二元一次不等式与平面区域

1、二元一次不等式（组）与平面区域【教学目标】1知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；2过程与方法： 经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；3情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。【教学重点】用二元一次不等式（组）表示平面区域；【教学过程】讲授新课. 探究二元一次不等式（组）的解集表示的图形（1）回忆、思考回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形数轴上的区间思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？（ 2）探究从特殊到一般：先研究具体的二元一次不等式x-y<6 的解集所

2、表示的图形。如图：在平面直角坐标系内， x-y=6 表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：第一类：在直线 x-y=6 上的点；第二类：在直线 x-y=6 左上方的区域内的点；第三类：在直线 x-y=6 右下方的区域内的点。设点是直线x-y=6 上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6 ，请同学们完成课本第 93 页的表格，横坐标 x点 P 的纵坐标点 A 的纵坐标并思考：-3-2-10123y1y2当点 A 与点 P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？根据此说说，直线 x-y=6 左上方的坐标与不等式x-y<6 有什么关系？直线 x-y=6 右下方点的坐标呢？学

3、生思考、讨论、交流，达成共识：在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6 的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6 左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6 。因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6 表示直线x-y=6 左上方的平面区域；如图。类似的：二元一次不等式x-y>6 表示直线x-y=6 右下方的区域；如图。直线叫做这两个区域的边界由特殊例子推广到一般情况：（3）结论：二元一次不等式 Ax+By+C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax+By+C=0 某一侧所有点组成的平面区域 . （虚线表示区域不包括边界直线）4二元一次不等式表示哪

4、个平面区域的判断方法由于对在直线Ax+By+C=0 同一侧的所有点 ( x, y ) ，把它的坐标（x, y ) 代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0, y0) ，从 Ax0+By0+C的正负即可判断 Ax+By+C 0 表示直线哪一侧的平面区域. （特殊地，当C 0 时，常把 原点作为此特殊点）【应用举例】例 1 画出不等式 x4y4 表示的平面区域。解：先画直线x 4y4 （画成虚线） .取原点（ 0， 0），代入x +4 -4, 0+4× 0-4=-4 0,y原点在 x 4 y4 表示的平面区域内，不等式x 4 y4 表示的区域

5、如图：归纳 ：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“ 直线定界， 特殊点定域 ”的方法。 特殊地，当 C 0 时，常把原点作为此特殊点。变式 1、画出不等式4x3y 12 所表示的平面区域。变式 2、画出不等式x 1所表示的平面区域。例 2 画出不等式2x y 6 0 表示的平面区域.解: 先画直线2x y 6 0(虚线 )，把原点 (0，0)代入 2x y6，得 0 6 0.因 2x y 6 0，说明原点不在要求的区域内，不等式2x y 6 0 表示的平面区域与原点在直线2xy 60 的异侧，即直线2x y6 0 的右上部分的平面区域.学生课堂练习.(1)x y 1 0.(2)2x 3y 6

6、 0.(3)2x 5y 10 0.(4)4x 3y 12.y3x12例 3 用平面区域表示 . 不等式组2 y的解集。x分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。解：不等式 y3x 12 表示直线 y3x 12 右下方的区域，x 2 y 表示直线x 2y 右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。归纳 ：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，所表示的平面区域的公共部分。因而是各个不等式变式1、画出不等式(x2 y1)( xy4）0 表示的平面区域。变式2、由直线xy20 ， x2

7、 y10 和2 xy10 围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为。x3 y60,例 4 画出不等式组表示的平面区域.xy20x 3y 60表示直线上及其右上方的点的集合.x y 20 表示直线左上方一侧不包括边界的点的集合.在确定这两个点集的交集时，要特别注意其边界线是实线还是虚线，实点还是空点 .还有两直线的交点处是xy50,例 5 画出不等式组xy0,表示的平面区域.x3不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分 .解：不等式 x-y+50表示直线x-y+5=0 右上方的平面区域，x+y0表示直线x+y=0 右上方的平面区域，

8、 x3左上方的平面区域，所以原不等式表示的平面区域如右图中的阴影部分.课堂练习作出下列二元一次不等式或不等式组表示的平面区域.（ 1） x-y+1 0;（ 2） 2x+3y-6 0;（ 3） 2x+5y-10 0;（ 4） 4x-3y-12 0;x y 10,（ 5）x y0.如下图：合作探究由上述讨论及例题，可归纳出如何由二元一次不等式（组）表示平面区域的吗？归纳如下：1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线（1）直线 l 上： (x,y)|x+y-1=0；（2）直线 l 的上方： (x,y)|x+y-1 0 ；l:x+y-1=0分成三类：（ 3）直线 l 的下方： (x,y)|x+y-

9、1 0.对于平面内的任意一点P(x,y) 的坐标 ,代入 x+y-1中，得到一个实数，此实数或等于0，或大于 0，或小于 0.观察到所有大于 0的点都在直线 l 的右上方，所有小于 0 的点都在直线l 的左下方，所有等于0 的点在直线 l上.2.一般地，二元一次不等式Ax+ By+C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0 的某一侧的所有的点组成的平面区域.直线画成虚线表示不包括边界 .二元一次不等式 Ax+ By+ C0表示的平面区域是直线Ax+ By+C=0 的某一侧的所有的点组成的平面区域 .直线应画成实线 .此时常常用 “直线定界，特殊点定位 ”的方法 .（当直线不过原点时，常常取原点；过原点时取坐标轴上的点）方法引导上述过程分为五步 （思考、尝试、猜想、证明、归纳）来进行， 目的是分散难点， 层层递进，突出重点，只要学生对旧知识掌握较好，完全可以由学生主动去探求新知，得出结论.课堂小结1.在平面直角坐标系中，平面内的所有点被直线l 分成三类：（ 1）直线 l 上；（ 2）直线 l 的上方；（ 3）直线 l 的下方 .2.二元一次不等式ax+by+c 0 和 ax+by+c 0 表示的平面区域.布置作业1.不等式 x-2y+6 0 表示的区域在x-2y+6=0 的（）A. 右上方B.右下方C.左上方