二次函数的图象

1、 二次函数的图像和性质济源市实验中学济源市实验中学 初三数序组初三数序组1.若（若（m，a），（），（n，a）是）是抛物线上不同的两点，抛物线上不同的两点，则抛物线的对称轴为：直线则抛物线的对称轴为：直线2nmxabxx2221abacabxacbxaxy44)2(2222.抛物线与抛物线与x轴两个交点轴两个交点之间的距离之间的距离 aacbxxab4221yocx1x2abx2ab)44,2(2abacab3、系数、系数a的作用：的作用：决定开口方向与开口大决定开口方向与开口大小以及函数最值情况小以及函数最值情况注意：注意：|a|越大，抛物线的张口越小；越大，抛物线的张口越小；|a|越小，抛

2、物线的张口越大，越小，抛物线的张口越大，|a|相同的抛物线通过平移相同的抛物线通过平移（或旋转）一定能重合。（或旋转）一定能重合。yocx1x2abx2ab)44,2(2abacabyocx1x2abx2ab)44,2(2abacab4、系数、系数b的作用：的作用：和抛物线的对称轴有关。和抛物线的对称轴有关。当当ab0时，对称轴在时，对称轴在y轴左侧轴左侧当当ab0b.b2-4ac0c.2a+b0d.4a-2b+c0)的对称轴，当的对称轴，当x1=0,x2=1.5,x3=3时，时，对应的对应的y值依次是值依次是y1,y2,y3,则它们之则它们之间的大小关系是间的大小关系是_2)2(2)(222

3、22222babaxbaxbaxyxyox=21.531y1y2y3例例3.求满足下列条件的二次函数解析式：求满足下列条件的二次函数解析式：（1）二次函数的图像与）二次函数的图像与x轴交于点轴交于点a(2,0), b(4,0),且图像过点且图像过点c(1,6)（2）二次函数当）二次函数当x=1时有最大值时有最大值y=4,且且x=0时时 y=0（3）二次函数的图像可由函数）二次函数的图像可由函数y=ax2-1的图像的图像 向左平移向左平移2个单位得到，且过点个单位得到，且过点m(-1,-3)4)(2(xxay设4) 1(2xay设1)2(2xay（4）图象在图象在x轴上截得的线段长为轴上截得的线

4、段长为4，图象，图象 的顶点坐标为的顶点坐标为p（3，-2）。）。xyop(3,-2)15)5)(1(xxay设（5）已知抛物线）已知抛物线c与抛物线与抛物线y=2x2-4x+5关关于于x轴对称，求轴对称，求抛物线抛物线c 的解析式的解析式。xyo(1,3)y=2(x-1)2+3(1,-3)y=2(x-1)2-3思考：若把抛物线抛物线y=2xy=2x2 2-4x+5-4x+5绕着顶点旋绕着顶点旋转转1801800 0（6）抛物线与）抛物线与x轴两交点的横坐标之和为轴两交点的横坐标之和为 -2.5，积为，积为-6，且过点，且过点(0,-6)a(x1,0),b(x2,0)x1+x2=-2.5, x

5、1x2=-6 x1,x2是方程是方程x2+2.5x-6=0的两根的两根所求的抛物线解析式是所求的抛物线解析式是y=a(x2+2.5x-6)（7）抛物线的顶点是直线）抛物线的顶点是直线y=2x与与y=-2x+4的的交点，且经过直线交点，且经过直线y=-2x+4与与y轴的交点轴的交点（8）把抛物线）把抛物线y=ax2+bx+c向下平移向下平移2个单位，个单位，再向左平移再向左平移6个当单位，所得的抛物线顶点为个当单位，所得的抛物线顶点为(-3,-1)，且，且a+b+c=9，求原抛物线解析式，求原抛物线解析式)9 , 1 (, 91)3(, 21)63(1)3(222得抛物线经过又即原来的抛物线解析

6、式是平移后的抛物线为cbaxayxayxay例例4已知二次函数已知二次函数y=-x2+(m-2)x+3 满足下列条件：满足下列条件：（1）图象与）图象与x轴两个交点间的距离为轴两个交点间的距离为（2）当）当x1时，时，y随随x增大而减小。增大而减小。求求m的值。的值。21变式：变式：已知抛物线已知抛物线 y=-x2+(m-2)x+3与与x轴交于轴交于a，b两点两点,与与y轴交于点轴交于点c,且同时满足下列且同时满足下列条件条件: (1)当当x-2时时,y随随x的增大而增大的增大而增大; (2)当当x1时时,y随随x的增大而减小的增大而减小. 如果如果o是坐标原点是坐标原点,m是是ab中点中点,

7、问是否问是否存在这样的存在这样的m值值,使使com的面积等于的面积等于2或或6?若存在若存在,请求出请求出m的值的值;若不存在若不存在,请说明请说明理由理由?例例5.已知点已知点a（-1，-1）在抛物线）在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上上（1）求抛物线的对称轴；）求抛物线的对称轴；（2）若）若b点与点与a点关于抛物线的对称轴对称，点关于抛物线的对称轴对称， 问是否存在与抛物线只交于一点问是否存在与抛物线只交于一点b的直线？的直线？ 如果存在，求符合条件的直线；如果不存如果存在，求符合条件的直线；如果不存 在，说明理由。在，说明理由。解（解（2） b点与点与a点关于抛物线的对称

8、轴对称点关于抛物线的对称轴对称b点坐标为（点坐标为（x,-1），又），又b点在抛物线点在抛物线 上，上，11082xxy110812xx解得解得b点坐标为点坐标为) 1,41(k=-3,y=8x2+10 x+1当直线过点当直线过点b，且与，且与y轴平行时，轴平行时，满足条件，此时直线为满足条件，此时直线为41x假设存在直线假设存在直线y=mx+n与抛物线只交于一点与抛物线只交于一点b5 .06, 5 .0, 64110)1 (32)10(001)10(81108222xynmnmbnmnxmxxxynmxyyb在直线上又轴不平行时且与当直线过b ba a本节内容主要复习了二次函数的图象和性质，

9、本节内容主要复习了二次函数的图象和性质，围绕解析式、图象、性质三方面展开。围绕解析式、图象、性质三方面展开。（1）研究二次函数图象的关键是将函数式转换）研究二次函数图象的关键是将函数式转换为顶点式，理解二次函数性质的关键是：充分为顶点式，理解二次函数性质的关键是：充分理解图象的直观性。归纳到理解图象的直观性。归纳到“三点（顶点、与三点（顶点、与坐标轴交点）一开口坐标轴交点）一开口”。（2）用待定系数法求二次函数的解析式，三种）用待定系数法求二次函数的解析式，三种表达形式在不同条件下，应选择计算量少的那表达形式在不同条件下，应选择计算量少的那一种形式，通常还用到抛物线截一种形式，通常还用到抛物线

10、截x轴所得线段轴所得线段长，面积等求法。长，面积等求法。小结：例例6. 已知二次函数已知二次函数y=x2+ax+a-2（1）证明：不论）证明：不论a取何值，抛物线取何值，抛物线y=x2+ax+a-2的顶点的顶点q总在总在x轴下方。轴下方。（2）设抛物线）设抛物线y=x2+ax+a-2与与y轴交于点轴交于点c，如，如果过点果过点c且平行于且平行于x轴的直线与该抛物线有两个轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一交点为不同的交点，并设另一交点为d,问：问：acd能能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由。解析式；若不能，请说明理由。（3）在（）在（2）题的已知条件下，又设抛物线与）题的已知条件下，又设抛物线与x轴的交点之一为点轴的交点之一为点a,则能使则能使acd的面积等于的面积等于0.25的