2021届高考数学一轮复习课时跟踪检测(四十五)立体几何中的向量方法理(重点高中)

1、课时跟踪检测四十五 立体几何中的向量方法二重点高中适用作业A级一一保分题目巧做快做1 在棱长为1的正方体 ABCDAiBCD中，M N分别为 AB, BB的中点，那么直线 AM与CN所成角的余弦值等于A.B.10To"3D.解析：选 D建立如下图的空间直角坐标系，那么1 1Mi, 2，1 , qo,1,o, n 1, 1, 2 ,A(1,o,o)>1 >1cn = 1, o, 2 , aM= 0, 2， 1故 cos AM, CN >AM Cn0+ 0+2I aM| i "Cn |5 .上52 22.在直三棱柱 ABGABC中，AA= 2,二面角 B AA

2、- C的大小为60°，点B到平面ACGA的距离为、：3,点G到平面ABBA1的距离为2 : 3，那么直线BG与直线AB所成角的正切值为 A. ;'7B. ''6G. '5D . 2解析：选A由题意可知，/ BAG= 60°，点B到平面ACCA的距离为小，点G到平面ABBA1 的距离为 2 耳，所以在三角形 ABC中, AB= 2, AC= 4, BC= 2 ;'3,Z AB= 90°,> > > > > >那么 AB BC = ( BB BA) ( BB + BC) = 4,I 入!h =

3、 2 ,'2, | 1BG| = 4,> >cos AB , BC> >AB BC故 tan AB , BC = .： 7.3.如下图，在三棱锥 P-ABC中，PAL平面 ABC D是棱PB的中 点，PA= BC= 2, AB= 4, CBLAB那么异面直线 PG AD所成角的余弦值为()解析：选D因为PA!平面ABC所以PAI AB PA! BC过点A作AE/ CB又CBL AB那么AP, AB AE两两垂直.z轴建立空间直角坐标系Axyz ,如图，以A为坐标原点，分别以 AB AE AP所在直线为x轴,那么 A(0,0,0), R0,0,2), B(4,0,

4、0), C(4 , 2,0).因为D为PB的中点，所以 D(2,0,1).> >故 CP = ( 4,2,2) , AD = (2,0,1).所以cos -D , -P =上亘=丁一勢. | -DI .|-P| 0 2 爭 10设异面直线PC AD所成的角为e,那么 cos e = |cos71D , "Cp | =-30.ABDB4.如图，正三棱柱 ABCABC的所有棱长都相等，E, F, G分别为AA , AQ的中点，贝U BF与平面GEF所成角的正弦值为()3A-55B. 6解析：选A设正三棱柱的棱长为分别以DA DB DG所在的直线为角坐标系，如下图,那么 B(0

5、 ,乜,2) , F(1,0,1),E2 , -2, 0 , G(0,0,2),2,取AC的中点D连接DGx轴，y轴，z轴建立空间直BfF =(1 , ；;3 , 1) ,=1,-今,1 , "F = (1,0 , 1).设平面GEF的法向量n = (x , y , z),>EF n= 0, 那么 一"Gf n= 0 ,1'3x y+ z = 0 , 即 22'，x- z= 0 ,取 x = 1,贝 y z = 1,y = ,'2 3,故n =(1,'3, 1)为平面GEF勺一个法向量,>1 - 3- 13所以 cos n , B

6、F > =二,、5 X 訂 553所以BF与平面GEF所成角的正弦值为5.应选A5.在正方体ABCDABCD中，点E为BB的中点，那么平面 AED与平面ABC所成的锐.面角的余弦值为1A.2D2解析：选B以A为原点建立如下图的空间直角坐标系Axyz棱长为1，那么 A(0,0,1),E 1, 0, 1 , Q0,1,0),XiD= (0,1，-1),设平面AED的一个法向量为 m= (1 , y, z),>m A D = 0 , 那么>n1 A E = 0 ,y- z = 0 , 即 11-2z= 0 ,y=2 ,z = 2. n1=(122).又平面ABCD勺一个法向量为n2

7、= (0,0,1), cos n1 , n2 >23X1 3.6.如下图，在正方体 ABCD -A1BGD中，E, F分别是正方形ABCD和正方形 ADGA的中心，贝U EF和CD所成的角的大小是冲I"1111022i1/1,那么AQ0,0 ,0) , CO , 1,0) , E1, 12，"E>DC>= 135°,.异面直线 EF和CD所成的角的大小是 45答案：45n= ( a, 0,1),直线FO与平面BED所成角的大小为45答案：2解析：以D为原点，分别以DA DC DD所在直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系Dxyz，设正方

8、体的棱长为11 ， F 2， 0,>二EF ,"Dc=(0,1,0) , cos <"Ef, "Dc> = EF D¥ i "hi "C7.如图，菱形 ABCDK/ ABC= 60°, AC与 BD相交于点O, AE!平面ABCD CF/ AE AB= 2 , CF= 3.假设直线FO与平面BED所成的角为45°,那么(a)-贝 U y = 0,令 z = 1 ,得 x=- a , cos n, OF>.'a2 + 1x 102解得a= 2或a=-1(舍去), AE= 2.8.如图，

9、四棱锥 P -ABCD勺底面ABCD!等腰梯形，AB/ CDAE=解析：如图，以 O为原点，以OA OB所在直线分别为x轴，y轴，以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设 AE= a,那么 00,：3, 0) , D(0，- ：3, 0) , F( 1,0,3) , E(1,0 ,a), "OF = ( 1,0,3) , "DB = (0,2 护,0) , "Eb =平面BED的法向量为n= (x , y , z),>n OFa+ 3| n| "OF|-；a + 1 10n DB = 0 , 那么>n EB = 0 ,即2讪=0

10、 ,x + '3y az= 0 ,|a+ 3|设且 Ad BD AC与 BD交于 Q POL底面 ABCDPO= 2, AB= 22, E, F分别是 AB AP的中点.那么面角F -QE -A的余弦值为解析：以Q为坐标原点，QB QC QP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如下图的 空间直角坐标系 Q xyz,由题知，QA= QB= 2,>那么 A(0，- 2,0),巳2,0,0) , P(0,0,2) , E(1 , - 1,0) , F(0，- 1,1)，那么 QE = (1 ,->1,0) , QF = (0，- 1,1),设平面QEF的法向量为nn= (x, y,

11、 z),m-"QE= 0,m"QF = 0,x - y= 0即-y + z= 0.令 x = 1,可得 m= (1,1,1).易知平面QAE的一个法向量为n= (0,0,1), 山m-n-J3那么 cos m n=帀-.|m| n| 3由图知二面角 HQEA为锐角，所以二面角F-QEA的余弦值为.答案：-339. (2021 全国卷川)如图，四面体 ABCD中, ABC是正三角 形， ACD是直角三角形，/ ABD=Z CBD AB= BD(1) 证明：平面 ACDL平面ABC(2) 过AC的平面交BD于点E,假设平面AEC把四面体ABC吩成体积相等的两局部，求二面角DAE

12、C的余弦值.解：(1)证明：由题设可得， ABDA CBD从而 AD= DC又厶ACD是直角三角形，所以/ AD(= 90°bQ取AC的中点 Q 连接DQ BQ贝U DQL AC DQ= AO又因为 ABC是正三角形，所以 BCL AC所以/ DQB为二面角 D AG B的平面角在 Rt AQB中, + AQ= Ab.又 AB= BD 所以 bQ+ dQ= bQ+ aQ= aB= bD , 故/ DQ= 90°.所以平面ACDL平面ABC 由题设及(1)知，OA OB 0D两两垂直.以0为坐标原点，OA的方向为x轴正方向,| 0A|为单位长度，建立如下图的空间直角坐标系Ox

13、yz，那么A(1,0,0) , B0 ,护,0),C( 1, 0,0) , D(0,0,1).1由题设知，四面体 ABCE勺体积为四面体 ABCD勺体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的2，即E为DB的中点，得Eo,平,2 .故鼻aD =( 1,0,1) , AAC =( 2,0,0) , A = 1,舟,2.设n = (X1, y1, Z1)是平面DAE的法向量，A X1 + 乙=0,n AD = 0,贝U即；31怎=0, X1+2y1 + 2Z1= 0.3可取n= 1，于,1 .设m= (X2, y2, Z2)是平面AEC的法向量，m AC = 0, 那么Am- AE =

14、 0,2x2= 0,即；31X2+22+ 2乙2= 0,可取 m= (0， 1,:3).贝U cos n, mn m| n| m由图知二面角 DAEC为锐角， 所以二面角DAEC的余弦值为斗10. (2 017 山东高考)如图，几何体是圆柱的一局部，它是由矩形 ABCD及其内部)以AB边所在直线为旋转轴旋转120。得到的，G是DF的中点.(1) 设P是Ce上的一点，且 apt BE,求/ CBP勺大小；(2) 当AB= 3, AD= 2时，求二面角 EAGC的大小.解：(1)因为 APL BE ABL BEAB?平面 ABP AF?平面 ABP ABH AP= A, 所以BEL平面ABP又BP

15、?平面ABP所以BE1 BP又/ EBC= 120° 所以/ CB* 30°. 以B为坐标原点，分别以 BE BP, BA所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如下图的空间直角坐标系.由题意得 A(0,0,3) , E(2,0,0) , Q1 , 3 3) , C( 1, 3> > >0)，故 AE = (2,0 , 3) , AG = (1 ,:3 , 0) , CG= (2,0,3)，设nn= (xi , yi , zi)是平面AEG的一个法向量.m- AE = 0 ,2xi 3zi= 0 ,由可得m- G=0 ,xi+ ,；3yi = 0-取乙=2,可得平

16、面 AEG的一个法向量 m= (3 , '3 , 2).n AG= 0 ,由>n CG= 0,可得X2+ ；3y2= 0 ,2X2+ 3Z2= 0.设n = (X2 , y2 , Z2)是平面ACG的一个法向量.取Z2= 2,可得平面 ACG勺一个法向量n = (3, ：3, 2).m- n9 + 3 4 i所以 cos n= pml =4= 2.由图知二面角 EAGC为锐角，故所求二面角 EAGC的大小为60°.B级一一拔高题目稳做准做i. (2 0i7 -天津高考)如图，在三棱锥 P-ABC中 , PAL底面 ABC/ BAC= 90° .点D, E, N

17、分别为棱 PA PC BC的中点，M是线段AD 的中点，PA= AC= 4 , AB= 2.求证：MIN/平面BDE(2)求二面角 GEM N的正弦值； 点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 右7 ,求线段AH的长.解：由题意知，AB AC AP两两垂直，故以A为原点，分别以AB ,> >AC , AP方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如下图的空间直角坐 标系依题意可得A(0 , 0,0) , B(2 , 0,0) , Q0,4,0) , R0,0,4),D(0,0,2) , E(0,2,2) , M(0,0,1) , N(1,2,0).(1)证明："CHE

18、 = (0,2,0) , DB = (2,0 , - 2).设n = (x, y, z)为平面BDE勺法向量，2y= 0,2x-2z= 0.n DE = 0, 那么>n DB = 0,不妨取z = 1，可得n = (1,0,1)又-N= (1,2，- 1)，可得 IMN n = 0.因为Ml?平面BDE所以MIN/平面BDE易知n1 = (1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2= (X1,屮,zj为平面EMN的法向量，> >又 EM= (0，- 2, - 1) , MN= (1,2 , - 1),n2 "EM= 0,n2 "MN= 0,2y1-乙=0

19、, 即X1+ 2y1-乙=0.不妨取y1= 1，可得 n2 = ( 4,1 , - 2).因此有 cos n1, n2n1 ru4| Ml n2| =-习,于是sinm,n2'10521 '所以二面角 C-EM-N的正弦值为:10521依题意，设 AH= h(0 w hw4)，贝U H(0,0 , h),进而可得 NH = ( 1,- 2, h) , BE = ( 2,2,2)> >| NH BE |由，得 |cos NH , BE|Ll NH| BE|_|2 h 2|,'h2 + 5X 23 21 ,2 8 1 整理得 10h2- 21h+ 8 = 0,解

20、得 h=或 h =;.528 1所以线段AH的长为8或z.522.(2021 东北四市模拟)如图，四棱锥P-ABC啲底面ABCD正方形，戸从底面ABCD AD= AP, E为棱PD的中点.(1)求证：PDL平面ABE(2)假设F为AB的中点，PM= X PC (0 v入v 1)，试确定 入的值，使二面角 P-FM-B 的余弦值为一3解：证明：T PA!平面ABCD AB?平面ABCD PAL AB又 ADL AB PA? AD= A, ABL平面 PAD PD?平面 PAD： PDL AB E是PD的中点，AD= AP AE! PD 又 AEH AB= A, PDL平面 ABE> >

21、; >(2)以A为坐标原点，以 AB , AD , AP的方向为x轴，y轴，轴的正方向建立如下图的空间直角坐标系A-xyz,令AB= 2,那么 A(0,0,0),巳2,0,0), P(0,0,2), C(2,2,0), F(1 , 0,0),> > > PF = (1,0 , 2) , BF = ( 1,0,0) , PC = (2,2 , 2),> >/ PM=入 PC (0 vXv 1), PM= (2 入，2 入，2 入),M(2X , 2 入，2 2 X) , FM = (2 入-1,2 入，2 2 入).设平面PFM的法向量为m= (X1 , y

22、, zj ,>m- PF = 0 ,X1 2z1 = 0 ,贝V即、_ >2 Xx1 + 2 Xy 1 一 2 Xz 1 = 0 ,m- PM= 0 ,令乙=1,贝y m= (2 , 1,1)为平面PFM的一个法向量.设平面BFM的法向量为n=(X2 , y2 , Z2),n BF = 0, X2= 0 ,贝U即>2 X 1 X2 + 2 Xy 2+2 2 X Z2= 0 ,n FM = 0 ,令Z2=X,那么n= (0 , X 1, X )为平面BFM的一个法向量.|m n|1 X+X|也. |cos m, n| 一一22 一|mHn|V6 X 1 23解得X = 1.3.

23、(2021 福建质检)如图，在以 A, B, C, D, E, F为顶点的多面体中，四边形 ACDF是菱形，/ FAC= 60°, AB/ DE BC/ EF, AB= BC= 3, AF= 2护，BF=5.求证：平面 ABCL平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值.解：证明：设O是AC的中点，连接OF OB FC在厶 ABC中, AB= BC所以OBL AC因为四边形 ACDF!菱形,/ FAC= 60° ,所以 FAC是等边三角形，所以OFL AC,所以/ FOB是二面角F-AGB的平面角.在 Rt FAO中,AF= 2 '3 , AO= qAC= r ； 3 ,所以 OF= 'AF2- AO= 3.在 Rt ABC中 , AB= 3 , AO= :3, 所以 OB= .AB- AO= '6 ,又 BF=15,所以 OF + oB=