折射率在晶体空间的各个方向上全部取值分布的几何图形各个方向上全部取值分布的几何图形。椭球的三个半轴长分。椭球的三个半轴长分别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方别等于三个主介电系数的平方根，其方向分别与介电主轴方向一致。