不定方程(组)新思维初中数学

1、精品资料欢迎下载12.不定方程（组）解读课标如果一个方程（组）中，未知数的个数多与方程的个数，那么把这种方程（组）叫不定方程（组） .不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在.简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是ax+by=c(a,b,c 为整数，且 ab0)，与之相关的性质有：1.无整数解的判定方法若（ a， b）=d，而 dc，则方程 ax+by=c没有整数解 .2.全部整数解的表示若 ax+by=c 有一组解（特解）x=x 0，x=x 0 -bt.则方程 ax+by

2、=c 全部整数解（通解）可表示为y=y0，y=y0 +at.（t 为整数）问题解决例 1某班级为筹备运动会，准备用365 元购买两种运动服，其中甲种运动服20 元 /套，乙种运动服 35 元 /套，在钱都用尽的条件下，有_种购买方案 .（辽宁省中考题）试一试设购买甲、乙两种运动服的套数为x 套、 y 套，则 20x+35y=365 ，即 4x+7y=73. 将问题转化为求不定方程的正整数解的个数.例 2如图，在高速公路上从3 千米处开始，每隔4 千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始， 每隔 9 千米设一个测速照相标志，则刚好在 19 千米处同时设置这两种标志问下一个同时设置这两种标志的

3、地点的千米数是（） .（河南省竞赛题）A. 32 千米B. 37 千米C. 55 千米试一试设置限速标志、照相标志千米数分别表示为题转化为求不定方程3+4x=10+9y 的正整数解 .D.90 千米3+4x ， 10+9y （ x， y为自然数），问精品资料欢迎下载例3（ 1）求方程2x-5y=4的全部整数解；(2) 求方程5x-3y=-7的正整数解.试一试对于（ 2），先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解.例 4某中学租来同类型大客车若干辆,准备全校师生外出春游.如果每辆车乘坐22 人 ,那么就会余下 1 人 ,如果开走一辆空车,那么所有的师生刚好平均分乘余下的汽车,试说

4、明原先租多少辆汽车和学校师生共有多少人.(已知每辆汽车的容量不多于32 人 )（广西竞赛题）试一试设原先租客车x 辆，开走一辆空车后， 每辆车乘坐k 人，则 22x+1=k（ x-1）（23k32），解此不定方程即可.例 5中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买白鸡.问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？（出自中国数学家张丘建的著作算经）主元法所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这些字母的按降幂排列的多项式，以排除字母间的干扰，简化问题的结构 .例 6圆珠笔购买铅笔 1 支共需7 支，作业本3 个，圆珠笔1 支共需

5、3 元；购买铅笔10 支，作业本4 元.问购买铅笔11 支，作业本5 个，圆珠笔2 支共需多少元？4 个，（ “希望杯 ”邀请赛试题）精品资料欢迎下载数学冲浪知识技能广场x60,1.若方程 36x+83y=2 有一组解为则方程的通解可表示为.y26,2.若方程 2x+3y=1 有一组整数解x1,2x+3y=6 的通解为.y则由此得方程1,3. 一食堂需要购买盒子存放食物，盒子有 A ，B 两种型号， 单个盒子的容量和价格如下表，现有 15 升食物需要存放且要求每个盒子要装满，由于A 型号盒子正做促销活动：购买三个及三个以上可一次性返还现金4 元，则购买盒子所需要最少费用为元 .型号AB单个盒子

6、容量(升 )23单价(元)56（ 20XX年湖北省黄石市中考题）4.某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15 朵红花、 24 朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10 朵红花和 12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10 朵红花、18朵黄花和 25 朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900 朵红花， 3750 朵紫花，则黄花一共用了 _朵 .( 重庆市中考题)5.方程4x+5y=98的正整数解的个数是（） .A. 4B.5C. 6D.76. 为了奖励进步较大的学生,某班决定购买甲、 乙、丙三种钢笔作为奖品5 元、 6 元 ,购买这些钢笔需要花60 元；经过协商,每种钢笔单价下降,

7、其单价分别为 1 元 ,结果只花了4 元、48 元,那么甲种钢笔可能购买().A. 11支B. 9支C. 7支D. 4支（黑龙江省佳木斯市中考题）7. 三元方程x yz 1999 的非负整数解的个数有().A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个( “希望杯 ”邀请赛试题 )8. 某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3 分 ,平一场得1 分 ,负一场得0 分 ,某球队参赛15精品资料欢迎下载场,积33 分 ,若不考虑比赛顺序,则该队胜、平、负的情况可能有().A. 15种B. 11种C. 5种D. 3种（ “希望杯 ”邀请赛试题）9. 一宾馆有2 人间

8、,3人间 ,4人间三中客房提供游客租住,某旅行团20 人准备同时租用这3种客房共7 间 ,如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？（黑龙江齐齐哈尔市中考题）10. 某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240 辆 .由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装.生产开始后， 调研部门发现： 1 名熟练工和2 名新工人每月可安装8 辆电动汽车；2 名熟练工和3 名新工人每月可安装14 辆电动汽车 .(1) 每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车?(2) 如果工厂招聘 n(0< n<

9、10) 名新工人， 使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案?(3) 在 (2)的条件下,工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000 元的工资,给每名新工人每月发 1200 元的工资,那么工厂应招聘多少名新工人,使新工人的数量多于熟练工,同时工厂每月支出的工资总额W( 元 )尽可能地少？（广东省深圳市中考题）11. 一个盒子里装有不多于内都只剩1 粒糖，如果每次200 粒棋子，如果每次2 粒， 3 粒， 4 粒或 6 粒地取出，最终盒11 粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子？（重庆市竞赛题）思维方法天地12.正整数 m， n 满足8

10、m+9n=mn+6 ，则m 的最大值为.（新加坡竞赛题）13. 顺思逆想一年共有12 个月，闰年的二月是29×1+30 ×4+31 ×7=366( 天 )29 天，又有4 个小月，7个大月，所以闰年共有反过来思考：如果非负整数a、b、 c 满足等式：29a+30b+31c=366 ，那么a+b+c=_ ，这样的数组(a、 b、c)共有 _组，它们分别是_（时代学习报数学文化节试题）14. 甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答.以后在抢答过程中若甲答对1 题，就可提6 个问题，乙答对1 题就可提5 个问题，丙答对l 题就可提 4 个

11、问题，供另两人抢答 .抢答结束后，总共有 16 个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是 _.精品资料欢迎下载（江苏省竞赛题）15. 有甲、乙、丙3 种商品，某人若购甲3 件、乙 7 件、丙 1 件共需 24 元；若购甲4 件、乙 10 件、丙 1 件共需 33 元，则此人购甲、乙、丙各1 件共需 _元 .4916. 若正整数a， b， c 满足 a2bca，则 a+b+c 的最大值为.（第 25 届 “希望杯 ”邀请赛试题）17.司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1 小时后， 看到里程碑上的数恰是第一次见到的数颠倒了顺序所得的两位数，再过 1 小时后，第三次看到里程碑上的数恰好是第一次见到的两位数之间添上一个零而得到的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？（河南省竞赛题）18. 陈老师给42 名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支12 元的钢笔，每把4 元的圆规，每本16 元的词典，共用了216 元，问陈老师买了多少支钢笔？多少本词典？（第 22 届 “希望杯 ”邀请赛试题）应用探究乐园19. 将一个三位数 abc 的中间数码去掉，成为一个两个数ac ，且满足 abc 9a