二次函数实际应用问题及解析

1、精品资料欢迎下载中考压轴题中函数之二次函数的实际应用问题，主要是解答题， 也有少量的选择和填空题，常见问题有以几何为背景问题，以球类为背景问题，以桥、隧道为背景问题和以利润为背景问题四类。一 .以几何为背景问题原创模拟预测题1.市政府为改善居民的居住环境，修建了环境幽雅的环城公园，为了给公园内的草评定期喷水， 安装了一些自动旋转喷水器， 如图所示，设喷水管 AB 高出地面 1.5m，在 B 处有一个自动旋转的喷水头， 一瞬间喷出的水流呈抛物线状 喷头 B 与水流最高点 C 的连线与地平面成45 的角，水流的最高点C 离地平面距离比喷水头B 离地平面距离高出2m，水流的落地点为D 在建立如图所示

2、的直角坐标系中：（ 1）求抛物线的函数解析式；（ 2）求水流的落地点 D 到 A 点的距离是多少 m？【答案】（ 1） y1 x22x3；（ 2） 27 m22【解析】试题分析：（ 1）把抛物线的问题放到直角坐标系中解决，是探究实际问题常用的方法，本题关键是解等腰直角三角形，求出抛物线顶点 C（ 2，3.5 ）及 B（ 0， 1.5 ），设顶点式求解析式；（ 2）求 AD，实际上是求当 y=0 时点 D 横坐标在如图所建立的直角坐标系中，由题意知，B 点的坐标为 (01，.5) ，CBE45 ， BEC 为等腰直角三角形，BE2，点坐标为 (2，3.5)（1）设抛物线的函数解析式为yax2bx

3、c(a0) ，精品资料欢迎下载则抛物线过点(01，.5)顶点为 (2，3.5)，当 x 0时， y c1.5由b2 ，得 b4a ，2a由 4acb23.5 ，得6a 16 a23.54a4a解之，得 a0 （舍去）， a1 ， b4a 2 2所以抛物线的解析式为y1 x22 x322考点：本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用点评：此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型原创模拟预测题2. 在青岛市开展的创城活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD

4、，花园的一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅栏围成 （如图所示）若设花园的BC 边长为 x （ m），花园的面积为y （ m）（1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200 m 吗？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由；（3）根据 (1) 中求得的函数关系式, 描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大？最大面积为多少？【答案】（ 1） y1 x 2 20x (0 x 15) ；（ 2）不能；（ 3） x 15 时，最大面积 187.5m2【解析】精品资料欢迎下载 y1 x220x(0 x 15)2（2）当

5、y200 时，即1 x220x2002 x240 x 400 0解得： x2015 0 x 15 此花园的面积不能达到200m考点：本题考查实际问题中二次函数解析式的求法及二次函数的实际应用点评： 此题为数学建模题， 借助二次函数解决实际问题 结合实际问题并从中抽象出函数模型，试着用函数的知识解决实际问题，学会数形结合解答二次函数的相关题型二 .以球类为背景问题原创模拟预测题 3. 如图，排球运动员站在点 O处练习发球， 将球从 O点正上方 2m的 A 处 发出 ， 把 球 看 成 点 ， 其 运 行 的 高度 y （ m） 与 运 行 的 水 平 距 离 x(m) 满 足 关 系 式2y a

6、 x 6 h 。已知球网与 O点的水平距离为 9m，高度为 2.43m，球场的边界距 O 点的水平距离为 18m。（1）当 h=2.6 时，求 y 与 x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当 h=2.6 时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求二次函数中二次项系数a 的最大值。精品资料欢迎下载【答案】 （ 1）把 x=0，y=2 及 h=2.6 代入到 y a x2h ，即 226a 0 6 2.6， a1 。60当 h=2.6 时， y 与 x 的关系式为 y122.6 。x 660（ 3）把 x=0， y=2 代入到 ya x

7、2h ，得 h 236a。6x=9 时， ya 9622 36a 227a 2.43，x=18 时， ya 182236a2 108a 0，6由 解得 a1。54若球一定能越过球网，又不出边界，二次函数中二次项系数a 的最大值为 1 。54【考点】 二次函数的性质和应用，无理数的大小比较。精品资料欢迎下载三 .以桥、隧道为背景问题2原创模拟预测题4. 如图，一大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax +bx+c ，小王骑自行车从O匀速沿直线到拱梁一端A，再匀速通过拱梁部分的桥面AC，小王从 O到 A用了 2 秒，当小王骑自行车行驶10 秒时和 20 秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车

8、通过拱梁部分的桥面AC共需秒【答案】 26。【考点】 二次函数的应用四 .以利润为背景问题原创模拟预测题5.某山区的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府x 万元，可获得利润 P=1x 602对该特产的销售投资收益为：每投入41（万元）。50当地政府拟规划加快开发该特产的销售，其规划方案为： 在规划前后对该项目每年最多可投人 100 万元的销售投资，在实施规划5 年的前两年中，每年都从100 万元中拨出 60 万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3 年中，该特产既在本地销售，也在外地销售。在外地销售的投资收益为：每投入x万元，可获利润D精品资料欢

9、迎下载Q= 49 100 x2288100 x 160 （万元）。505（ 1）若不进行开发，求 5 年所获利润的最大值是多少？（ 2）若按规划实施，求 5 年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（ 3）根据（ 1）、（ 2），该方案是否具有实施价值？【答案】 （ 1）每投入 x 万元，可获得利润 P=1x26041（万元），50当 x =60 时，所获利润最大，最大值为41万元。若不进行开发， 5 年所获利润的最大值是：41×5=20 5（万元）。（ 2）前两年： 0 x 40，此时因为 P 随 x 的增大而增大，所以 x =40 时， P 值最大，即这两年的获利最大为： 2×14060241 =66 （万元）。50后三年：设每年获利y ，设当地投资额为x ，则外地投资额为100 x ， y =P+Q= 1 x6041+49 x2288 x 160 250505= x 2+60 x +129=（ x 30） 2+1029。当 x =30 时， y 最大且为 1