二面角是高中数学

1、优秀学习资料欢迎下载名师指点解题技巧：二面角的计算方法选讲二面角是高中数学的主要内容之一，是每年高考数学的一个必考内容，本文主要通过一些典型的例子说明二面角的基本计算方法，供同学们学习参考。一 、直接法：即先作出二面角的平面角，再利用解三角形知识求解之。通常作二面角的平面角的途径有：定义法 ：在二面角的棱上取一个特殊点，由此点出发在二面角的两个面内分别作棱的垂线；三垂线法：如图 1， C 是二面角AB的面内的一个点， CO平面于 O，只需作OD AB于 D ，连接 CD ，用三垂线定理可证明CDO 就是所求二面角的平面角。图 1垂面法： 即在二面角的棱上取一点，过此点作平面，使垂直于二面角的棱

2、，则与二面角的两个面的交线所成的角就是该二面角的平面角。例 1 如图 2，在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形 ,平面 VAD 底面 ABCD （ 1）证明 AB 平面 VAD ；（ 2）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小解：（ 1）证明：平面 VAD 平面 ABCDABADAB平面 VADAB平面 ABCDAD平面 VAD 平面 ABCD（ 2）解：取 VD 的中点 E ，连结 AF， BE ， VAD 是正三形，四边形ABCD 为正方形，由勾股定理可知， BDAB2AD2AB2 VA2VB, AE VD，BEVD ， AEB 就是所求二

3、面角的平面角.又在 Rt ABE 中， BAE=90° ， AE=33AD=AB ，22因此， tan AEB= AB2 3 .AE3即得所求二面角的大小为arctan 2 3 .3例 2如图 3 ， AB 平面 BCD ， DC CB ， AD 与平面 BCD 成 30°的角，且AB=BC.优秀学习资料欢迎下载（ 1）求 AD 与平面 ABC 所成的角的大小；（ 2）求二面角 C-AD-B 的大小；（ 3）若 AB=2 ，求点 B 到平面 ACD 的距离。解： (1) AB 平面 BCD ， ADB 就是 AD 与平面 BCD 所成的角 ,即 ADB=30 0, 且 CD

4、 AB，又DCBC， ABBCB, CD 平面 ABC ， AD 与平面 ABC 所成的角为 DAC ，设 AB=BC=a, 则 AC=2a ， BD=acot300= 3a ,AD=2a, CDBD 2BC 22a , tan DAC= AC2a1, DAC450 ,CD2a即， AD 与平面 ABC 所成的角为450.(2) 作 CE BD 于 E，取 AD 的中点 F，连 CF ， AB面 BCD， AB面ABD ， 面ABD面 BCD，又 面 ABD面 BCD=BD ，CECE BD ，面BCD ， CE 面 ABD ，又 AC=BC=2a， AF=FD ， AD EF ，有三垂线定理

5、的逆定理可知，CFE 就是所求二面角的平面角 .计算可知 ,CEBC CD6a ， ADAC2CD 22a, CF1AD a ，BD32CE66 sin CFE， CFE=arcsin.CF33故，所求的二面角为arcsin633.略例 3 如图 4 ，P 是边长为 1 的正六边形ABCDEF 所在平面外一点， PA 1， P 在平面 ABC 内的射影为BF 的中点 O.（1）证明 PA BF ；（ 2 ）求面 APB与面 DPB 所成二面角的大小。优秀学习资料欢迎下载解：（ 1 ）在正六边形ABCDEF中，ABF 为等腰三角形， P 在平面 ABC 内的射影为 O， PO 平面 ABF ，

6、AO 为 PA 在平面 ABF 内的射影；又 O 为 BF 中点，ABF 为等腰三角形， AO BF， 有三垂线定理可知 ,PA BF.（ 2） O 为 BF 中点， ABCDEF 是正六边形 ， A、O 、D 共线，且直线 AD BF， PO平面 ABF， BF面ABF , 由三垂线定理可知 , AD PB,过 O 在平面 PBF 内作 OH PB 于 H，连 AH、DH ， 则 PB 平面 AHD, 所以AHD 为所求二面角平面角。又正六边形 ABCDEF的边长为 1 ， AO13， BO3， DO2。2221AO17在AHO 中， OHAHO2，tanOH21,72 217DO321 ；

7、在DHO 中，tan2DHO212OH7721从而，tan AHDtan(AHODHO )22121621721.192122故 , 所求的二面角为-arctan 1621 .9二、面积射影法：如图 5，二面角l为锐二面角 , ABC 在半平面内, ABC 在平面内的射影为 A1B 1C 1 ，那么二面角l的大小应满足 cosS A1B1C1 .S ABC例 4如图 6 ，矩形 ABCD 中 ,AB=6,BC=2 3 ,沿对角线 BD 将ABC 折起 ,使点 A移至点 P, 且P 在平面 BCD 内的射影为O,且 O 在 DC 上.优秀学习资料欢迎下载（ 1）求证 :PD PC ；（ 2 ）求

8、二面角 P-DB-C 的平面角的余弦值；（ 3 ）求 CD 与平面 PBD 所成的角的正弦值 .解: （1）证明 : PC 在面 BCD 内的射影为 OC, 且 OC BC，由三垂线定理可知， BC PC ，又 PB=6 ，BC= 23 ， PC= 2 6,而 PD= 2 3，DC=6 PD2PC236=DC2 ， PD PC.（ 2 ）PBD 在面 BCD 内的射影为 OBD ，且 S PBD162363，2S OBDS CBDS BOC6 3123OC .2设 OC=x, 则 OD=6-x , BD 2DO 2BC 2CO2 , 24 x212 6 x 2, x 4.S BOD634 32

9、 3,设二面角 P-DB-C的大小为，则 cos231.6331故，所求二面角为arccos.三、空间向量法：I、先用传统方法作出二面角的平面角，再利用向量的夹角公式进行计算。例5如图7 ，直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是边长为2 的正方形，AE EB ，F 为CE上的点，且BF 平面ACE （ 1 ）求证：AE 平面BCE ；优秀学习资料欢迎下载（ 2 ）求二面角 B-AC-E 的大小；（ 3 ）求点 D 到平面 ACE 的距离。解：（ 1 ）二面角 D-AB-E 为直二面角，AB 为棱， CB AB ， CB 平面 EAB ，进而可得， CB AE ，又BF 平面ACE ，AEBF

10、 ，而 BC平面 BCE, BF平面 BCE,且 BCBF=F, AE 平面BCE.（2）连结BD交AC于点O，连结OF ，由于ABCD为正方形，所以OBAC，又因为BF 平面ACE ，由三垂线定理的逆定理可知，OF AC ， BOF就是所求二面角的平面角.在平面ABE内作Ax AB, 以A 为原点，分别以Ax 、AB 、AD为 x 轴、 y轴、 z轴，建立如图7 的空间直角坐标系，易知AEB为等腰直角三角形，所以，A(0,0,0),O(0,1,1),B(0,2,0),C(0,2,2),E(1,1,0),设 F（ m, n, t），C、E、F三点共线，CF= CE,即 m, n-2, t-21

11、,1,2,m,n2, t2 2即,点 F坐标为（ ，2，2），2又 BF AC ， ，即 ，- ，- 0,2,2= 0,2,故，点的坐标为3， ， ，O F211,OB0 1 ,1,.3, ,33c o s B O F O F O B 3.O FO B3故，所求的二面角为arccos3II 、直3接求出平面和的法向量 n1、n2，利用向量的夹角公式求n1、n2 的夹角，再根据法向量n1、n2 分别相对于二面角l的方向确定出二面角l的大小。一般地，当法向量n1、n2 都是从二面角l的内部向外部（或外部向内部）穿行时，二面角l的大小就是 n1、n2的夹角的补角；当法向量n1、n2 一个从二面角l的

12、内部向外部穿行，另一个从二面角l的外部向内部穿行时，二面角l的大小就是 n1、n2 的夹角。例 6 （20XX 年四川卷）如图8，在长方体ABCDA1 B1 C 1 D 1 中， E,P 分别是 BC, A1 D1 的中点， M ,N 分优秀学习资料欢迎下载别是 AE,CD1 的中点，ADAA 1a , AB2 a（）求证：MN / 面 ADD 1 A1 ；（）求二面角PAED 的大小。（）求三棱锥PDEN的体积。解：以D为原点，DA,DC ,DD1 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系，则Aa,0,0, Ba , 2 a ,0, C0, 2 a,0, A1a ,0, a, D

13、10,0, a E, P, M , N 分别是 BC, A1D1 , AE,CD1 的中点 Ea, 2 a, 0 , Pa3 aa,22, 0, a , M, a , 0 , N 0, a ,42（1） MN3 a, 0, a42取 n0,1,0，显然 n面 ADD1A1又 MNn0，MNn而 MN面 ADD1 A1 MN / 面 ADD1 A1（ 2 ）显然， m10,0,1 是平面 ABCD 的一个法向量；设m2x, y, z 是平面 PAE 的一个法向量，则 mAE0且mAP0.而 APa ,0, a , AEa ,2a,0 .2222ax az0,21 可取 m22,a,1 ,x2ay 0.22cos m1,m2m1m222 21,m1m22121又法向量 m10,0,1 是从二面角 PAED 的外部向内部穿行的，法向量 m22,1,1 ,是从二2面角 PAED 的内部向外部穿行的 .221故，所求二面角为arccos.（ 3 ）设 n1x1 , y1 , z1 为平面 DEN 的法向量，则n1DE , n1DN优秀学习资料欢迎下载又