近世代数习题与答案

1、本题得分选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分)(从下列备选答案中选择正确答案)1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是()。(A)1, 1, i , i(B)1, 1(C)1, - 1, i2、 设H是群G的子群，a, b G，贝U aH = bH的充要条件是()。(A) a_ 1b 1e H(B) a 1b H(C) ab_ 1e H3、 在模6的剩余类环Z6中，Z6的极大理想是()。(A) (2),(3)(B) (2)(C)(3)4、若Q是有理数域，则(Q( -.2 ):Q)是()。(A)6(B)3(C)25、下列不成立的命题是()。(A)欧氏环是主理想环(B)整环是唯一分解环(C)

2、主理想环是唯一分解环本题 得分:、填空题(本题共5空，每空3分，共15分)(请将正确答案填入空格内)1、 R为整环，a, b R , b| a,则(b) (a)。2、F是域，则Fx是域当且仅当。/(f (x)3、 域F上的所有n阶方阵的集合 Mn(F)中，规定等价关系 ：AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系决定的等价类有 个。4、6 次对称群 S6 中，(1235) 1 (36)=。5、 12的剩余类环 Z12的可逆元是 。本题得分三、判断题(本题共5小题，每小题2分，共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“V”，错误的打“X” )1、设G是群，工H,若对任意a,b H可推出ab H ,则

3、HKG .(2、群 G 中的元 a,b, o(a) 2,o(b)7, ab ba,则 o(ab) 14。()3、 商环 Z6Z 是一个域。（）4、 设f是群G到群G的同态映射，若f1（H）<G ,则H < G。（）5、 任意群都同构于一个变换群。（）本题得分四、计算题（本题共2小题，每小题10分，共20分）（要求写出主要计算步骤及结果）1、 找出Z6的全部理想，并指出哪些是极大理想。对极大理想K ,写出Z6 K的全部元。2、确定3次对称群S3的所有子群及所有正规子群。本题得分五、证明题（本题共4小题，每小题10分，共40 分）1、设f是群G到群G的满同态，N是G的正规子群，证明：f

4、 （N） G N Kerf G 。2、设 N G, G:N=2008,证明：对 X G ,恒有 x2008N 。3、设R为交换环，若 R的理想Pm R,则R/P是整环当且仅当 P是素理想。4、设Rx是实数域R上的一元多项式环，取C为复数域。x21Rx，证明:1)近世代数测试题（一）一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分）一、（从下列备选答案中选择正确答案 ）1、设G = Z,对G规定运算0,下列规定中只有（）构成群。(A) aob=a+b-2(B) aob=a b(C) aob=2 a+3 b("” 为数的乘法)2、设H wG , a, b G，贝U H a = H b的充要

5、条件是（）(A) ab H(B)ab_ 咗 H(C)a 1b H3、在整数环Z中，包含(15)的极大理想是()。(A)(3)(B)(5)(C)(3)或(5)4、若Q是有理数域，则(Q( .3):Q)是()(A)6(B)3(C)25、下面不成立的命题是( )整数环是整环(A)域是整环(B)除环是域(C)二、填空题(本题共5空，每空3分，共15分)(请将正确答案填入空格内)1、 环 Z(i)= a+ bi| a,b Z的单位是。2、若a是群G中的一个8阶元，则a6的阶为。3、设Mi。(F)是数域F上的所有100阶方阵的集合，在Mioo (F)中规定等价关系下：AB秩(A)=秩(B)，则这个等价关系

6、所决定的等价类共有 个。4、6 次对称群 S6 中,(1245) 1 (46)=。5、12的剩余类环Z12的零因子是 。三、判断题(本题共5小题，每小题2分，共10分)(请在你认为正确的题后括号内打“V”，错误的打“X” )1、若 H N, H G,那么 NH G。()2、 设 I是- -主理想环，则 I是一 一欧氏环。()3、 商环Z (9)是一个域。()4、 设f是群G到群G的同态映射，H < G，贝U f (H) < G。()5、 素数阶的群 G 一定是循环群。()四、计算题(本题共2小题，每小题10分，共20分)(要求写出主要计算步骤及结果)123 45 6789101、在10次对称群S。中，=1034 25 78691将表成一些不相交轮换之积，并求1及0()。2、在整数环Z中，试求出所有包含30的极大理想。五、证明题(本题共4小题，每小题10分，共40分)1、设f是环R到环R的满同态，A为R的理想，证明：f(A) R A Kerf R。2、 设 N G, G:N=2009,证明：对 x G ,恒有 x2009 N