1995考研数学三真题和详解

1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题.)、填空题(此题共5小题,每题3分,总分值15分.把答案填在题中横线上(1)设 f(x)那么 f(n)(x).1 x 设 z xyf (-), f (u)可导，那么 xzxyzy x(3)设 f (In x) 1 x ,那么 f(x) .1 0 02 20 , A是A的伴随矩阵，那么(A )3 45 设X1,X2,L ,Xn是来自正态总体 N( , 2)的简单随机样本，其中参数 和2未知,彳 nn记X 1 Xi Q2(Xi X)2,那么假设Ho：0的t检验使用统计量t n i 1i 1、选择题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.每题给出的四个

2、选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设f (x)为可导函数，且满足条件lim f(1)x 0f(12xx)1,那么曲线yf (x)在点(1,f (1)处的切线斜率为()(A) 2(B)1(C)1(D)22以下广义积分发散的是()1 1 ,11 ,(A)dx1 sin x(B)dx1 . 1 x2(C) e x2dx(D)Adx02 xln2x设矩阵Am n的秩为r(A)m n, Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的选项是(A) A的任意m个行向量必线性无关(B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 假设矩阵B满足BA 0,那么B 0(D) A通过初等行变换,

3、必可以化为(Em,0)的形式 设随机变量 X和Y独立同分布，记U X Y,V X Y,那么随机变量U与V必然(A)单调增大(B)单调减少(C)保持不变(D) 增减不定的增大，概率P X(5)设随即变量 X服从正态分布 N( ,2),那么随dRdQa 0 ,收益对价格的边际效应dRQ Qodpc 0,需求对价格的弹性E pb 1 .p Po(此题总分值6分)2 “ 、2 (1 COSX), xx o设 f (x)1,x o,试讨论f (x)在x o处的连续性和可导性1 x 2 , cost dt, x ox o四、(此题总分值6分)连续函数f(x)满足条件3xtf (x)fdto3e2x,求 f

4、(x).五、(此题总分值6分)将函数y ln(1 x 2x2)展成x的幕级数，并指出其收敛区间六、(此题总分值5分)计算min x, ye (x y)dxdy 七、(此题总分值6分)设某产品的需求函数为 Q Q(p),收益函数为R pQ,其中p为产品价格，Q为需求Po,对应产量为Qo时,边际收益量(产品的产量),Q(p)为单调减函数如果当价格为求Po和Qo 八、(此题总分值6分)设f(x)、g(x)在区间a, a ( a o)上连续，g(x)为偶函数，且f (x)满足条件f (x) f( x) A( A为常数)aa(1)证明 f (x)g(x)dx A g(x)dx ；ao(2)利用 的结论计

5、算定积分2 |sinxarctanexdx.2九、(此题总分值9分)向量组(I )!, 2, 3 ；( n )1, 2,3, 4 ；(川)1, 2,3分别为 r(I) r(ll) 3, r(III) 4.证明：向量组1,2,3,54的秩为4.5,如果各向量组的秩十、(此题总分值10分)二次型f(X1,X2,X3)2 24x2 3x3 4x1X2 4x1X3 8x2X3.(1)写出二次型f的矩阵表达式;(2)用正交变换把二次型 f化为标准形，并写出相应的正交矩阵-一、(此题总分值8分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率0.70可以直接出厂；以概率 经调试后以概率 0.80可以出厂；以概率 0.20

6、定为不合格品不能出厂0.30需进一步调试.现该厂新生产了n(n 2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求:(1) 全部能出厂的概率 ；(2)其中恰好有两台不能出厂的概率；(3)其中至少有两台不能出厂的概率十二、(此题总分值8分)随机变量 X和Y的联合概率密度为f(x,y)4xy, 0 x 1,0 y 1,0,其他，求X和Y联合分布函数F(x,y).1995年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析、填空题(此题共5小题，每题3分,总分值15分.) (1)【答案】 2 ° (1 x)n11 x 2 1【解析】由于f (x)12(1 x) 11,1 x 1 x所以f (x)2 (

7、 1)(1 x) 2,f (x) 2 ( 1)( 2)(1 x) 3,L ,f(n)(x)2( 1)nn!(1 x)(n1)2( 1nn'.(1 x)【答案】2xyf y【相关知识点】复xZxyfyxxyfyx_y_2 xyfxIfxy5xZyxfyxyfy丄xfyyf/xxxxx所以XZxyzyxyf?y2fyxyfyy2fy2xyf 丿xxxxx【解析】根据复合函数求导法那么2y (f (x)的导数为 y (f(x)f(x).【解析】在f (In x)【答案】x ex C1 x中令In x t,那么f (t)1£,从而f(t)1 et dt t etCf (x) x ex

8、 C.【解析】由AAAE,有AAE,故AA'100而A22010,345100所以1A1A22010345X 【答案】Q .耐刁【解析】假设检验是统计推断的另一个根本问题 ，它是根据具体情况和问题的要求，首先 提出原假设H。,再由样本提供的信息，通过适当的方法来判断对总体所作的假设 H。是否成 立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值 的假设检验问题据此类 型应该选取t检验的统计量是齐(XiI) i 1X)经过化简得t Q n(1).【相关知识点】假设检验的一般步骤：(1) 确定所要检验的根本假设Ho ；(2) 选择检验的统计量，并要求知道其在一定条件下的分布；(3) 对

9、确定的显著性水平，查相应的概率分布，得临界值，从而确定否认域；(4) 由样本计算统计量，并判断其是否落入否认域，从而对假设Ho作出拒绝还是接受的判断、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.)(1)【答案】(D)【解析】因f (1)Vxmof(1 Vx)Vx4)Vxf(1 x)xf(1)limx 0f(1)f(1 x)x2讥f(1)f(1 x)2x所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知1 11dx arcsinx 1,11 I1dx52 xln2xln x 2ln2且泊松积分2e x dx匚02故应选(A).注：对于此题选项(A),由于当x0时sinx 0,故在积分区间1,

10、1中x 0是瑕点，反常1 1积分dx应分解为两个反常积分之和1 sin xi 1o 1i 1dxdxdx,psinx Fsinx 0 si nx1 1而且dx收敛的充要条件是两个反常积分1 sin x0 11 sin xdx与勺丄dx都收敛0 sin x由于广义积分1 1 dx0 sin xInx tan 21 1 1 1 即dx发散,故 dx发散.0 si nx1sinxdx1 sin x0 ,从而得出它是收敛的错误结论1在此不可误以为 -一 是 奇函数,于 是sin x(3)【答案】(C)【解析】r(A) m表示A中有m个列向量线性无关，有m阶子式不等于零，并不是任意的，因此(A)、(B)

11、均不正确.经初等变换可把 A化成标准形，一般应当既有初等行变换也有初等列变换，只用一种不0 1 0一定能化为标准形例如，只用初等行变换就不能化成 (E2,0)的形式，故(D)不正0 0 1确关于(C)，由BA 0知r(B) r(A) m，又r(A) m，从而r(B) 0，按定义又有r(B) 0,于是 r(B) 0,即 B 0.故应选(C).【答案】(D)【解析】Cov(U,V) Cov(X Y,X Y).Cov(X,X Y) Cov(Y,X Y)Cov(X,X) Cov(X,Y) Cov(Y,X) Cov(Y,Y)DX DY.由于X和Y同分布，因此DX DY,于是有Cov(U,V) 0 .由相

12、关系数的计算公式Cov(X,Y)DX -DY '所以U与V的相关系数也为零,应选(D).【相关知识点】Cov(aX,bY) abCov(X,Y)；Cov(X1 X2,Y) Cov(X1,Y) Cov(X2,Y).【答案】(C)|XPXPl-1 2 1 12X【解析】由于X : N(,),将此正态分布标准化，故：N 0,1计算看出概率P X的值与大小无关.所以此题应选(C).三、(此题总分值6分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数2x2亠1,xlimx 0f(x)limx 0lim

13、x 0f(x)limx 02(1 cosx)2xX 2cost dt0xlimx 0limx2cosx0 11,故 f (0 0) f (00)f (0),即 f(x)在 x0处连续.f (0)limx 0f(x) f(0)x 0lim01 x 2cost dt 1 x 0xf (0)limx 0X 2 cost dt 02 x2cosx 1 limx 0 2xlimx 014x7 0,2xlimx 0limx 0f(x) f(0)x 02(1 cosx)lim0$ (1 cosx)Xlimx 0x2sin x 2x3x2讪绝30.x 0 6xf(x) 3：f(s)ds e2x.即 f (0)

14、 f (0)0,故 f(x)在 x 0 处可导，且 f (0)0.【解析】首先，在变上限定积分中引入新变量s,于疋33xtfdt03x3 0 f (s)ds.四、(此题总分值6分)代入题设函数f(x)所满足的关系式，得在上式中令x 0得f (0)1,将上式两端对x求导数得2xf (x) 3f (x) 2e .由此可见f (x)是一阶线性方程f (X) 3f (x) 2e2x满足初始条件f(0) 1的特解.用e 3x同乘方程两端，得f (x)e 3x 2e x,积分即得f (x) Ce3x 2e2x.由f(0) 1可确定常数C 3,于是，所求的函数是f (x) 3e3x 2e2x.五、(此题总分

15、值6分)【解析】由1x 2x2(1 2x)(1 x)知ln(12x2) ln(1 2x)ln(1x).因为ln(1x)x23xL3(1) 7 L ,其收敛区间为1,1)；ln(12x)2x)(2x)21)其收敛区间为于是有ln(1 x 2x2)1)n1n1)'1 ( 2x)nn(川1 2" nxn 1n其收敛区间为n 0(R,R)；假设其收敛半径是,那么收敛区间是).六、(此题总分值5分)【解析】 方法一：此题中二重积分的积分区域D是全平面，设a 0,Da(x,y)| a x a,那么当a时,有Da D .从而注意当由于同理可得方法D.min x, ye (x2、y)dxdy

16、lim min x, y eaDa(x22、y )dxdy.y 时，min x, y x ；当x y 时，min x, yy.于是min x, ye/ 2 2(x y)dxdyaadyyxe (x y)dxaadxaye/ 2 2(x y)dy,adxae "dxlimalimaJ ,从而可得dxaaady21e2adxaa2e(x2x2dxy2)d(x2y2)(x2 a2)2x2 .e dxy xe (x2 y2)dxa0,那么圆域Dr、2x(x,y)|x2 ymin x, ye("")dxdy2x2dx.2x2dx2R2当Rme t dt匸22时也趋于全平面，

17、从而min x, ye(x y)dxdy .Dr2 时,min x, y引入极坐标系 x r cos , y r sin ,那么y rsin ;与-4 45时,min x, y x r cos4min x, yeDr(x22y)dxdy由此可得7 sin0'dr2 limRRr2er2dr54 cos4r2e 'dr25 sin4r2dr4 sin0rer2r2dr54 cos4'dr25 sinTR0rd(eRr2e'dr r2)2'dr七、(此题总分值6分)【解析】此题的关键在于p和Q之间存在函数关系，因此pQ既可看作p的函数，也可看作Q的函数，由此

18、分别求出dR及空，并将它们与弹性 Ep 上巴联系起来，进而求得 dp dQQ dp问题的解.由Q Q(p)是单调减函数知 血 0,从而需求对价格的弹性 Ep卫坐 0,这说明 dpQ dp题设Ep b 1应理解为 EpEp b 1 又由Q Q(p)是单调减函数知存在反函数p p(Q)且虫 -1-.由收益R pQ对Q求导，有 dQ dQdpdR dQp从而dRdQQ Q°小dpQpdQp1p(1 E )p dQQ dp1abP°(1)a,得 p°bb 1从而由收益R pQ对p求导,有dRdpdQP dpQ(1 誥)Q(1 Ep)，八、(此题总分值6分)【解析】0再将方

19、法dRdP p po(1)由要证的结论可知Q(1 b) c,于是 Q。,应将左端积分化成0,aaa f(x)g(x)dxa0a f(x)g(x)dxa上的积分，即a0 f(x)g(x)dx,f(x)g(x)dx作适当的变量代换化为在0,a上的定积分由于aaf (x)g(x)dxa0aa f(x)g(x)dx 0 f (x)g(x)dx,0在 f (x)g(x)dx 中令at,那么由x: a0,得t:a 0,且所以0f (x)g(x)dxa0f( t)g( t)d(aaat) 0 f( t)g(t)dt 0f( x)g(x)dx,aa f(x)g(x)dxaa0 f(x) f( x)ag(x)d

20、x A 0 g(x)dx.a方法二：在a f (x)g(x)dx 中令 x t ,那么由x: a a,得 t: aa,且f(x)g(x)dxaa f( t)g( t)d(at) af( t)g(t)dta0 f ( x)g(x)dx.所以f (x)g(x)dx1 a2 a f (x)g(x)dx1 a f (x)2 aaa f ( x)g(x)dxf( x)A a g(x)dx ag(x)dxaA 0 g(x)dx.令 f(x) arctanex,g(x) sinx,可以验证f (x)和g(x)符合(1)中条件，从而可以用(1)中结果计算题目中的定积分方法一：取 f (x) arctanex,

21、 g(x)sin x , a2由于 f(x) f( x) arctaneX arctaneX满足arcta nexarcta n earcta nex arcta nex A.2x e2x e令X 0,得2ar如1 A A 2,即fx fx-.于是有sin x arctanexdxsin x dx 2sin xdx方法二：取 f (x) arctanex, g(x) sinx ,【解析】因为r(I) r(ll) 3,所以3线性无关线性相关,a亍于 f (x) f ( x) arctanex arctan ex21(这里利用了对任何x 0,有arctanx arctan)x 2以下同方法 九、此

22、题总分值9分因此4可由1 >2 >3线性表出，设为 4l11l22l33 .假设k1 1 k22k3 3k4(54)0,即(k11也)1 (k2l2k4)2(k3l3k4 )3k4由于r(III) 4,所以 1,2 ,3 ,5线性无关.故必有k1 l1k40,k212k40,k313k40,k40.解出k40,k3；0, k20,k10于是1 >2 >3 >54 纟戋性无关,即其秩为4.十、此题总分值10分)【解析】1因为f x1, x2,x3对应的矩阵为5 0,故f X1, X2,X3的矩阵表示为(2)由A的特征方程022X1xTAx(NX*)244X2243X322222244240243241f (Xi,X2,X3)1004E A1)( 236)0,得到A的特征值为6, 36.由(E A)x0得根底解系X1(2,0,1)T，即属于1的特征向量由(6E A)x0得根底解系X2(1,5,2)T，即属于6的特征向量由(6E A)x0得根底解系X3(1，1,2)t，即属于6的特征向量.对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交，故只须单位化，有那么令 Q经正交变换X1X13)X2y2X3y3X212|X 后1,305302