不等式中恒成立问题的解法研究完美

1、学习必备欢迎下载不等式恒成立问题中心摘要近几年在数学高考试题中经常遇到不等式恒成立问题。 在 05 年高考辽宁、湖北及天津等省均出现此类题型。本文根据高考题及高考模拟题总结了四种常见的解决不等式恒成立问题的方法。法一：转换主元法。适用于一次型函数。法二：化归二次函数法。适用于二次型函数。法三：分离参数法。适用于一般初等函数。法四：数型结合法。中文关键词“不等式” , “恒成立”在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现恒成立问题，这样的题目一般综合性强，可考查函数、数列、不等式及导数等诸多方面的知识。同时，培养学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。下面结合例题浅谈恒成立问题的常见解法。1

2、 转换主元法确定题目中的主元，化归成初等函数求解。此方法通常化为一次函数。例 1：若不等式 2x1>m(x2-1)对满足 2 m 2 的所有 m 都成立，求 x 的取值范围。解：原不等式化为(x21)m(2x 1)<0记 f(m)= (x21)m(2x1)(2m2)f(-2)-2(x 2 - 1) - (2x - 1)0根据题意有：2(x 2 -1) - (2x - 1)0f(2)2x 22x - 30即：2x - 1 02x 2解之：得 x 的取值范围为17 x13222 化归二次函数法根据题目要求，构造二次函数。结合二次函数实根分布等相关知识，求出参数取值范围。学习必备欢迎下载

3、例 2：在 R 上定义运算：xy (1 y)若不等式 (x a)(xa)<1对任意实数 x 成立，则()(A) 1<a<1(B)0<a<2(C)13(D)a23122a2解：由题意可知(x-a)1-(x+a) <1 对任意 x 成立2 2即 x -x-a +a+1>0 对 x R 恒成立记 f(x)=x2-x-a2+a+1则应满足 (-1)2-4(-a2+a+1)<0 化简得 4a2-4a-3<0解得1a3, 故选择 C。222例 3：若不等式 x -2mx+2m+1>0 对满足 0 x 1 的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围

4、。解：设 f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数 f(x)在 0x1 上的最小值大于0，求 m 的取值范围。(1)当 m<0 时， f(x)在 0,1上是增函数，因此f(0)是最小值，m0得1解2m10<m<0f(0)2(2)当 0m1 时， f(x)在 x=m 时取得最小值0m1得 0 m 1解-m 22m 10f(m)(3)当 m>1 时， f(x)在 0,1上是减函数，因此f(1)是最小值m1得 m>1解f ( 1 ) 2 0综合 (1)(2)(3)得1m2注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也

5、可转化为后面的法3 求解。3 分离参数法在题目中分离出参数，化成 a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用 a>fmax(x)学习必备欢迎下载（ a<fmin(x)）求出参数范围。例：已知向量 a2,x+1), b =(1-x,t)若函数 f(x) a· b 在区间 ，4=(x(11)上是增函数，求t 的取值范围。解：依题意，f(x)x2(1-x)+(x+1)t=-x 3+x2+tx+t则 f (x)=-3x2+2x+t f(x)在 (1，1)上是增函数，则在 ( 1， 1)上有 f (x) 0即-3x2+2x+t0 在 x(-1 ，1) 上恒成立设

6、 g(x)=3x 2-2xtg(-1)即 t5例5 ： 设a0 为 常 数， 数 列 an 的 通 项 公 式 为an 13n+(-1)n-1nnn*·2 +(-1)·2 ·a (n N )若对任意 n1， n N，不50等式 ann-1 恒成立，求 a0 的取值范围。>a解：依题意：1 3 n+(-1) n-1 · 2n +(-1)n· 2n ·a0> 1 3 n-1 +(-1)n-2 ·2n-1 +(-155) n-1 ·2n-1 · a0化简，得(-1) n·3·2n

7、-1 ·a0>- 2 ·3n-1 + 3 (-1)n·2n-1(1)当 n=2k-1kN* 时55a<2·(3)n-1+D01522 ·( 3 ) n-1 + 1设 g1(n)=1525g1(n) 在 nN* 时且 n=2k-1,kN* 时是增函数 g1(n) 的最小值为 g1(1) 13a0< 13(2) 当 n=2kkN*时a0>- 2 · ( 3 ) n-1 +11525学习必备欢迎下载设2(n)=-2·( 3 ) n-1 + 1g1525 g2(n) 在 n N*且 n=2k,k N* 时是减

8、函数 g2(n) 的最大值为 g2(2) 0a0>0综上可知 0<a0< 134.数型结合法例 7：如果对任意实数 x，不等式 x 1kx 恒成立，则实数 k 的取值范围是 0 k 1解析：画出 y11 ,y2 =kx 的图像，由图可看出0 k 1= xK=1例 8：已知 a>0 且 a1, 当 x(-1 ，1) 时，不等式 x2-a x< 1恒成立，则 a12的取值范围,1 1,22解析：不等式 x2-a x< 1可化为 ax> x 2 - 122画出 y1x 22- 1的图像。由图可看出1或1<a 2= a ,y = x2a<121学习

9、必备欢迎下载在解综合性较强的恒成立问题时，有时一题多法。所以以题为本，关键抓住恒成立的实质，具体问题具体分析，不拘泥于一种方法。专题研究之二（不等式中恒成立问题的解法研究）在不等式的综合题中，经常会遇到当一个结论对于某一个字母的某一个取值范围内所有值都成立的恒成立问题。恒成立问题的基本类型：类 型 1 ： 设 f (x) ax 2bxc(a0) ，（ 1 ） f ( x)0在 xR上恒成立a0且0；（ 2） f (x)0在 xR 上恒成立a0且0 。类型 2：设 f ( x)ax 2bxc(a0)（ 1） 当a 0时 ，f ( x)0在 x ,上恒成立bbb2a或2a或2a，f ()00f (

10、) 0f (x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()0（ 2）当 a0时， f ( x)0在 x , 上恒成立f ()0f ()0bbbf (x)0在 x , 上恒成立2a或2a或2af ()00f ( ) 0类型 3：f (x)对一切 xI 恒成立f ( x) minf (x)对一切 xI 恒成立f (x)max。类型 4：恒成立问题的解题的基本思路是：根据已知条件将恒成立问题向基本类型转化，正确选用函数法、最小值法、数形结合等解题方法求解。一、用一次函数的性质对于一次函数 f ( x)kxb, x m,n 有：f (x) 0恒成立f (m) 00恒成立f ( m)0f (n)0, f

11、( x)f ( n)0例 1：若不等式2x1(21)对满足 2 m2 的所有 m 都成立，求 xm x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元， 即将元不等式化为：学习必备欢迎下载m(x 21)(2 x 1)0 ，；令 f (m)m(x 21)(2x1) ，则2 m 2 时，f (m)0 恒成立，所以只需f ( 2) 02( x21) (2x 1) 0f (2)即2(x 21)(2x 1)，所以 x00的范围是 x( 17 , 13 ) 。22二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数 f (x) ax2bxc0(a0, xR) 有：（ 1） f ( x)0在 xR 上恒成

12、立a0且0；（ 2） f ( x)0在 xR 上恒成立a0且0例 2：若不等式 (m1)x 2(m 1)x2 0 的解集是 R，求 m 的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（ 1）当 m-1=0 时，元不等式化为2>0 恒成立，满足题意；（ 2） m 1m 10，所以， m 1,9) 。0 时，只需1) 2(m8(m 1) 0三、利用函数的最值（或值域）（ 1） f ( x)m 对任意 x 都成立f ( x) min m ；（ 2） f ( x)m 对任意 x 都成立m f ( x) max 。简单计作

13、：“大的大于最大的，小的小于最小的” 。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。例 3：在2(B ) cos2 ,且|f(B)m| 2ABC 中，已知 f ( B) 4sin B sinB42恒成立，求实数m 的范围。解析：由f (B)4sin Bsin 2 (B )cos2B 2 sin B1, 0B,sin B(0,1，42mf ( B)2f (B)(1,3 ， | f (B)m |2 恒成立，2f (B)m2 ，即f ( B)2m恒成立， m (1,3例 4：（1）求使不等式 asin xcos x, x 0, 恒成立的实数 a 的范围。解析：由于函asin xcos x2 si

14、n( x4), x4 43 ，显然函数, 4有最大值 2 ，a2。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（ 2）求使不等式 asin xcos x, x(0,) 恒成立的实数 a 的范围。42学习必备欢迎下载解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化， 这样使得 y sin x cos x 的最大值取不到 2 ，即 a 取足条件，所以 a 2 。2 也满所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用

15、对应函数的图象法求解。例 5：已知 a0, a1, f (x)x2a x ,当 x( 1,1)时, 有 f ( x)1 恒成立 ，求实数 a 的取值范围。2解析：由 f (x)x 2a x 1，得 x21a x ，在同一直角坐标系中做出两22个 函 数的 图象 ，如 果两 个 函数 分别 在 x=-1和 x=1处相交，则由121a及( 1) 2 1a 1 得 到 a 分 别 等 于 2 和 0.5 ， 并 作 出 函 数2121a x 在区间 y x 2 1 在y 2x 及 y() x 的图象，所以，要想使函数 x2222区间 x(1,1) 对应图象的上面即可。当a1时 ,只有 a2 才能保证，而0 a1时，只有 a1 才可以，所以 a1,1)(1,2 。 x(