§2广义积分的收敛判别法

1、§2广义积分的收敛判别法广义积分f无穷限的广义积分 i无界函数的广义积分无穷限广义积分的收敛判别法二.无界函数广义积分的收敛判别法一.无穷限广义积分的收敛判别法定理1设/(x) wCq, + oo),且/(x)>0,若函数r X.F(x) = JJ a在q, + 00)上有上界,则广义积分/(x)dx收敛.证：0/(x)>0, F在0, +力)上单调递增有上界,根据极限收敛准则知2020/3/72020/3/7Xlim F(x) = lim /(r)d t 兀一> +00x> +00 J a-+00 存在，即广义积分/(x)dx收敛.2020/3/7宁波大学教

2、师教育学隔2020/3/7定理2. （ Cauchy收敛原理） 广义积分广于（兀>/兀收敛Vg > 0, EA） a，使对 VA, A > 丸者有I f （x）dx l< £证：利用无穷限广义积分收敛的定义以及 极限存在的Cauchy准则即得。柯西(Cauchy, Augustin Louis 1789-1857), 十九世纪前半世纪的法国数学家。1789年8月R日生 于巴黎。在大学毕业后当土木工程师，因数学上的成 就被推荐为科学院院士，同时任工科大学教授。后来 在巴黎大学任教授，一直到逝世。在代数学上，他有 行列式论和群论的创始性的功绩；在理论物理学、光 学

3、弹性理论等方面，也有显著的贡献。他的特长是在 分析学方面，他对微积分给出了严密的基础。他还证 明了复变函数论的主要定理以及在实变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。1821年，在拉普拉斯和泊松的鼓励下，柯西出版了分析教程、无穷小计算讲义无穷小计算在几何中的应用这几部划时代的著作。他给出了分析学一系列基本概念的严格定义。柯西的极限定义至今还在普遍使用, 连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在较为坚实的基2020/3/7+ 00走理3(比较原理)设/w C Q, + 00),且对充 分大的兀有 0<f(x)<g(x), IJ!f+GCg(x)dx收敛=> f /(

4、x)d¥收敛CI-+OOJuJ af+X /(x)dx 发散匸=> f+GCg(x)dx 发散 Jci 'Ja证：不失一般性，设兀u a,+ 8)吋,0 < /(x) < g(x) 若g(x) dx收敛，则对Ia有C f(x)dx< Pg(x)dx< +00g(x)dxJ ciJ ciJa-a2020/3/7故/(x)dx是f的单调递增有上界函数，因此Ja '.宁波大学教师教育学院limTT+oo J afMdx =r +oofMdxJ a极限存在,即广义积分J f(x) dx收敛. 若"/(对舐发散，因为/Q时有 0 5/(x

5、)dxSg(x)djr令t +00,可见广义积分I* g(x)dx必发散.亠“ i r+oc 1 I 收敛，P>1/ 小说明：已知 j(G0)儿xP l发散，p<A故常取g(x) = P/A > 0)作比较函数，得下列比较判别法.定理4（比较判别法1）设非负函数/（x）eCo, + s） （6Z > 0）.1）若存在常数A7 >0,卩>1,使对充分大的x有 fM < %r+x /（x）dx 收敛；J a2）若存在常数N0, p<l,使对充分大的x有x"则fix) dx 发散.例1 -判别广义积分J73：齐J dx的收敛性.?.曲-c 丿

6、sirrx11解：00<<=由比较判别法可知原积分收敛.思考题：讨论广义积分厂.J dx的收敛性.提示：当丘1时，利用2 +11 I _ 1Vx3+1 _/(x + l)3 无+1积分发2020/3/7XT+oo+ 00定理5.（极限判别法1）若且/no, 满足lim xpf（x） = l广+ OC则有：1）当0>l,O5/<+oo 时£ /（X）dx收敛；+x2）当7?<1,0</<+oo 时 jX/（x）dx发散.证：1）当pl时,根据极限定义，对取定的£0,当兀充 分大时，必有X/（X）W/ + £,即0 <

7、/（X）< Mn （Mi + w）X1可见Kim2020/3/7( 4- QC/(x) dx收敛;宁波大学教师教育学院2)当p S1时，可取w > 0,使/ y > 0, (/ = +s时用任意正 数N代替！-£),必有XP f (x) >1-8即/(X)> 1 f > N (N = / 刃x1 X可见j+0°/(x)d x发散注意：lim x/7/(x) = lim 此极限的大小刻回了XT+oo 'x-»+cc例2判别广义积分厂-严2的收敛性Xi 1 I X解： 0 lim x2 / = limX->+oo XJ

8、l + X2XT+8根据极限判别法1 ,该积分收敛.32例3判别广义积分JJjdx的收敛性.1 X“1 Jr2舫： 9 lim x2y = lim = 1兀 T+QO1 + %2 兀+°°+兀么根据极限判别法1,该积分发散.定理6若/*(x) u Co,+ oo),且 J； f (x)|dx收敛, 则广义积分/(劝&收敛.+00证:令0（兀）=”（兀）+ |/（兀）|,则 0<（x）<|/（x）f f (x) dx收敛， f (px)&x也收敛，J a 1J af(x) = 2(p(x)-f(x)r/(x)dx=2f7(x)dJ(7i/(x)|d

9、x可见广义积分° /(兀)d x收敛.2020/3/7宁波大学教师教育学院12定义设广义积分ff7（x）dx收敛，若j; jg收敛,则称/血绝对收敛；若J；00/"）心发散，贝U称J；"/dx条件收敛.例4判断广义积分匸飞一心sinbxdx（Q,b为常数,q > 0） 的收敛性.解：因|e_6/xsinbx<cax,而 气一"v dx收敛,根据比Josinbx I dx收敛,故由定理6知所较判别法知给积分收敛（绝对收敛）.J2020/3/7宁波大学教师教育学院二、无界函数广义积分的收敛判别法无界函数的广义积分可转化为无穷限的广义积分例如设/w

10、 C(a,b,a为/的瑕点，由定义f7(x)dx = £limj/(x)dx令 a + l,则有tbf(x)dx= lim £半£to+丙t t 口t r因此无穷限广义积分的收敛判别法完全可平移到无界函数 的广义积分中来2020/3/7宁波大学教师教育学院利用、b 1收敛，q<lax-a）qAX发散，q>l类似定理4与定理5 ,有如下的收敛判别法.定理7（比较判别法2）设非负函数/心,切瑕点，使对一切充分接近。的兀（兀>。）.4 一 、 M1）若存在常数M0,q<l,有/（兀）5 vh（x-a）则f fx）dx收敛；J a'2）若存

11、在常数N>0,有于'旦x-arbr h则 f（x）dx发散.2020/3/7宁波大学教师教育学院走理3定理8(极限判别法2)若f(x)eC(a,b9且/(x)»0, lim (x _ a)。f (x) = IX+8则有：1)当 0 <q <1. 0 < / < +oc 时7(x) dx收敛；J cC2)当q 2 1, 0 < / < +oo 时dx 发散.例5判别广义积分啓的敛散性 解：此处x = l为瑕点，利用洛必达法则得1 1lim (x-1)= lim 二 1x->>i+ lnx xti+ :根据极限判别法2 ,所给

12、积分发散2020/3/7宁波大学教师教育学院例6 判定椭圆积分匸 敛性.dxJ（1-兀 2）（1 宀）伙2 <1）的收1J2（l-疋）解：此处兀=1为瑕点，由于. 1 1£1（1-兀尸 J（/）（ /兀2）=lim /c“ 7（l + x）（l-fc2x2）根据极限判别法2 ,椭圆积分收敛.类似定理6,有下列结论：若广义积分fMdx （a为瑕点）收敛，则广义积分，bfMdx收敛，称为绝对收敛.a例7判别广义积分Ljdx的收敛性解：此处兀=0为瑕点，因lim= 古攵对充分小Ix-0+的x,有lnx|<l,从而|lnx| | %"lnx < 1a/x弄兀耳据比

13、较判别法2,所给积分绝对收敛.宁波大学教师教育学院2020/3/7三、函数1.定义函数：6）=产怙一也6>0） （含参变量s的广义积分） +ooJlxsrexdx下面证明这个特殊函数在S > 0内收敛.令厶e_xdx, I2 =1）讨论厶.当s'l时,厶是定积分；当0<s<l时，产=2丄厶X1 5 ex XH而1-s<l,根据比较判别法2知人收敛.J2020/3/7宁波大学教师教育学院2)<苏,® 一 im X2.(XS1:)H -im 騎斤召饶J(s) H a+,msvok污洱卩。XJ+8 ex2 性质（1）递推公式m+i）= s：r（s

14、）（s>o）/ -jqq*4"00证：r（s +1） = J。x5e_Adx = -jo x5 de_x （分部积分） +oo c +oo 1=-x5e_% +J xedx0 Jo注意到：= 1.EwN+,有r（n + l） =nr（n） = n（n-l）r（n-l）(2) 当stO+ 时,T(s)t+oo.证： 9 r()= r±12? r(i)= 1 s且可证明：r(s)在so连续，S T 0+时，r(s) T +00(3) 余元公式：(s)(l s)二71(0<svl)(证明略) sin(7i s)当5 =+时，有（4）r（s）的其他形式訂二疋讥一皿（5

15、> 0）令X = ，得“）=2点”严1口"0）再令2s -1 “,即s =凹,得应用中常见的积分厂化-怙二护字）">-1）Jo22这表明左端的积分可用r函数来计算.例如,1（ ）7 v 9 7?宁波大学教师教育学院Hs *A-D判别法定理9若下列条件之一满足，都有/（%）g（兀）小攵敛：J a（1）（Abel判别法）厂于创攵敛，gd）在 a, +°°）上单调有界；A（2）（Dirichlet判别法）= J f gdx在+OO）上有界,g （乂）在+OO）上单调且阿贝尔(Abel,Niels Henrik,1802-1829 )挪威数学家。80

16、2年8月5日生于芬岛.1829年4月 6日卒于弗鲁兰。是克里斯蒂安尼亚（现在的奥斯陆） 教区穷牧师的六个孩子之一。阿贝尔在他的所有著作中都打下了天才的烙印和 表现出了不起的思维能力。我们可以说他能够穿透一 切障碍深入问题的根底，具有似乎无坚不摧的气势.。 他又以品格纯朴高尚以及罕见的谦逊精神出众使他人 品也像他的天才那样受到人们不同寻常的爰戴。“数学家们有法纪念他们中的伟 人,我们常说阿贝尔积分.阿贝尔积分方程阿贝尔函数.阿贝尔群.阿贝尔级2020/3/7数阿贝尔部分和公式.阿贝尔收敛判别法阿贝尔可和性。很少有几个数学家 能使他的名字同数学中的这么多概念和定理联系在一起。2020/3/7他在分

17、析学和数学物理方面也有很多重大贡献。在1892年的论文关于三角级数狄利克莱(Dirichlet)(1805-1859)德国数学家。解析数论的创始人之一。在数论方面关于 Ferm航方程,先后给出了n=5,14时无整数解的证明。他著 有数论讲义(1863，遗著)，对Gauss的算术硏究作 出了清楚的解释并有自己的独创。他证明了在田可算术序列 a+nb(其中a与b互素)中，必存在无穷多个素数，这就是著 名的Dirichlet定理。的收敛性中得到给定函数f (x)的Four i er级数收敛的第一充分条件这一硏究还促使称为Dirichlet函他将函数作了一般化推广。1829，他给出了具有典型意义的函数

18、：数。这一工作使得数学从硏究函数的计算转变到硏究函数的概念,性质和结构。他在1837年证明了 ：对一个绝对收敛级数，可以把它的项加以组合重新排列,而不改变原 级数的和，并举例说明对一个条件收敛级数则不然。他修改了Gauss关于位函数论的个原理,弓I入了所谓Dirichlet原理。还论述了著名的第一边值问题(现称为 Dirichlet问题)。Dirichlet是Gauss的学生和继承人 他毕生敬仰Gauss他说Gauss的讲课是_生所听过的最好,最难忘的课。" 1855年,Gauss逝世后，他作为Gauss的继承者被哥丁根大学聘为教授,接替Gauss原任的职务,直到逝世。2020/3/7宁波大学教师教育学院2020/3/7宁波大学教师教育学院2020/3/7宁波大学教师教育学院例8判别广义积分巴的收敛性.解 J： sin xdx = cos 1-cos A显然有界, 丄单调且lim = 0,由场咖判别法得，导收敛。例9判别广义积分r巴凹空叮必的收敛性.J1X解由例8,理收敛，J1 X又arctan兀在h +°©）单调