-高一函数的奇偶性

1、奇偶性教材分析“奇偶性” 是人教 A版必修 1 第一章“集合与函数概念” 的第 3 节“函数的基本性质”的第 2 小节奇偶性是函数的一条重要性质，教材从学生熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数、绝对值函数入手，从特殊到一般，从具体到抽象，注重信息技术的应用，比较系统地介绍了函数的奇偶性从知识结构看，它既是函数概念的拓展和深化，又为后续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础，因此，本节课起着承上启下的重要作用学习奇偶性，能使学生再次体会到数形结合思想，初步学会用数学的眼光看待事物，感受数学的对称美教学目标：重点：函数的奇偶性及其几何意义；难点：判断函数奇偶性的方法步骤知识点：函数奇偶性的

2、概念、图像和性质；掌握判别函数奇偶的方法，能判断一些简单函数的奇偶性。能力点：通过函数奇偶性概念的性成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力；教育点：函数奇偶性的学习过程中，培养学生善于观察、勇于探索的良好习惯和严谨的科学态度。自主探究点 : 函数的奇偶性概念 .考试点 : 函数奇偶性的判断 .易错易混点 : 求奇偶性忽视定义域关于原点对称拓展点 : 利用奇偶性单调性综合问题一、创设情境 , 引入新课师：观察一组美丽的图片双喜字。双喜字结构巧妙，是中国美术民俗中的一绝，两个并列的喜字方正、对称，骨架结构稳定，如男女并肩携手而立，又有四个口子，既象征男女欢喜，又象征子孙满堂，家庭融洽与美满。双喜字

3、不仅表达着喜庆，从形上也有共同的特点 - 轴对称图形，也寓意着好事成双。数学来源于生活，在我们学过的函数中哪些函数的图象是对称的？生：二次函数，反比例函数，正比例函数。师：这节课我们就一起探究此类函数的性质特征 - （板书课题）函数的奇偶性。【设计意图 】启发学生由生活现象获取数学图形的直观认识二、探究新知自主探究（一）填写下表，并利用描点作图法画出函数 f （x）=x2 与函数 g（x）=x的图像。X-3-2-10123f(x) =x2X-3-2-10123g(x) =|x|思考 : 这两个函数的图象有何共同特征？生：填表，作图。师：通过作图，你发现这两个函数的图象有何共同特征？生：（齐答）

4、两个函数的图象关于y 轴对称。师：具有这类特征的函数还有很多，我们称之为偶函数。这是我们从形的角度刻画了偶函数， 下面我们共同尝试从函数解析式方面刻画偶函数。自主探究（二）1. 观察函数 f(x) 的表格， f(-1) 与 f(1) ，f(-2) 与 f(2) ， f(-3)与 f(3)有什么关系？2. 将 x 的值推广到定义域内任一值，是否也具有这种关系？3. 你能利用函数解析式描述此函数的这种关系吗？4. 尝试给出偶函数的定义。学生活动：自由发言交流。教师活动：让学生大胆说去，控制课堂秩序。引导学生从函数解析式入手，形成概念，板书偶函数的定义：一般地，如果对于函数 f (x) 的定义域内任

5、意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，那么函数 f ( x) 就叫做偶函数设计意图：从特殊到一般，培养学生的语言表达能力和抽象概括能力，形成偶函数的概念 .（三）自主探究（三）还有一类函数叫奇函数，请大家类比上面的研究方法和步骤，自学这部分内容学生活动：阅读教科书第3839 页的相关内容，四人一小组讨论交流教师活动：巡视教室，个别指导，针对学生的疑问，适时予以解答，板书奇函数的定义：一般地，如果对于函数f ( x) 的定义域内任意一个x ，都有 f ( x)那么函数f ( x) 就叫做奇函数 .f (x)，设计意图：一方面培养学生的自学能力和探索精神，另一方面加强学生的团队合作意识

6、三、理解新知问题 1：研究函数优先考虑定义域，偶函数或奇函数的定义域有什么要求？（定义域关于原点对称）问题 2：为什么强调任意和都有？（说明具有一般性，避免特殊性。）问题 3：奇函数偶函数的图像有什么特点？（ 奇函数图像关于坐标原点中心对称，偶函数图像关于 y 轴轴对称）【设计意图 】使学生加强对奇（偶）函数的认识。四、运用新知例 1 判断下列函数的奇偶性1f (x)x42f (x) x53f ( x)x14f ( x)1xx2定义域 R， f ( x)( x)4x4f (x) f ( x) 为偶函数解： 1定义域 R， f ( x)( x)5x5f ( x) ， f (x) 为奇函数2定义域

7、x|x 0 关于原点对称， f ( x)11x(x)f ( x)3xxx f ( x) 为奇函数411f ( x) ， f ( x) 为定义域 x|x 0 关于原点对称， f ( x)x2( x)2偶函数师：如何判断这些函数的奇偶性？生：利用图象对称性。师：这些函数的图象我们不熟悉，利用描点法画图不容易操作。生：利用奇偶函数的定义判断。师：非常正确。板书例1.【设计意图 】使学生熟悉用定义判断函数奇偶性的基本步骤练习 判断下列函数的奇偶性，并说明理由(1)f ( x)x23, x10,20 ；(2)f (x)x3x, x2,2(3 ） f ( x)0, x6, 22,6；(4)f ( x)x2

8、x 2 ；(5)f ( x)5 ；【设计意图 】加深对概念的理解，熟练判断函数奇偶性的方法例 2. 已知 f (x) 是定义域为 R 的奇函数，当 x0 时， f ( x)x2x2，求 f ( x)的解析式 .解：设 x 0 ，则 x 0 ，由已知得 f (x)( x)2( x) 2x2x 2 ， f ( x) 是奇函数， f ( x)f (x)x2x2 ，当 x 0 时， f (x)x2x2 ；又 f ( x) 是定义域为 R 的奇函数， f (0)0x2x2,x0,综上所述： f ( x) 0,x0,x2x 2,x 0.【设计意图 】 分段函数的奇偶性的判断应分段讨论, 也就是“分段函数问

9、题分段解决” . 另外在解决分段函数问题时 , 一定要注意要根据 x 的范围的不同选取相应的函数表达式 .奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.若奇函数f ( x) 定义域中含有0，则必有 f (0)0 .练习 .已知函数 f (x) 为偶函数 , 且 x0 时,f ( x)2x24x , 求当 x0 时f ( x) 的解析式 .【设计意图 】加深理解，熟练判断函数奇偶性的方法例 3. 已知 y f ( x) 是奇函数 , 它在 (0, ) 上是增函数 , 且 f (x)0, 试判断F (x)1 在 (,0) 上

10、的单调性 , 并加以证明 .f ( x)解：任取 x1 x20 , 则必有 x1x2 0 .yf (x) 在 (0,) 上是增函数 , 且 f ( x) 0 ,f (x1) f (x2 )0 .又y f ( x) 是奇函数 ,f ( x1)f (x1), f (x2 )f (x2 ) ,0f (x1) f (x2 )于是 F (x1) F (x2 )11f ( x2 ) f (x1)0.f ( x1)f ( x2 )f (x1) f ( x2 )即 F ( x1) F ( x2 ),F ( x)1 在 (,0) 上是减函数f (x)【设计意图】 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的有关知识及探索

11、性问题的解法 . 本题中最容易发生的错误是一开始就在 (0, ) 内任取 x1 x2 展开证明 , 但是这样就不能保证 x1 , x2 在 ( ,0) 内的任意性 , 从而导致错误. 避免错误的方法是 : 要有明确的目标 , 有针对性的展开证明 , 也就是说要在 (,0) 内任取 x1 x2 , 进而利用已知条件判断 F (x1)F (x2 ) 的符号 .练习 已知 f ( x) f (x) 是 R上的偶函数，且在 (0,+) 上单调递增，并且f ( x) <0 对一切 x R 成立，试判断 F ( x)1,0) 上的单调性，并在( f ( x)证明你的结论 . 五、课堂小结知识：两个定

12、义 :对于函数 f ( x) 定义域内的任意一个x，如果都有 f (x) =-f (x) )f ( x) 为奇函数。如果都有 f ( x) = f ( x) )f (x) 为偶函数。两个步骤 : （判断函数的奇偶性）（）先求出定义域，看定义域是否关于原点对称（）再判断 f ( x) =- f ( x) 或 f ( x) =f ( x) 是否成立。思想 : 特殊到一般 , 数形结合【设计意图 】加强对学生的学法指导，授人以渔六、布置作业1 阅读教材 p33 362 书面作业 p39 组 6.学习丛书 p28 293 当堂检测下面四个结论，其中正确命题的个数是（）（ 1）偶函数的图象一定与 y 轴

13、相交；（ 2）奇函数的图象一定通过原点；（ 3）偶函数的图象关于 y 轴对称；（ 4）既是奇函数，又是偶函数的函数一定是 f ( x) 0（ xR）A1B2C3D4已知函数f ( x) ax2bxc(a0) 是偶函数，那么g( x)ax3bx2cx是（）A奇函数B偶函数C既奇且偶函数D非奇非偶函数已知y f ( x)是定义在R上的奇函数，当x x0时，f ( x) x22x，则f (x)在R 上的表达式是（）Ay x( x2)By x( x1)Cy x ( x2)Dy x( x2)已知 f ( x) ax2bx 3ab是偶函数，且其定义域为 a 1，2a ，则 a ， b 七、教学反思亮点：本节先让学生填表画图，对函数图象得到直观的认识。为了引导学生由图形到数量关系的精确认识，先由特殊值的数量关系到一般定义域的任意数。目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力。最后通过例题和练习进一步加深学生对定义的理解不足之处 ：第一，处理学生例题时，此处