13《整式及其加减》全章复习与巩固知识讲解及其练习

1、?整式及其加减?全章复习与稳固提高知识讲解【学习目标】1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示2、 理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的联系3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数式的值推断代数式反映的规律4. 理解并掌握单项式与多项式的相关概念：5. 理解整式加减的根底是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法那么，熟练进行整式的加减运算、求值：6. 深刻体会本章表达的主要的数学思想一一整体思想【知识网络】要点一、代数式诸如：16n , 2a+3b , 34 ,【要点梳理】Haa+h2等式子，它们都是用运算

2、符号+、一、X、三、乘方、幵方把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式要点诠释：代数式的书写标准：1字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“-或省略不写：2除法运算一般以分数的形式表示：3字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；4字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的形式：5如果字母前而的数字是1,通常省略不写.要点二、整式的相关概念项式.1. 单项式： 由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单 要点诠释： 1单项式的系数是指单项式中的数字因数 .2单项式的次数是指单项式中所

3、有字母的指数和.2. 多项式： 几个单项式的和叫做多项式 . 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项 . 要点诠释： 1在多项 式中，不含字母的项叫做常数项 . 2多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数 . 3多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式 .3. 多项式的降幕与升幕排列： 把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个 字母降幕排列 . 另 外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 这个多项式按这个字母升幕排列 . 要点诠释： 1利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移

4、动位置： 2 含有多个字母时，只按给泄的字母进行降幕或升幕排列.4. 整式： 单项式和多项式统称为整式 . 要点三、整式的加减1. 同类项： 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 . 所有的常数项都 是同类项 . 要点诠释： 区分同类项要把准“两相同，两无关：1“两相同是指：所含字母相同：相同字母的指数相同；2''两无关是指：与系数无关；与字母的排列顺序无关2. 合并同类项： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项 .要点诠释： 合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不变.3. 去括号法那么： 括号前而是“ + ，把括号和它前

5、而的“ + 去掉后，原括号里各项的符号都 不改变；括号前而是“ - ，把括号和它前而的“ - 号去掉后，原括号里各项的符号都要改变.4. 添括号法那么： 添括号后，括号前面是“ +，括号内各项的符号都不改变：添括号后，括号前面是“ - ，括号内各项的符号都要改变 .5. 整式的加减运算法那么： 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减 号连接，然后去括 号，合并同类项 .要点四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律表达了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用. 解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证 .【典型例题】类型一、代数式1.某商场文具部

6、的某种毛笔每支售价25 元，书法练习本每本售价 5元.该商场为促销 制泄了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购置金额打九折付款 ?八年级 ( 5)班的小明想为本班书法兴趣小组购置这种毛笔10支，书法练习本x (x210)本.(1) 用代数式分别表示两种购置方式应支付的金额 .(2) 假设小明想为本班书法兴趣小组购置书法练习本 30本，试问小明应该选择哪一种优惠方 式才更省钱 .【思路心拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购置的练习本的数量来确泄的，把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小 .【答案与解析】解:设买练习本x

7、,那么得两种购置方法的代数式为：( 1 )代数式分别为：25X10+5(x-10),(25X10+5x) X90%(2)把 x 二 30 分别代入两个代数式：25X10+5(x-10) =25X10+5(30-10) =350 (元)(25X10+5x) X90%= (25X10+5X30) X90% 二 360 (元) 所以选择第一种优惠方式 .【总 结升 华】此题这一类方案的选择问题是中考中经常岀现的题目类型.类型二、整式的相关概念V 2.(春?新泰市期中 )以下说法正确的选项是 ()式的次数，多项式是多项式的项A. 3, 3B. 3, 2C. 2, 3 D. 2, 2【答案】A2a2b

8、- ab2 - ab是三次三项式，故次数是3,项数是3.【变式2假设多项式(m + 4)x3 +-5x - (n - m + 2)是关于X的二次三项式,这个二次三项式为【答案】-4, 3, X2-5X-9类型三、整式的加减运算>3.假设与一 一x5y2"-1是同类项，求出 m, n的值，并把这两个单项式相加【答案与解析】解:因为竺宀-1y与一四p严1是同类项,所以<nt = 2,n = .A. 1 -B. ab 没xy是单有系数项式C. - 5是一次一项式D. - a_b+ab - abc是四次三项式【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数

9、和是单项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项，可得答案.【答案】D.【解析】解：A. 1-xy是多项式，故 A错误；B、ab的系数是1,故B错误；C、-5是单项式，故C错误：D、- a b+ab - abC2是四次三项式，故 D正确：应选:D.【总结升华】此题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项举一反三:【变式1】(?佛山)多项式2a2b - ab2 - ab的项数及次数分别是(处 + +(5 + 1 1? 5)如-1当in = 2且畀=1时,【总结升华】同类项的泄义中强调，除所含字母亠相同外35相同字母的指数也要相同 /其中? ? ?

10、? 工15常数项也是同类项？合并冋类项时，假设不是同类项，那么不需合并举一反三:【变式】合并同类项 3x2 -4Q + 4 才-5x2 +2xy-2y2:(2) 5xy-x3y2 -xy + -x 3y2 xy-x3y-5. ?2?4 ?2?4 -【答案】原式=(3 - 5)x2 + (7+2)xy + (4 - 2)y2原式=5呀Y卜 +2+1x3-x3y-5=2x2 -2xy + 2y2=-Ax 3y2 -xAy-5春？无锡校级期中 x二2021,求代数式2x+33x+2- 6x x+3+5x+16的值时，马小虎把“2021看成了 “2051,但是他的运算结果却是正确的，这是为什么？请你说

11、明原因.【答案与解析】解：原式二 6x'+4x+9x+6 - 6x2-18x+16 二 22,结果不含x,故原式化简后与x的取值无关，那么马小虎把“ 2021看成了 “ 2051但是他的运算结果却是正确的【总结升华】 原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法那么il?算，去括号合并得 到最简结果，根据结果不含x,即可得证.此题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握运 算法那么是解此题的关键.举一反三：【变式1】川=#+2#才，万=一 4丘+3#+2才，且A+B+C=0,那么多项式V 7为.D. 3Y 5yC.【答Zx-y【变式2】先化简代数式扌。一v 2/_(3/_5 °

12、;+ )_+ “_5然后选取一个使原式有意义的 4 的值代入求值 .*2_2(3d2【_5d】+二g_52 。 1621 ., 16= a- cr _(3 “-33 i/ 4)1 = 3a (_a_ 333cr + a+ 4)32 8 216 八 28 2168 214/33333333当。 =0 时，原式 =0-0-4=-4.【变式 3】 (1) (.Y+ y)=- 10-Y- 10y+25 =(A-+y)2-10( )+25;(2)(a b+ c小(a+ b c c/) = (a <j) + ( ) (a 小一().【答案】(1) A叶y ;(2) b+c b+c类型四、化简求值八5

13、.直馳简代入(7 = 1 . . -当2时，求代数式15才一 4誉+5& 8扩一 (2a a)+9曰 3a的值.(2) 条件求值(2a+b+3) + lb 1 I =0> 求 3& 32Z> 8+(3a 2b 1) a +1 的值.(3) 整体代入(鄂州) m2+w-1=0,求 m3 + 2nr + 2021 的值？【思路点拨】 对于化简求值问题，要先看淸属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行求解.【答 案与 解析】解：(1)原式二 15 子一4/+(5& 82£ +a+9a 一 3a=15a: 4 才 + (6a才)一 3a=15/ ( 4才+6

14、& / 3&)=15a: ( 5 才+3a)=15 才 +5a ° 3 护 20 才一 3aT TT T 931巴疋时，原式二20x(-1_)2 -3x(-1 ) =+ 3x 二4?_2Z2A2(2)由(2a4-Z>+3)=4- I b-1 I =0 可知：2a+6+3 二 0, 6-1=0.解得护-2,后 1?3a3 2 b 8+ (3a 26-1) a +1=3a 3(2Z> 8+3a 2b 1 a) +1二 3a3 (2a9) +1=3a6a+27 +1二 28 3a由 a 二-2那么原式二283护28+6=34(3)? F+ ？一 l = 0i?+

15、 m = 1 -V m2 + 2m2 + m2 + 2021 = /w3 + m2 + m2 + 2021 = Qn + m2) + m2 + 2021 =m(m2 + 加)+m2 + 2021 = m + m2 + 2021 = 1 + 2021 =2021.所以加彳+ Inr + 2021的值为2021.【总结升华】 整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与条件之间的联系.举一反三：【变式】岂二 2 = 6,求代数式/ +込巴 的值.a+ ba + b 2a-b【答案】 h“ + hL* 原式=2p+-P31又因为卩=6,所以原式=2><6 +二=12 ?类型

16、五.探索与表达规律仇如W年3月的日历匕11-一一二三四/1.六123斗36789101112131115161718192021j j232425262728293031(1)任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为X,那么其余两个数分别为(2) 用一个矩形框岀四个数丽，请用一个等式表示曰、b、c、/之间的关系： l(3) 用一个十字框任意框岀 5个数，设中间一个数为 a，那么框出的5个数的和为 .【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔 7,横行相邻的两个数相差 1,据此很容易 求出此题答案.【答案】(1) x-7, x+7 ；(2) a=b-l = c-7 = d-8 : (3) 5

17、a.【解析】(1) (3)较简单；(2) b比a大1,所以b=a+l: c比a大7,所以c = a+7： d比c大1,所以d=c + l?由b=a+1得a=b 1, 由 c=a + 7 得 4 =( : 7，由 d = c +1 得 c = d 1 ，将代 入得 a=c-7= (d-1) -7=d-8 .由得：a=bl = c 7 = d 8?【总纟；厂华】解决问题的关键是读僮题意，找到所求的量的等量关系.举一反三：【变式】如图，是由边长为 1的正方形按照某种规律排列而成的:(1)观察图形，填写下表:图形正方形个数8图形的周长18推测第n个图形中，正方形的个数为 ?周长为？用含力的代数式表示【

18、答案】1图形正方形个数81318图形的周长182838 5n+3,10n+8.类型六、综合应用八7.对于任意有理数x,比较多项式4.X2-5X + 2与3F5X-2的值的大小.【答案与解析】解：4x2 一 5x+2-3x2 -5x-2 = 4x 2-5x+2-3x2 +5x+2 = x 2+4 ?/X2+4>0? ?无论 x 为何值，4X2-5X + 2>3X2-5X-2.同类项的法那么，这【总结升华】 此题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法那么，熟练运用合并 是各地中考的常考点.举一反三:【变式】如果关于x, y的多项式 / +2小一 x与3疋一 2砂+3刃的差不含

19、二次项,求泸的值.【答案】 解：原式=(左 + 2xyx) -(3x2 一 2nxy + 3y)=(m - 3)x2 +(2 + 2n )xy-x-3y由题意知，那么 m-3 = 0,2+2n = 0, /? m = 3, n = -1?屮=一 1 3=1?【稳固练习】 一、选择题1. A. B、C、D 均为单项式，那么 A+B+C+D% A.单项式B.多项式C.单项式或多项式D.以上都不对2.以下计算正确的个数 3a + 2b = 5ab : 5y2 -2y2 =3 : 4x2y-5y2x = x2y ； 3x2 + 2x3 = 5x5:-3xy + 3Q = xyA. 2 B? 1 C?

20、4 D? 03.现规建一种运算：a * b = ab + a - b,其中a, b为有理数，那么3 * 5的值为A. 11 B? 12 C. 13 D. 144. 化简(_1) % + (_1严a (n为正整数)的结果为().A? 0 B? 2a C? 2a D? 2a或一 2a5. 己知 a-b=-3? c+d=2,贝 0 (b+c) - (a-d)为()？A? 一 1 B? 一 5 C? 5 D? 16. 有理数/ b, c在数轴上的位置如右图所示，那么 a + c + c-b-b+a=()B. 0A. -2bC? 2cD. 2c-2b?临沂观察以下关于x的单项式,探究其规律：x.5x3?

21、7x 9x ° llx6t ?，第2021个单项式是A? 2O15x2021B? 4O29X: OHC. 4029x： O15D. 4031x: 0158.如果2- a + a八是关于d的二次三项式，那么 m, n应满足的条件是A. m=l, n=5B? mHl, n>3C? mA-1, n为大于3的整数 D? m八-1, n=5、填空题9.?大丰市一模假设-2A'与5ab"是同类项，那么m+n二10 ?(1) x* xy+y ();(2)2a-3 (b-c) =(3) 5.i 亠 6x +1 ( ) = 7x+8 ?11?当b=时，式子2a+ab-5的值与a

22、无关412. 假设 a-b + c =,那么 30(b-a-c) =?13. 某服装店打折出售服装，第一天卖出a件，第二天比第一天多12件，第三天是第一天的2倍，那么该服装店这三天共卖出服装 件14. 当酋时，多项式f 3kxy3f 丄xyS中不含xy项.3 ?15. (?河北)假设 mn=m+3> 贝U 2mn+3m - 5mn+10= :16. 如图，是用棋子摆成的图案，摆第1个图案需要7枚棋子，摆第2个图案需要19枚棋子，摆第3个图案需要37枚棋子，按照这样的方式摆下去，那么摆第6个图案需要 枚棋子，摆第n个图案需要 枚棋子.三、解答题17. (春？髙密市校级月考)先化简，再求值(

23、a"+l) -3a (a - 1) +2 (a"+a ? 1),其中 a= - 1.ED19.如下列图，用三种大小不同的六个正方形 和一个缺角的正 方形拼成长方形ABCD,其中，GH 二 2cm, GK 二 2cm,设 BF 二 x cm,(1) 用含x的代数式表示 CM 二cm,DM= cm.(2) 假设x=2cm 求长方形ABCD的而积.20?测得一弹簧的长度 L (厘米)与悬挂物体的质量x(千克)有下而一组对应值翱物体的质量奸克)012345678? ? ? 弹簧的磁L(O:)1212.51313.51414.51515.516? ? ? 试根据表中各对对应值解答以下

24、问题 :(1) 用代数式表示挂质量为 X千克的物体时的弹簧的长度 L.(2) 求所挂物体的质量为10千克时，弹簧的长度是多少？(3) 假设测得弹簧的长度是18厘米，那么所挂物体的质量为多少千克？(4) 假设要求弹簧的长度不超过 20厘米，那么所挂物体的质量不能超过多少千克【答案与解析】一、选择题1. 【答案】c【解析】假设A、B、c、D均为同类项，那么A、B、C、D的和为单项式，否那么为多项式，故选C.2. 【答案】D3. 【答案】C【解析】按规泄的运算得：3*5=3X5+3-5 = 13.4. 【答案】A【解析】分析两种情况，当n为偶数时，(_1)"=1, (-1严=_1,当 n为

25、奇数时，(一 1)"= 一 1, (-1严=1,无论哪种情况，结果都是0.5. 【答案】C【解析】(b+c) - (a-d) =b+c-a+d=-a+b+c+d=- (a-b) + (c+d)当 a-b=-3, c+d=2 时，原式=-(-3) +2=5,所以选 C?6. 【答案】B7. 【答案】C.8. 【答案】D【解析】由题意得：n-3=2且m+IHO,得n=5且mH-1.二. 填空题9. 【答案】-1.【解析】由与5小严是同类项，得f"2，解得。？ m5= - 1.M 二 4?二-310. 【答案】X)1 y2; 2z7-3b + 3c; 5x2 -13x 7 11?【答案】-2【解析】2a+ab-5= (2+b)a-5?因为式子的值与a无关，故2+b = 0,所以b=-2? 12?【答案】-244 【解析】因为a方+ c与方一 a c互为相反数，又因为+ c =4所以b-u-c =-,由此可一 24?5 得 3O(bI 5 丿a 13.【答案】4廿12；【解析】c + (d + 12) + 2d = 4d + 12 ?14. 【答案】一丄: 9【解析】3?-* = 0, 解得*= £.15. 【答案】 1； 【解析】解：原式 =- 3mn+3m+10.把 mn=m+3 代入得：原式二 -3m- 9+3