裂项相消法求和附答案解析

1、裂项相消法也有可能前利用列项相消法求和时， 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等 式两边保持相等。(1)若是an等差数列，则a*ananL)-丄丄）an 1 an an 2 2d an an 2(2)n (n 1)(3)n(n k)1_k)(4)(5)(6)(7)(2n 1)(2 n 1)n(n 1)( n 2)12 2n 12 n(n 1)2n 1(n 1)(n 2)1.已知数列 的前n项和为 ，叫d 7+ "(H+I) g")（1 ）求数列的通项公式；（2 ）设 、一，求数列的前n项

2、和为.解析'n2时，也一必仃=九+ fi(fJ -0 得：':-'-即-： 3 分在中令I ,有.一 ，即',5分故对1'2已知an是公差为d的等差数列，它的前 n项和为Sn, S4=2S 2+8 .(I)求公差d的值；fiw Sm )(H)若ai=1 ,设Tn是数列的前n项和，求使不等式 Tn > '对所有的n N*恒成立的最大正整数 m的值；解析(I)设数列an的公差为d ,/ S4=2S 2+8，即 4ai+6d=2(2a 1+d) +8 ，化简得：4d=8 ,解得d=2 . 4分(H)由 a 1=1 , d=2，得 an=2n-1,

3、 5分!4)(2柑+22h-¥ I1I 1 I I 1 II I-Il 一 + + + - +=.丄'-3m)又不等式Tn >对所有的n N*恒成立,10分化简得：m2-5m-6 WO,解得：-1 <m <6 .m的最大正整数值为 6 .12分3.)已知各项均不相同的等差数列an的前四项和S4=14,且ai,a3,a7成等比数列(I )求数列an的通项公式；(n )设Tn为数列1%人曲的前n项和，求T2 012的值答案(I )设公差为d,由已知得抽1十2"=如血1叫3分)解得d=1或d=0(舍去),.31=2. (5 分)故 an=n+1. (6分

4、)1 1 1 1(n 产和i=(n41)54E)=】i+l-n+Z,(8 分) Tn =11111LI+ +-7=-=.(10 分)503T2 012 =17. (12 分)4.)已知数列an是等差数列，-=8n+4,设数列|an|的前n项和为Sn,数列的前n项和为Tn.(1)求数列an的通项公式求证：<Tn<1答案(1)设等差数列an的公差为d,则an=a 1+(n-1)d. (2 分)-=8n+4,(a n+1 +a n )(a n+1 -a n )=d(2a 1 -d+2nd)=8n+4.当 n=1 时,d(2a 1+d)=12;当 n=2 时,d(2a 1+3d)=20.解

5、方程组口创什旳垃4得山二2或治二(4分)经检验知,an=2n或an=-2n都满足要求.an=2n 或 an=-2n. (6 分)证明：由(1)知:an=2n或an=-2n.|a n |=2 n.Sn= n(n+1). (8分)1n(ti+L)= 】i|-n + l.Tn = 1-分)WTn<1. (12 分)5已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且Si,S2,S4成等比数列.(I )求数列an的通项公式；(n )令bn=(-1) n-1，求数列bn的前n项和Tn.答案查看解析2x1解析(I )因为 S1=a 1,S2=2a 1X2=2a 1+2,4x3S4=4a 1+X2=4a

6、1+12,由题意得(2a 1+2) 2=a 1(4a 1+12),解得a1=1,所以 an=2n-1.Art(n )b n=(-1)=(-1)=(-1)当n为偶数时,I=1-2 川-4-12a=-而当n为奇数时,f1+n( n1 1I!1Tn =l 3 JU 5 J+-(2 屮一3 + 2 科一1)+( 2h-1 +2刃十 1)=1+加十12y22/7l2/j + U(-ir ' 加】1足函数）=（口的图象上一点，等比数列<加+ 'J为奇数,Iff + l"为观一所以Tn =L2fl+16.的“和勿町*列他X.）的首项为前“项和第满足盼和严屁+応（心耳（I）求数

7、列和的通项公式；_!_刖o（n）若数列'' 的前“项和为，问1：，1的最小正整数'是多少?/（i）=«=i/w=4r解析解：（I）因为，所以,=fO）-c = -c a2=f 一匚一£ 一 d 一舟所以，码二*（3）7】叫肌2二刍£il_2 1口 = = £比 _ 23 3又数列；是等比数列，所以-，所以，tiy 2111"亍肓 叫二-t-r1 = -2n*） 又公比 ,所以-,因为11'，Z） > 0> o Js Js. = 1又，所以，所以,Js?= i +（ i? -1）x i = n所以数列构

8、成一个首项为i，公差为i的等差数列，、所以，当' 时,=乞-W-1）' = 2（6分）丄+丄（n）由（I）得 “1 II+ + +吕 * 4亦补 i1x22x3(2片一)(2巾+ 】)1 zr I 11I1、科二一(-h +)2 335In - 加十1 2n+1(卩 分)T _ a 1000由'得1(X)0，满足1000的最小正整数为72.（12分）7.在数列 ，；中， -成等差数列，二z成(I)求'，由此归纳出，的通项公式，并证明你的（n）证明:512n »结论;+£7 + Aj a, + b： (iy ->rb解析(I)由条件得,由

9、此可得二匚息二厂必汽二乜g二小吒二打,u -1), b + 1)'猜测.(4 分)用数学归纳法证明:当时，由上可得结论成立假设当'时，结论成立，即1 一1 ,他=2炖一畋-2(4 + l)a-i(* + l)-(A + lXA+2> 林=验=伙 + 2卩 b.所以当'j十'时，结论也成立由，可知''1 1对一切正整数都成立 （7分）I I 5=丈(n)因为.' 当n>2时，由（I）知九二刃*1）（如眷”锹+ 1川-1卅斤十1)ff1 + j丄丄44丄26 2 2 宀 16 412综上所述，原不等式成立 （12分）10078已知

10、数列"讣的前冃项和是凡，SH + /J = I -且5")（I）求数列山的通项公式;（n）设帥必1L十丄+L . +1Tb,JF J,求使Tn >2016成立的最小的正整数冲的值.解析(1)1时，遇S, 4- =>£?,=，由,+2当n2时,3 丄'%是以T为首项，为公比的等比数列.4fI 九壮二f（2 ）由（1 ）知九二吨川讥J二1伽（护二(亦 1)1_ I11(n 1-IX« + 2) nil n f 2+ 1 行二隔*A也10072016=n>201412分打理故使,:'成立的最小的正整数冃的值 -'9.己

11、知各项均不相等的等差数列an的前四项和S4=14，且ai, a3, a7成等比数列.(I)求数列an的通项公式;10.已知数列前项和为，首项为 ，且，成等差数列.(II )设Tn为数列的前n项和，若Tn<对劳恒成立，求实数的最小值.解析122.(I)设公差为d.由已知得4(jj += 14(码 + 2M)'二 %(H| +&/)解得 =,所以坷=2故心+ 1Q-(n)J=_ft_h + 1 用 + 2 2( + 2)A0i + 2)Q亿电加“对切芒“恒成立，即4 7对订恒成立"< 謂_丄汝+ 2厂2S显+ A)二(34厂伍 又"12分(I)求数列

12、的通项公式;(II )数列满足，求证：解析(I)成等差数列，二,当冲=I时疔严亍讥疇?当 时，两式相减得:所以数列是首项为，公比为2的等比数列，（6分）(n)虬冶針 叭略1 硏广"id吆L»(2ir-lX2* + l)( 8 分)i ri-(1)<-.(12 分)11.等差数列an各项均为正整数，a 1=3,前n项和为Sn,等比数列bn中，b 1=1,且b.lb2S2=64, 1是公比为64的等比数列.(I )求 an 与 bn；(n)证明：*+<抖.答案(I )设an的公差为d, b n的公比为q,则d为正整数,an=3+(n-1) d, bn=q n-13

13、tnd lh"1二氏二2 ”依题意有由(6+d) q=64 知q为正有理数，又由q=知,d为6的因子1,2, 3, 6之一，解得d=2,q=8.故 an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8 n-1Szb=(6+d) q=64.(n )证明:Sn=3+5+(2n+1) =n(n+2),1/ J月+ . +n(n+2)'+ +12.等比数列an的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1,卜1=9a 2a 6.(I )求数列an的通项公式(n ) 设 b n=log 3a1+log3a2+ +log3an,求数列储的前n项和.答案(I )设数列a n的公比为q.由=9a 2a6

14、得=9 ，所以q 2=.因为条件可知q>0,故q=.由 2ai+3a 2=1 得 2ai+3a iq=1, 所以 ai=.故数列an的通项公式为(n ) b n=log 3ai+log 3a2+ +log 3an=-(1+2+n)n(n + l)22i i=_21 1 -昭厉+阮=-2+皆繭L韜J.所以数列的前n项和为-.13.等差数列an的各项均为正数,ai=3,其前n项和为Sn,bn为等比数列,bi=1,且b2S2=16,b 3S3=60.(I )求 an 和 bn ；(n)求'L+答案(I )设an的公差为d,且d为正数,b n的公比为q,an=3+( n-1)d,b依题意

15、有b 2S2=q (6+d)=16,b3S3=q 2 (9+3d)=60,(2分)解得 d=2,q=2.(4 分)故 an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2 n-1 .(6 分)(n )Sn=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分)11 L1X：S+ +R( n-2)=(10 分)32n+3=-.(12 分)14.设数列an的前n项和Sn满足:Sn= na n-2n(n-1).等比数列bn的前n项和为Tn,公比为 a1,且 T5=T 3 +2b 5.(2)设数列(1)求数列an的通项公式1 1的前n项和为M n ,求证3 WM n< -'1答案(1) VT5=T 3+2b 5, Ab 4+b 5=2b 5,即(a1-1)b 4=0,又 b4 MO,.心1=1.n2 时,a