2006年考研数学二真题及答案

1、2006年考研数学二真题一、填空题(16小题，每题4分，共24分。)(1)曲线2?+4?的?水平渐近线方程为5?-2?【答案】？?=丄5【解析】?+4? 二?厶旋?-2? ?总-2?1+4 ? _?=?故曲线的水平渐近线方程为？?=-5综上所述，此题正确答案是？?=-5【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 设函数?= 石4 ?工0,在？?= 0处连续，那么？?=?= 0【答案】1。3【解析】?= ?f?2?> ?=-? TO?3 勺 ?二0*3?宦3'综上所述，此题正确答案是-【考点】高等数学一函数、极限、连续一初等函数的连续性(3)反常积分?(1+?

2、1 2)2【答案】2【解析】?(1 + ?)2 -?厶+代(1 + ?)21 ? ? t + »20?1 + ?)(1 + ?)2=2?3?11 + ?)|?011)=1 + ?22综上所述，此题正确答案是12【考点】高等数学一一元函数积分学一反常积分(4) 微分方程？=的通解为【答案】？?= ? ?为任意常数。【解析】?= 弓？?？ ?|?= ?|?_ ?即？?= ? ?为任意常数综上所述，此题正确答案是？?= ?【考点】高等数学一常微分方程一一阶线性微分方程(5) 设函数？?= ?(?由方程？?= 1 - ?'确定，那么?=?=0【答案】-?o【解析】等式两边对？求导得?

3、 = -?- ?将？?= 0代入方程？?= 1 - ?可得？?= 1。将？?= 0,?= 1 代入?= -?- ?,得?'= -?.?=0综上所述，此题正确答案是-?o【考点】高等数学一一元函数微分学一复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(6) 设矩阵？?= 2：,?为二阶单位矩阵，矩阵？满足?= ?+ 2?-1 2那么 I? =【答案】2。【解析】?= ?+ 2? ? ? = 2? |?(? ?) 斗 V I I fl=|? | ? ?- ?= 22 = 4因为 I? ?= | 11| = 2，所以 |?= 2。-1 1综上所述，此题正确答案是2。【考点】线性代数

4、一行列式一行列式的概念和根本性质，行列式 按行(列)展开定理二、填空题(714小题，每题4分，共32分，以下每题给出的四 个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。) 设函数？?= ?(?具有二阶导数，且？?(？> 0, ?(?> 0,?为自变 量?在点？?处的增量，？?与?分别为？?(?在点？?处对应的增量与 微分，假设?> 0,那么(A) 0 < ? ?(B)0 < ?< ?(C)?< ? 0(C)?< ?< 0【答案】A。【解析】【方法一】由函数？?= ?(?单调上升且凹，根据？?和？?的几何意 义，得如下所示的图由图可得0 <

5、? ?【方法二】由凹曲线的性质，得？?？+ ?> ?)+ ?勺?)？?工0,于是?+ ? - ?) > ?(?)?> 0,?> 0,即0 < ? ?综上所述,此题正确答案是 A。【考点】高等数学 一元函数微分学 导数和微分的概念,导数 的几何意义和物理意义(8) 设?(?是) 奇函数,除?= 0外处处连续, ?= 0是其第一类间断点,?那么犷?(?)是?？(A) 连续的奇函数(B)连续的偶函数(C)在?= 0间断的奇函数(D)在？?= 0间断的偶函数【答案】 B。【解析】显然 ?(?在) 任何有限区间 ?, ?上 都可积,于是 ?(?) =? ?？?(?)连?？又

6、因?(?是奇函数，那么？=?(?)是偶函数。 综上所述,此题正确答案是 B。【考点】高等数学函数、极限、连续函数的有界性、 单调性、 周期性和奇偶性高等数学 一元函数积分学 积分上限的函数及其导数(9) 设函数?(?可微，?(?= ?怦?(?,？1) = 1,?(1) = 2，那么 g(1)等 于(A)?-31(B)-?3- 1(C)-?2- 1(D)?-21【答案】 C。【解析】？'(？= ?护?(?)？?)由？'(1) = i,g'(i) = 2,得g(i) = ?餐-1 = ? 1 = -?2 1g (1)2综上所述，此题正确答案是C。【考点】高等数学一一元函数微

7、分学一复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法(10) 函数？?= ?+ ? + ?满足的一个微分方程是(A)? - ?- 2?= 3?(B)? - ?- 2?= 3?(C)? + ?- 2?= 3?智(D)? + ?- 2?= 3?f?【答案】D。【解析】因为？?= ?+ ? + ?輕是二阶常系数非齐次线性 方程的解，故？?= ?+ ?是对应的齐次方程的通解，？= ?是非齐次方程的特解，因此?= 1,?= -2是齐次方程特征方程 的根，齐次方程应为? + ?- 2?= 0,这样可排除A和B,又因 为?= 1是特征方程的单根，因此非齐次项为？?？= ?9?因此答案 为D。综上所

8、述，此题正确答案是D。【考点】高等数学一常微分方程一线性微分方程解的性质及解的结构定理，简单的二阶常系数非齐次线性微分方程，二阶常系数齐次线性微分方程?(11) 设？(?？?为连续函数，那么 £ ?£ ?(?等)于?空V仁?£(B) £2 ?$?(?)?巨V1-?2(D) £2 ?(?)?0 0VV 1-?农(A) £2 ?(?)?0?V2V1-?2(C) £2 ?(?)?0?【答案】C。迈、/ 4 ?【解析】如下列图，显然是y型域，那么原式二？?g? " ?(?)?综上所述，此题正确答案是C【考点】高等数学一多元

9、函数微积分学一二重积分的概念、根本 性质和计算(12) 设？?(?？?与？?(?超?均为可微函数，且？(?)工0。(?？,？?)是?(?在约束条件？?？二0下的一个极值点，以下选项正确的 是(A) 假设滋?,？?)= 0,那么滋?,？?)= 0(B) 假设?(?,?) = 0,那么?(?,?)工0(C) 假设?(?,?)工0,那么吻?,？?)= 0(D) 假设?(?,?)工 0,那么刃？?,？?)工 0【答案】D。【解析】此题主要考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘 数法。作拉格朗日函数？?？= ? + ?,并记对应？?,？的参数?的值为?,那么?規?)=0'即严?,？?)+?,?

10、) =0?孜？,？)+ ?<?,?) = 0,消去?,?)?/?,?)- ?(?,?)?<?,?) = 0,整理得： 滋?，？?)=込怎?滋？?，？?)？臥?，？?)(因为？以?？半 0), 假设?(?,?)丰 0,那么?(?,?)丰 0。综上所述，此题正确答案是D【考点】高等数学一多元函数微积分学一二元函数的极限(13) 设？,？,？，？?均为?维列向量,?是?X?矩阵,以下选项正确的 是(A) 假设？,？,？，？?线性相关，那么？?？?？，？?线性相关(B) 假设？,？,？，？?线性相关，那么？?？?？，？?线性无关(C) 假设？,？,？，？?线性无关，那么？?？，？?？线性相

11、关(D) 假设?？,？,？，？?线性无关，那么? ,?线性无关【答案】A。【解析】【方法一】因为？,？,？，？?线性相关，故存在不全为零的数?, ?, ? ,?使得? + ? + ? + ?= 0从而有？?(？?？ + ? + ? + ? = ?0= 0即？?？+?+ ? + ?= 0,由于？?,？?,？ ,?不全为 0 而 是上式成立，说明？?？?？，？?线性相关。【方法二】利用秩来求解，利用分块矩阵有(?,? = ?(?,?,?那么? ,? <?(?,? ,? 因为?1,?2,? ,?线性相关，有 ?( ?1 , ?2 , ? ,?) < s 从而?(?1?, ?2?, ? ,

12、 ?) < ?故, ?1?,?2?, ? , ?线性相关。 综上所述，此题正确答案是 A【考点】线性代数 向量 向量组的线性相关与线性无关、向量 组的秩(14) 设?为三阶矩阵，将?的第2行加到第 1行的?，再将?的第 1列110的-1 倍加到第 2 列得?，记?= 0 1 0，那么001(A)?= ?-1 ?(B)?= ?-?1?(C)?= ?T ?(D)?= ?T?答案】 B。解析】按条件，用初等矩阵描述有1101 -10?= 0 10 ?,?=?0 100010011 1 0 1-10所以?= 0 1 0 ?010 =?-?。0 0 1 001综上所述，此题正确答案是B【考点】线性

13、代数 矩阵 矩阵的线性运算三、解答题( 1523 小题，共 94 分。解容许写出文字说明、证明过 程或演算步骤。)(15) (此题总分值 10 分)试确定常数?, ?,?的值，使得?(1 + ?+? ?2?) = 1+ ?+? ?(?3?)， 其中？?(?是当 m 0时比?高阶的无穷小量。2【解析】由泰勒公式知：？?= 1 + +2那么?；1 + ?+ ? = (1 +?+? +=1 + (?+ 1)?+ (_+ ?+ ?)? +£ + ?)?)(1 + ? ?(_ + 一 ？各?)? + ?)=1 + ?+ ?)1 /比较等式两端同次幕的系数得?+ 1 = ?1+ ?+ ?= 0

14、1 2-0，解得？?= - ,?=1 1 3-+ -?+ ?= 06 2 ''?= 6。【考点】咼等数学一函数、极限、连续一泰勒公式(16)(此题总分值10分)、 ?求 /r-?【解析】此题用到了几个常用的积分公式【方法一】令?那么?？= ?22?'? ? ?1 ? r ? r ?-?【万法二】 厂爲?？?=-? ? ?+ /= - ?+?p/? ? ? ? 1V1-?2?- ?- -?計 + ?r?J?和 + r11? ? ?V 1- ?字？ ? 99令"1 ?= ?那么？?？ -?-?O 1-?21 ? 11-?J V 1-?2?-121+?1- V1-?

15、2?丿?尹2 1+ V 1-?2?元函数积分学一不定积分的计算【考点】高等数学(17) (此题总分值10分)设区域？?= (?)? + ? < 1,?> 0,计算二重积分?=1+? ?-?1+?2+?2 -【解析】此题需要用到二重积分的对称性，又因为积分区域为圆域的一局部，所以化为极坐标下的累次积分来求解积分区域？?如下列图，因为区域 ？?关于？轴对称，函数？?？二詁?2是变量？的偶函数，函数？?？二帀笔2是变量？的奇函?1数 那么? 1?=?2 ?1? 化?_ ?小-?1+?2+?2-? 1+?2+?2厶临? + 1 ?22?1+?2+?2?=?,1+? 1 ? ?2故 ? 1?

16、=?'?+?=?。'?1+?2+?2?1+?2+?2?1+?2+?22?【考点】高等数学一一元函数积分学一不定积分的计算(18) (此题总分值12分)设数列？?满足0< ?1?< ?+1 =孑?？?？ 1,2,?).证明？?？?存在，并求该极限；? IX1(II)计算?(/?_+1) ?.【解析】此题数列是由递推关系给出的，通常用单调有界准那么证明极限存在，并求出极限，第二问转化为函数的极限来求解。用归纳法证明?单调减且有下界，由于？?？?？?,？, 那么由 0< ?< ?知，0< ?二？?？?？< n 设0< ?< ?那么 0&

17、lt; ?+1 = ?<?< n所以?单调减且有下界，故极限孑？?存在，记？?=孑？?？由?+1 = ?知?= ?所?以? ?=? S0,即孑？? 0。? IX1 1(II)由于？?2222+1)222= ?22222122222,所以，考虑函数极限?,'222222ri22222?22?2?222?二厂?？)?22222222224L ? F ?'? 2222In (1+ ? ° ? 50?_?22222222_22? 50?_ -?<2? =?二0"3?字22222222_1222222=? 50 3?字i? ?6,故?:?1)?2?=

18、 ?6。【考点】高等数学一函数、极限、连续一极限的四那么运算、单调有界准那么(19) (此题总分值10分)证明：当 0 < ?< 2* ?寸，?+?2?/? ?2?【解析】此题可构造函数，利用函数的单调性来证明。设?=孑？#?<?0, ?贝卩？?(？= ?+?2?2!22?+?22= ?2?+?(?=孑？?E (0, ?)那么?(?在0, ?上单调减，从而有?(?> ?(? = 0 ? (0, ?)因此，?在0, ?上 单调增，当 0 < a< b< n时,?> ?(?) 即？+?2?：? ?/+?2?i?/?【考点】高等数学一函数、极限、连续一

19、根本初等函数的性质(20) (此题总分值12分)设函数?(?在(0, +)内具有二阶导数，且？?= ?(V2? ?)满足等 ?!? ?乡？式討0(I) 验证？(？+?= 0;(II) 假设?1) = 0,?(1) = 1,求函数?(?的 表达式。【解析】此题主要考查复合函数偏导数的求解。? , ? ? , ?设?=v?+ ?,那么祐?占访亍?冷?V饷*-o?, ,?,v?2*?2二?(? ? = ? = + ?(?-?V 冷？?？ v z？?？字+?2?= ?(?冷+,?(?"3,(?字+?2)2?, ?玮二？(？冷 +?(?：3，将(?尝+?2羽?丄 ？ ？字？八、 ？?!?？字?

20、？3 将 石?代入2222 + 2222 = 0?(?+ ?222:? 2222(II)令?(?= ?那么？+ ?= 0? ?=?+?即 ?=2222不；两边积分得： 寻即?(?=专 由?(1) = 1可得?= 1.所以有 ?(? = ?两边积分得?=孑？?？,由?1) = 0可得?= 0,故?= ?【考点】高等数学一多元函数微积分学一多元函数的偏导数(21) (此题总分值12分)?= ?+ i曲线？的方程为? 4? ?(?> 0).讨论？的凹凸性；(II) 过点(-1,0)引？的切线，求切点(?,?)，并写出切线的方程;(III) 求此切线与？?对应于？?w ?的局部)及？轴所围成的平

21、面图形的面积。【解析】确定凹凸性，也就是确定二阶导数的正负，要求切线方程，先求斜率。I?- 1,1=-丄?(?) ? “? (?)4-2?因为二二?-(?)=? ? (?) 2?-乡？ 2 ? “ 2、所以_?= 一(2 - 1) ?一二(-)?-当0时，葺 0,故？是凸的。(II)当0时,?条0) = 0,?(0) = 4,?0) = 1, ?0) = 0,?X那么?= 0时，？在对应点处切线方程为？?= 1,不合题意,故设切点(?,?)对应的参数为?> 0,那么？在(?,?)的切线方程为:2? (4?-萊)=(-1)(?-笏-1)?令？?= -1, ?= 0,得? + ?0?- 2

22、= 0,解得?0?= 1 或?0?= -2(舍去),由？?= 1知，切点为(2,3),切线方程为？?= ?+ 1(III) 令?= 4? ?,得?= 0,?2?=4,对应曲线L与x轴的两个交点(1,0)和(17,0),由以上讨论知曲线L和所求的切线如下列图，故所求平面图形面积为:2 2S= / (?+ 1)? / ?_-1 11/ (4? ?%?(?+ 1)01/ (4? ?o?2?3'【考点】高等数学一一元函数微分学一函数图形的凹凸性、平面曲线 的切线和法线高等数学一一元函数积分学一定积分的应用(22) (此题总分值9分)?+ ?+ ?+ ?= -1,非齐次线性方程组4?+ 3?+

23、5?- ?= -1,?* ? + 3? + ?= 1有三个线性无关的解。证明方程组系数矩阵？的秩？?？=2 ；(II)求？?的值及方程组的通解。【解析】此题主要考查含参数的非齐次线性方程组的求解问题。设？,？,？是非齐次线性方程组的三个线性无关的解，那么?-?2，?-?3，是? 0线性无关的解，所以? ? > 2,即?(?券2显然矩阵？中有2阶子式不为0,又有？?？ > 2,从而秩(II)对增广矩阵作初等行变换，有1111-11111-1?= 435-1 I-1-011-5I 3 ?13?101-?3-?f 11111-1F01-15I-3.004-2?4?54-2?由题设和第一问知