《管理运筹学》第四版课后习题解析(上)

1、管理运筹学第四版课后习题解析（上） 第2章线性规划的图解法 1解: （1） 可行域为OABC。 （2） 等值线为图中虚线部分。 （3） 由图2-1可知，最优解为点，最优解= x2 = -;最优目标函数值警。 图2-1 2解： v = o 2 （1）如图2-2所示，由图解法可知有唯一解? | ,函数值为3.6。 （2） 无可行解。 （3） 无界解。 （4） 无可行解。 （5） 无穷多解。20 Xj = (6)有唯一解0 松弛变量(0, 0) 最优解为X|=l,疋=3/2。 5解:函数值为宁 8 标准形式 min f = 11.| + 8A*2 + 0. + 0比 + 0屯 10 x）+2X2 -

2、$ =20 3兀+ 3X2 -S2 = 18 4A：| + 9X2 一 巧=36 剩余变量（0, 0, 13） 最优解为Xi=l,加=5。 6解： (1) 最优解为 xi=3, X2=7O (2) Kq 3o (3 ) 2 c2 上二0。 (6) 不变化。因为当斜率_1W-最优解不变，变化后斜率为1,所以最优解不变。 3 7.解 设x, y分别为甲、乙两种柜的日产量, 目标函数z=200 x + 240y? 6x + 12y 120 8.v + 4y 64 0 y 0线性约束条件： x + 2y 20 2x + y 16 0 丿no = 200 x4 + 240 x8 = 2720 答：该公司

3、安排甲、乙两种柜的日产量分别为4台和8台，可获最大利润2720 元. 8.解： 设需截第一种钢板X,第二种钢板y,所用钢板面积Z012. 目标函数z=x+2y, 线性约束条件： x+y 12 2x+y 15 27 x0 .y 0 作出可行域，并做一组一组平行直线x+2y=t.解fX + 3y = 27得E(9/2,15/2) x + y = 12 但E不是可行域的整点，在可行域的整点中，点(43)使z取得最小值。 答：应截第一种钢板4,第二种钢板8,能得所需三种规格的钢板，且使所用钢 板的面积最小. 9.解： 设用甲种规格原料x,乙种规格原料y,所用原料的总面积是zm目标函数z二3 x +2y

4、,线性约束条件 + 2y2 2x + v 3 / 作出可行域.作一组平等直线3x + 2y=t.解 x 0 y 0 x + 2y = 2 2x + y = 3 得 C(4/3,l/3) C不是整点,C不是最优解.在可行域的整点中，点B(l,l)使Z取得最小值.Z *=3X1+2X1=5, 答：用甲种规格的原料1,乙种原料的原料1,可使所用原料的总面积最小为 5m. 10. 解： 设租用大卡车x辆，农用车y辆，最低运费为z元.目标函数为z=960 x + 360y. 0A10 线性约束条件是0y 100 8x + 3y二0,向上平移 ”.5g。得最佳点为侶冋 作直线960 x + 360y二0

5、即8x + 3y二0,向上平移至过点B(10, 8)时，z=960 x + 360y取到最小值. z 最小=960 X 10 + 360X8二 12480 答：大卡车租10辆，农用车租8辆时运费最低，最低运费为12480元. 11. 解： 设圆桌和衣柜的生产件数分别为x、y,所获利润为z,则z=6x+10y. 0.18x + 0.09y 72 0.08x + 0.28y 0 2x + y 800 2x + 7y 0 y0作出可行域.平移6x + 10y-0 ,如图 y0 移到经过点C(350, 100)时,z二6x+10y最大 12解： 模型 max z = 500州 + 4OOx2 2比 W

6、 300 3X2 W 540 2xt + 2x W 440 1 2X +1.5x2 W 300 xhx2 2 0 (1) x】=150, x2 =70 ,即目标函数最优值是103 000o (2) 2, 4有剩余，分别是330, 15,均为松弛变量。 (3) 50, 0, 200, 0o (4) 在0.500变化，最优解不变；在400到正无穷变化，最优解不变。 (5) 因为-2 = -孚冬-1,所以原来的最优产品组合不变。 c2 430 13解： (1)模型 min f = 8XA + 3xB 50AA+100XB 1200000 5AA + 4XB 2 60 000 100 xB 30000

7、0 心如鼻0 基金儿B分别为4 000元，10 000元，回报额为62000元。2x + y = 800 1OO%,理由见百 4.25 3.6 分之一百法则。 8解： （1） 18 000, 3 000, 102 000, 153 000。 （2） 总投资额的松弛变量为0,表示投资额正好为1 200 000；基金B的投资额的剩余变 量为0,表示投资B基金的投资额正好为300 000； （3） 总投资额每增加1个单位，回报额增加0.1； 基金B的投资额每増加1个单位，回报额下降0.06。 （4） C不变时，C2在负无穷到10的围变化，其最优解不变； C2不变时，C|在2到正无穷的围变化，其最优解

8、不变。 （5）约束条件1的右边值在300 000到正无穷的围变化，对偶价格仍为0.1； 约束条件2的右边值在0到1 200 000的围变化，对偶价格仍为-0. 06o 9解： （1） A| = 8.5 , = 1.5 t Aj = 0 x4 = 0 ,最优目标函数 18. 5O (6) 600 000 + 300 000 900000 900000 = 100%故对偶价格不变。 （2） 约束条件2和3,对偶价格为2和3. 5,约束条件2和3的常数项增加一个单位目标函 数分别提高2和3. 5。 （3） 第3个，此时最优目标函数值为22。 （4） 在负无穷到5.5的围变化，其最优解不变，但此时最优

9、目标函数值变化。 （5） 在0到正无穷的围变化，其最优解不变，但此时最优目标函数值变化。 10解： （1） 约束条件2的右边值增加1个单位，目标函数值将增加3.622。 （2） 心目标函数系数提高到0.703,最优解中总的取值可以大于零。 （3） 根据百分之一百法则判定，因为允许减少的百分比与允许增加的百分比之和 _+2ioo%,所以最优解不变。 14.583 8 （4） 因为“ 二 +一 100%,根据百分之一百法则，我们不能判定其对偶价格 30-9.189 111.25-15 是否有变化。第4章 线性规划在工商管理中的应用 1.解： 为 了 用 最 少 的 原 材 料 得 到1 0台 锅

10、炉 ， 需 要 混 合 使 用1 4种 下 料 方 案 。 设14种方案下料时得到的原材料根数分别为Xi,龙，册，%i,益，后，X】、总，用，xio, Xu, X 如1 表 4-1 所 表4-1各种下料方式 下料方式 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 640 nun 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 770 mm 0 1 0 0 3 2 2 1 1 1 0 0 0 0 1 650 nun 0 0 1 0 0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 1 440 mm 0 0 0 1 0 0 1 0 1 2 0 1 2 3 min斤=*1

11、+匕+山+嵐+矗+矗+总+小+胸+羽0+山1 +山2+山3+孟1 s. t. 2刃+上+必+儿工80 /2+3於+2掘+2上+心+矗+加2350 匕+益+2冷+川+3川+ 2XJ2 4-屜2420 山+ K+為+2ATIO+XI2+2M3+3AYIM 10 X|, X2. Xs. Xi, -5,必,X.捡,XH, X10, Xiu X12 Xm %1IO 通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解为： 禺二40, x2=0,朋二0, XFO,益二 116.667,益=0,上=0,為=0,胸二0, %io=O, xn=140t x12=0, %u=0, xu=3. 333 最优值为300。 2.

12、解： (1) 将上午11时至下午10时分成11个班次， 设尤表示第/班次新上岗的临时工人数， 建 立如下模型。 min /IGCYI + XQ+M+M+A+A+MO+XI) s. t. 妁+1M9 刃+上+1工9 乂 +才2+心+2豪9 & +才2+汕+山+2豪3 上+必+儿+於+1 $3 汕+山+益+益+2鼻3 山+為+朋+上+1 $6 朋+捡+上+朋+2豪12 后+七+从+為+2$ 12 总+為+呛+山|+1M7 益+川+加(|+加|+1M7 Xi 9 X2,必,XG 益,Ati, 於,朋,XiO, XilO 通过管理运筹学软件，我们可以求得此问题的解如下： %i=8,府=0, x

13、a=l, x 必二0,府0。 最优值为264。 具体安排如下。 在11： 00-12： 00安排8个3小时的班， 在13： 00-14： 00安排1个3小时的班， 在 15： 00-16： 00安排1个3小时的班,在17： 00-18： 00安排4个3小时的班,在18： 00-19： 00安排6个4小时的班。 总成本最小为264元，能比第一问节省320- 264=56元。 3.解： 设xij, xij分别为该工厂第i种产品的第j个月在正常时间和加班时间的生产量；yij 为i种产品在第j月的销售量，ij为第i种产品第j月末的库存量，根据题意，可以建立 如下模型: m“x z =工工Sy-C丙一

14、C；勺一工f 0叱了 Z-l z-1 j.l 仏S W = l,6) st心(心1,5;J = 1,6) 物=畑+列+X_y(i = l,5;j = l,6其中，M；O=O,叫6=&) x/y 0,xr? 0,yr no(j = l,5; J = l,6) % n0(j = l,5; J = l,6) 4解： （1） 设生产A、B、C三种产品的数量分别为屋，出，出，则可建立下面的数学模型。 ma% z=10 & + 12匕+14血 s. t. Xi4-1. 5总+4匕02 000 2山+12上+匕冬1 000 %W200 上 W250 汕 W100 Xi, x2,血鼻0 用管理

15、运筹学软件我们可以求得此问题的解如下：200, ”250,丽100,最优值为6 400。 即在资源数量及市场容量允许的条件下，生产A 200件，B 250件，C 100件，可使生产获 利最多。 （2） A、B、C的市场容量的对偶价格分别为10元，12元，14元。材料、台时的对偶价格 均为0。说明A的市场容量増加一件就可使总利润增加10元，B的市场容量增加一件就可使 总利润增加12元，C的市场容量增加一件就可使总利润增加14元。但增加一千克的材料或 增加一个台时数都不能使总利润增加。如果要开拓市场应当首先开拓C产品的市场，如果要 增加资源，则应在0价位上增加材料数量和机器台时数。 5.解： （1

16、）设白天调查的有孩子的家庭的户数为知，白天调查的无孩子的家庭的户数为加，晚上调 查的有孩子的家庭的户数为场，晚上调查的无孩子的家庭的户数为血，则可建立下面的数学模 型。 min f 二25川+20山2+30屜+24柜 s. t 加| +山2+血+血三2 000 Xn + xi2 =脸 +魁2 川+血三700 山2 +捡2鼻450 X|. X2. 忌 MO 用管理运筹学软件我们可以求得此问題的解如下。 Xw = l00,拓2=300, XI = 0, Xi2= 1 000,最优值为 47 500。 白天调查的有孩子的家庭的户数为700户，白天调查的无孩子的家庭的户数为300户，晚上 调查的有孩子

17、的家庭的户数为0,晚上调查的无孩子的家庭的户数为1 000户，可使总调 查费用最小。 （2） 白天调查的有孩子的家庭的费用在2026元之间，总调查方案不会变化；白天调查的 无孩子的家庭的费用在1925元之间，总调查方案不会变化；晚上调查的有孩子的家庭的 费用在29到正无穷之间，总调查方案不会变化；晚上调查的无孩子的家庭的费用在-2025 元之间，总调查方案不会变化。 （3） 发调查的总户数在1 400到正无穷之间，对偶价格不会变化；有孩子家庭的最少调查 数在0到1 000之间，对偶价格不会变化；无孩子家庭的最少调查数在负无穷到1 300 之间，对偶价格不会变化。 管理运筹学软件求解结果如下：

18、目标函数最优值为：47500 娈里 最优解 相差值 700 0 2 300 0 x3 0 1 x4 1000 0 约束 松弛测余变負对偶价格 1 0 22 2 0 2 3 0 5 4 850 0 目标因数亲数范国: 变里 下限 当前值 上限 20 25 26 x2 19 20 25 x3 29 30 无上限 x4 20 24 25 常數项数范国： 约束 当前值 上限 1400 2000 无上限 600 0 2000 0 700 1000 无下450 130 6. 解： 设空调机、洗衣机的月供应量分别是x,y台，总利润是P,则P=6x+8y,可建立约束条件如 下： 30 x+20yW300； 5

19、x+10yW 110； x$0 yO X,y均为整数。 使用管理运筹学软件可求得，x=4,y=9.最大利润值为9600； 7. 解： 1、该问題的决策目标是公司总的利润最大化，总利润为： 0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3 决策的限制条件： 8x1+ 4x2+ 6x3500 铳床限制条件 4x1+ 3x2 W350 车床限制条件 3x1 + X3W150 磨床限制条件 即总绩效测试(目标函数)为： max z= 0. 5x1+ 0.2x2+ 0. 25x3 2, 本问題的线性规划数学模型 max z= 0. 5x1+ 0.2x2+ 0. 25x3 S. T. 8x1+ 4x2+ 6

20、x3500 4x1+ 3x2 W350 3x1 + x3W150 xl0. x2M0、x3M0 最优解(50, 25, 0),最优值：30元。 3、 若产品1【1最少销售18件，修改后的的数学模型是： max z= 0. 5x1+ 0. 2x2+ 0. 25x3 S. T. 8x1+ 4x2+ 6x3500 4x1+ 3x2 W350 3x1 + x3W150 x3M18 xlO. x2$0、x320 这是一个混合型的线性规划问题。 代入求解模板得结果如下： 最优解(44, 10, 18),最优值:28.5元。 8. 解： 设第i个月签订的合同打算租用丿个月的面积为址则需要建立下面的数学模型：

21、 min 2 800川 + 4 500m+ 6 000加+7 300小 + 2 800血+ 4 500血 + 6 000加 + 2 800 x3I+4 500恋+2 800加 s. t. XHM15 忌+/2&10 加+匕2+匕&20 加+匕3+匕2+山|242 垃po, i、y=l, 2, 3, 4 用管理运筹学软件我们可以求得此问題的解如下。 山】二15,才山二。，忌二0, ALI-0 X2110, X2-0t 血二0,血二20,无炽二。，Xn=12 最优值为159 600,即在一月份租用1 500平方米一个月，在二月份租用1 000平方米一个 月，在三月份租用2 000平

22、方米一个月，四月份租用1 200平方米一个月，可使所付的租借 费最小。 9. 解： 设为每月买进的种子担数，戶为每月卖出的种子担数，则线性规划模型为； Max Z=3. lyi+3. 25y2+2. 95y厂2. 85xi3. 05x2-2. 9x：j s. t. yWlOOO ypWlOOO- yi+ Xi yWlOOO- yi+ Xi-2+ X2 1OOO- y+ xW5000 1000- yi+ Xi- yo+ x25000 xiW (20000+3. 1 yi) / 2. 85 X2W (20000+3.1 y-2. 85x,+3. 25y2) / 3. 05 xW (20000+3.

23、1 y厂285xi+3 25y2-3 05x2+2. 95y：J / 2. 9 1000-yi+x-y2+ X2一yj +x3=2000 (i=l,2t3) 10.解： 设蚤丿表示第八种类型的鸡饲料需要第/种原料的量，可建立下面的数学模型。 max 2=9(加| + 山2 + 山)+7(出1 + 上2+忌!)+8(心| + 必2+血3)一 5. 5(xu +A2I4-X：H) 一 4 (2 + 2 + 禺2)一 5(XH+-23+X33) S. t XHO. 5(X11 + X12+X13) mWO. 2(山1+忌+加) 血鼻0. 3(血+牝+血) 粉W0. 3(血+牝+血) 加鼻0. 5(血

24、+恋+加) 刃1 + 上| + 必1+ X12+血+ 从2+ Xvx + X1X + Xs. 30 屋|+山2+X13W5 旳 + 応2+X23W18 血+也2+知W10 捡启0, /, 7=1, 2, 3 用管理运筹学软件我们可以求得此问題的解如下。 xu=2. 5,忌=1,山3=1.5,血二45, x22=10. 5,脸F0,血二0,山2=5,血=5.最优值为 93. 11解: 设人为第，个月生产的产品I数量，乙为第，个月生产的产品I【数量，Z出分别为第i 个月末产品I、I【库存数，S2,分别为用于第（,+ 1）个月库存的自有及租借的仓库容 积（立方米），则可以建立如下模型。 5 |2 |

25、2 min z 二（5召+8升）+ （4.5齐+7片）+ （片+ S2J 1-1 i-6 r-1 S. t X- 10 足+z- 10 鬼+乙- 10 尤+ZL 10 启+Z- 30 兀+2- 30 启+2- 30 尤+乙- 30 兀+2 30 000二 Z 000 000 000 000 000 000 000 Z z$ Z. Z, Z 尤 100 島+厶一 100 血+厶- 100 J；- 50 000胡 !=26666. 67, x讦10000, x产5333. 33 总成本为1783600美元。 13. 解： (1) 设第，个车间生产第丿种型号产品的数量为应,，可以建立如下数学模型。

26、max z=25 (山】+匕】+ x3l + J4I + .5,) + 2O(x12 + x32 + x42 + x52) + 17(xB 4-x + x43 + .v53) +11 (J14 + x24 + ) s. t +切 +勺1 + 心 +和 W1 400 Xl2 + “2 + *12 + %2 300 x2 + x32 + x42 + x52 W 800 xI3 + x23 + X43 + X53 W 8 000 xl4 + x24 + 心 2 700 5AJ + 7X12 + 6XB + 5XJ4 W 18 000 6切+3勺3+3勺4 W15000 4D+3*32 W14000

27、3X41 + 2X42 + 4X43 + 2X44 W12 000 2X51 + 4X52 + 5X53 W10 000 x庐0,i = 123,4,5 7=1,2,3,4 用管理运筹学软件我们可以求得此问題的解如下。 * 最优 解 如 下 * 目标函数最优值为：279 400 变量 最优解 相差值 XI1 0 11 -21 0 26.4 X3I 1 400 0 xtl 0 16.5 Xsi 0 5. 28 Xl2 0 15.4 X32 800 0 Xi2 0 11 X52 0 10. 56 X13 1 000 0 X23 5 000 0 Xi3 0 8.8 AT53 2 000 0 Xii

28、2 400 0 X21 0 2.2 Xu 6 000 0 即 %：11=1400, x： 山3二1000, 5000 阳2000,小=2400, 曲=6000,其余均为0 到最优值为279 400o (2)对四种产品利润和5个车间的可用生产时间做灵敏度分析; 约束 松弛/剩余变量 对偶价格 1 0 25 2 500 0 3 0 20 4 0 3.8 5 7 700 0 6 0 2.2 7 0 4.4 8 6 000 0 9 0 5.5 10 0 2. 64 目标函数系数围 变量 下限 当前值 上限 无下限 25 36 X2 无下限 25 51.4 知 19. 72 25 无上限 Xi 无下限

29、25 41.5 才51 无下限 25 30. 28 X|2 无下限 20 35.4 血 9. 44 20 无上限 Xt2 无下限 20 31 忌 无下限 20 30. 56 13.2 17 19.2 X23 14.8 17 无上限 XVA 无下限 17 25.8 X53 3.8 17 无上限 X 9. 167 11 14.167 X2 无下限 11 13.2 Xu 6.6 11 无上限 常数项数围: 可以按照以上管理运筹学软件的计算结果自行进行。 14解：设第一个月正常生产加班生产必，库存山；第二个月正常生产匕，加班生产 於，库存必；第三个月正常生产上，加班生产矗，库存呛；第四个月正常生产山。

30、，加班生 产加，可以建立下面的数学模型。 min /=200（%i+才】+益+如）+300（上+恳+届+小）+60（匕+必+呛） s. t 000 xW4 000 上 W4 000 xioW4 000 zWlOOO 為W1 000 用W1 000 上W1 000 jftWl 000 才HWI 000 xWl 000 Aj +x2 -3 =4 500 x3 4-x4 4-A5 -.v6 =3000 x6 4-X7 -A9 =5 500 Xg +.勺 0 4-An =4500 xl.x29x39x49x59x6,x1.xi.x9.xlQ9Xn MO 用管理运筹学软件我们可以求得此问题的解如下。 最

31、优值为f =3 710 000元。 山二4 000吨，匕=500吨，加=0吨，出=4 000吨，於二0吨， AB=1 000吨，益=4 000吨，心=500吨，為=0吨，曲=3500吨，孟产1000吨。 管理运筹学软件求解结果如下: 1 0 1 400 2 900 2 无下限 300 800 3 300 800 2 800 4 7 000 8 000 10 000 5 无下限 700 8 400 6 6 000 18 000 无上限 7 9 000 15 000 18 000 8 8 000 14 000 无上限 9 0 12 000 无上限 10 0 10 000 15 000 约束 下限

32、当前值 上限 xxxxxxxxxxxxxxxxx XX xz 併XXXXXXXXX xx XX XXXJCXJCXXXXXX 目标函數最优值为：3460000 最优斛 相差值 X1 4000 0 x2 500 0 x3 0 120 x4 4000 0 x5 0 60 x6 1000 0 x7 4000 0 x8 500 0 x9 0 160 x10 3500 0 x11 1000 0 约束 松弛糜U余娈里对偶价格 1 0 100 2 0 40 3 0 100 4 500 0 5 1000 0 6 0 0 7 1000 0 8 500 0 9 1000 0 10 500 0 11 200 12

33、-300 13 -240 14 -300 15 200 第5章单纯形法 1解: 表中空 6 e、 f是可行解，f是基本解，f是基本可行解。 2解： (1该线性规划的标准型如下。 max 5 山+9 %+0 s】+0 S2+O s. t. 0. 5乂+加+si=8 山+上S2= 10 0. 25才i + O. 5%2S3=6 Xu Xi, Si, S2, (2) 至少有两个变量的值取零，因为有三个基变量、两个非基变量，非基变量取零。 (3) (4, 6, 0, 0, -2) (4) (0, 10, 2, 0, -I)7 (5) 不是。因为基本可行解要求基变量的值全部非负。 (6) 略 3解： 令

34、x3=x；-x；, f = -z改为求m ax/；将约束条件中的第一个方程左右两边 同时乘以-1,并在第二和第三个方程中分别引入松弛变量氐和剩余变量心，将 原线性规划问题化为如下标准型： 约束条件： max f = 一 3x2 + 2xy + 7x4 4A*| 3AJ + 3.x； + 兀=1 X| + 3xy x； + 天；+ 6些 + 召=18 3州-2X2 一4堪 +43-x6 = 2 XpX2,XpXpX4,X5,X6 0 城、X；不可能在基变量中同时出现，因为单纯性表里面坨、X；相应的列向 量是相同的，只有符号想法而已，这时候选取基向量的时候，同时包含两列会使 选取的基矩阵各列线性相

35、关，不满足条件。 4解: (1) 表5-1 迭代次数 基变量 5 X A*2 些 可 S 与 b 6 30 25 0 0 0 0 Si 0 3 1 0 1 0 0 40 0 0 2 1 0 1 0 50 易 0 2 1 _ 1 0 0 1 20 z.i 0 0 0 0 0 0 6 30 25 0 0 0 （2） 线性规划模型如下。 max 6xi+30上+25 血 s. t. 3才i + +sMO 2-2+X：+S2=50 2山+才2一匕+6=20 x29 Xu S|, S2, S3 $0 （3） 初始解的基为（$,弘初始解为（0, 0, 0, 40, 50, 20）1,对应的目标函数值 为0

36、。 （4） 第一次迭代时，入基变量时北，出基变量为 5解: 迭代 次数 基 量 变 CB X6 b 0 6 6 0 0 0 0 0 10 8 10 1 0 0 0 10 0 4 3 9 0 1 0 0 4 n 0 2 7 6 0 0 -1 1 2 Cj 0 6 6 0 0 0 0 : - : - : - X4 0 17/3 0 8 1 0 1/3 -1/3 28/3 0 -17/ 6 0 4 0 1 5/6 -5/6 7/3 n + i V2 6 7/6 1 1 0 0 -1/6 1/6 1/3 Cj -7 0 0 0 0 1 -1 : : : : 6解： （1） 当现行解为可行解，并且对应的

37、非基变量检验数均小于0时，该线性规划 问题才有唯一最优解，即,0, 60,伦0,他=0, 50, k30且A：4 0,由于变量的非负性条件， 第一个约束方程变为矛盾方程，从而该问题无可行解； 7解: (1) d = 7,b = 0,c = l,6/ = 0,w = 0,/=0,g = l/ = 7； （2）表中给岀的解是最优解。 8解: 最优解为（2.25, 0）1最优值为9。 图5-1 单纯形法如表5-2所示。 表5-2 迭代次数 基变量 CB xi s $2 b 4 1 0 0 0 0 1 3 1 0 7 0 4 2 0 1 9 zi 0 0 0 0 crzi 4 1 0 0 1 s 0

38、0 2.5 1 - 0. 25 4. 75 x 4 1 0.5 0 0. 25 2. 25 zi 4 2 0 1 crzi 0 _ 1 () _ 1 9解： （1） 最优解为（2, 5, 4）：,最优值为84。 （2） 最优解为（0, 0, 4）最优值为-4。 10解： 有无界解。 11 解： （1） 无可行解。 （2） 最优解为（4, 4）1,最优值为28。 （3） 有无界解。 （4） 最优解为（4, 0, 0）最优值为8。 12解： 该线性规划问题的最优解为（5A-1）T 最优值为-12。 第6章 单纯形法的灵敏度分析与对偶 1解: (1) oW24 (2) (3) gW8 2解: (1)

39、 C&-0.5 (2) - 2Wc：W0 (3) gW0.5 3解： (1) 磐250 (2) 0SW50 (3) 0WX150 4解： (1) 方&- 4 (2) 0WX10 (3) b&4 5解: 最优解变为%! = X2 = 0,勺=13,最小值变为-78； 最优解没有变化； 最优解变为E=0，X2 =14, X3 = 29最小值变为-96； 6解： （1） 利润变动围 gW3,故当G=2时最优解不变。 （2） 根据材料的对偶价格为1判断，此做法有利。 （3） 0W&W45。 （4） 最优解不变，故不需要修改生产计划。 （5） 此时生产计划不需要修改， 因

40、为新的产品计算的检验数为-3小于零， 对原生产计划 没有影响。 7.解： （1）设心心,为三种食品的实际产量，则该问题的线性规划模型为最优基矩阵和其逆矩阵分别为: 1 0、 (1 0) B 4 L -4 1丿 max z = 2.5 + 2x2 + 3x3 约束条件：8A,+16X2+10X3350 1 Ox, + 5X2 + 5X3 450 2x +1 3X2 + 5X3 0 解得三种食品产量分别为再=43.75,X2 =X3 =0,这时厂家获利最大为109. 375万 7E o (2)如表中所示，工序1对于的对偶价格为0. 313万元，由题意每增加10工时可 10万元，所以厂家这样做不合算

41、。 以多获利3. 13万元，但是消耗成本为 目标函数最优值为 109 375 变重 最优解 相差值 43.75 0 x2 0 3 x3 0 .125 约束 松弛烦9余变里对偶价恪 1 0 .313 2 12.5 0 3 312.5 0 目标函数系数范 殳里 下限 当前值 上限 2.4 2.5 无上限 x2 无下限 2 5 x3 无下限 3 3.125 约束 下限 当前值 上限 1 0 350 360 2 437.5 450 无上限 3 87.5 400 无上限 11解： (2) B食品的加工工序改良之后，仍不投产B,最大利润不变； 若是考虑生产甲产品，则厂家最大获利变为169.7519万元，其

42、中 X = 14.167 ,x2 =0, x3 = I L x4 = 31.667 ； (4 )若是考虑生产乙产品，则厂家最大获利变为163. 1万元，其中 X = 11,吃=，七=72 = 38 ； 所以建议生产乙产品。 8解: 均为唯一最优解，根据从计算机输出的结果看出，如果松弛或剩余变量为零且对应的对偶价 格也为零，或者存在取值为零的决策变量并且其相差值也为零时，可知此线性规划有无穷多 组解。 9解： (1) min f = 10y】+20比 s. t. 口+尸2豪2 yi+5/21 乃Ml y】，戶20 (2) max 2= 100/+200旳 s. t. 1/2力+4必冬4 2 口+

43、6力 W 4 2/+3必2 10解： (1) min &一 10戸+50乃+20片 s. t. - 2口+3必+力$ 1 一 3/+上 22 一 口+处+乃 =5 71* 720,力没有非负限制。 (2) max 2= 6/一 3乃+2儿 s. t. y-旳一必W1 2戸+戶+户=3 一 3/+2乃一 TJW - 2 yu 720,戶没有非负限制X，)2 max z = 6” + 7儿 + 8儿 + 9儿 +10儿 儿+儿。 力+从1 为+从1 儿+儿幻 儿+儿幻 儿2*3，儿5 原问题求解结果显示: 对偶问题结果显示: - 遢比嶄;川F 用对偶问题求解极大值更简单，因为利用单纯形法计

44、算时省去了人工变量。 12解： (1)该问题的对偶问题为 max f =4y)+12y2 约束条件：3,+22 2ji+3y25 约束 数 0 0 标3 3 2 23 3 4 4 5 5 目s s 上限 当前值 限 B B 6 6 3 3 2 2 7 7 w w 1 1 1 11 11 1 值一 RT 当 u u 6 6 7 7 8 8 9 9 1 1 X1X1X2X2X3X3M M4 4? ? 1 0 x2 0 x3 0 x4 0 宗迪项池范宙 2 22 2 2 2 2 2 2 2 1 12 2 3 3 4 4 5 5 - -6 6 7 7 8 89 91 1 约束条件: 爲优解如下 12

45、3 1 0 4 x2 1 0 约束 松弛剩余娈重 对f禺价格 1 0 0 4 4 0 目标函数系数范国： 变里 下限 当前值 上限 （2）该问题的对偶问题为 min z = 2）、+3y2 +5y3 约束条件：2j -3y2 + y3 1-7y2+6y30 求得求解得min z=24,如下所示： xl x2 x3 常数项数范圉:约束 下限 当前值 上限 思考： 在求解目标函数最优值为；12 变星 最优解 相差值 变星 最优解 相差值 xl 0 11 x2 8 0 x3 0 17 约束 松弛，剩余娈星对偶价格 21 0 0 -3 46 0 目标Hl数最优值为：24 嶷函数系醤: 当前值 上限 常

46、数顷数范围: 4 8 12 无上限 当前值 上限 Dp DpDp Dp 上上 K PR 9 0 12 无上限 无上限 无上限 约束 下限 min f = CX 约束条件：AXb X0 其中：C为非负行向量，列向動中元素的符号没有要求 max z = CX 约束条件：AXb X0 其中：C为非正行向量，列向動中元素的符号没有要求 以上两种线性规划时一般可以选取对偶单纯形法。 13. 解: (1) 错误。原问题存在可行解，则其对偶问题可能存在可行解，也可能无可行 解； (2) 正确； (3) 错误。对偶问题无可行解，则原问题解的情况无法判定，可能无可行解， 可能有可行解，甚至为无界解； (4) 正

47、确； 14. 解： max z = -A - 2X2 - 一 X + 兀2 _ 兀3 + =-4 x+x2+ 2X3 +S2 =8 -x2 + + $3 = _2 xt 2 0J = l,3;巧 = ,3 用对偶单纯形法解如表6-1所示。 表6-1 迭代次数 基变量 5 刁 -V2 s S3 b _ 1 -2 _ 3 0 0 0 0 s 0 -1 1 _ 1 1 0 0 -4 *2 0 1 1 2 0 1 0 8 S3 0 0 _ 1 1 0 0 1 -2 Zi 0 0 0 0 0 0 CJ - ZJ _ 1 -2 _ 3 0 0 0 1 n _ 1 1 _ 1 1 _ 1 0 0 4 0 0

48、 2 1 1 1 0 4 0 0 i-1 1 0 0 1 -2 Zi _ 1 1 _ 1 1 0 0 0 - 3 _ 2 _ 1 0 0 续表 迭代次数 基变量 G x 弓 S2 S3 b _ 1 -2 _ 3 0 0 0 2 _ 1 1 0 0 _ 1 0 _ 1 6 52 0 0 0 3 1 1 2 0 -v2 _ 2 0 1 _ 1 0 0 _ 1 2 zi _ 1 -2 2 1 0 3 CJ - ZJ 0 () 一 5 _ 1 0 _ 3 最优解为x)=6, X2=2, X3=0,目标函数最优值为10。 15. 解：原问题约束条件可以表示为：AX=b+ia,其中和b为常数列向量。 令r

49、 = O,将问题化为标准型之后求解，过程如下： 翳 12 X3 X4 15 b 基突 CB 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 5 0 0 1 1 0 I 0 10 10/1 * 0 o n 1 1 ofl 0 11 3/1 2J 0 0 o 0 0 0 Cj-Zj 2 0 0 0 1 X3 1 7 o 】 0 5 5/1 Xl 0 i 0 0 I -) 7 7/1 XZ 2 1 o 0 1 3 2j 0 2 0 0 2 6 Cj-2j 1 0 0 0 2 2 KI I 1 0 1 0 0 S K4 0 0 0 -1 I -1 2 X2 2 0 1 0 0 1 3 Zj 1 z 1 0 Z

50、 11 Cj-Zj 0 0 -1 0 -2 其中最优基矩阵的逆矩阵为 1 0 0 沪=-1 1 -1 则 (1 0 0、 ) (5、 Bl*b = -1 1 -1 10 2 10 0 1 3 3 0 0、 t 1 t、 Bx*ta = -1 1 -1 _/ =t -3 = -3t 、0 0 t) 0, 2-3r0, 3+/0,线性规划问题的最优解为（心厂）= （5+f,3 + f）, 目标函数最大值为11 + 3/； 3 7 2）当-r0 , -2+3/0 , 3+/0,从而线性规划问题的最优解为 （州,七）=（7-2/,3 + /）,目标函数的最大值为13； 3）当|10时，由7力0, 5+

51、/0 , 10-/0 T从而线性规划问题的最优解为 (xhx2) = (OJO-r),目标函数的最大值为20-2/； 16解：先写出原问题的对偶问题 min f = 20” + 20y2 约束条件：+42 2 (1) 2+32 2 3开+2)，2巴1 0) 4片 + y2 1 (4) 1 3 将y严丄=二代入对偶问题的约束条件，得有且只有(2). (4)式等式成立， 105 也就是说，其对应的松弛变量取值均为0, (1)和(3)式对应的松弛变量不为0, 从而由互补松弛定理有召=心=0；又因为”020,从而原问题中的两个约 束应该取等式，把=心=0代入其中，得到 2X2 + 4X4 = 20 3

52、X2 + x4 = 20 解方程组得到X2=6,X4=2O 经验证坷=0*2 =6,=0,兀=2满足原问题约束条件，从而其为原问题的最优解, 对应的目标函数最大值为14； 第7章运输问题 1解： 表7-37可以； 表7-38不可以， 因为在满足产销要求的情况下， 表中要求有且仅有6个数字; 表7-39不可以，因为产地2到销地2无检验数。 2解： 配送量如下所示: 分公司1 分公司2 分公司3 分公司4 供应商1 300 0 0 00 供应商2 0 0 200 0 供应商3 0 300 () 0 3解： 由最小元素法求得初始解如下 1 2 3 产量 1 10 100 110 2 30 110 1

53、40 3 50 50 销量 90 10() 110 求得检验数如下所示: 4 4 1 5 所以，初始解即为最优解。 4解： (1)此问题为产销平衡问题。 表7-1 甲 乙 丙 丁 产量 1分厂 21 17 23 25 300 2分厂 10 15 30 19 400 3分厂 23 21 20 22 500 销量 400 , 250 350 200 1 200 最优解如下 * 起 发点 至销点 1 2 3 4 1 0 250 0 50 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输问题的成本或收益为： 19 800o 此问题的另外的解如下。 起 至销点 发点 1 2 3 4 1 0 2

54、50 50 0 2 400 0 0 0 3 0 0 300 200 此运输问题的成本或收益为： 19 800o （2）如果2分厂产量提高到600,则为产销不平衡问题。 最优解如下 * 起 至销点 发点 1234 1 0 250 0 0 2 400 0 0 200 3 0 0 350 0 此运输问题的成本或收益为：19 050。 注释：总供应量多出总需求量 200； 第1产地的剩余50； 第3个产地剩余150o （3）销地甲的需求提高后，也变为产销不平衡问题。 最优解如下 * 起 发点 至 1 销点 2 3 4 1 50 250 0 0 2 400 0 0 0 3 0 0 350 150 此运输

55、问题的成本或收益为：19 600。 注释：总需求量多出总供应量150； 第1个销地未被满足，缺少100； 第4个销地未被满足，缺少50； 5解： 仓库1存入40万，空10万。总运费为1140万元。 最有运输方案如下： 仓库1 仓库2 仓库3 加工点1 10 0 40 加工点2 20 0 0 加工点3 10 30 0 加工点4 () 6() （） 6解： 总运费最少为1586万元。 最优调运方案如下所示 甲 乙 丙 A 10 30 0 B 22 28 7解: 首先，计算本题的利润模型，如表7-2所示。 表7-2 I r II ir III IV V VI 甲 0.3 0.3 0.4 0.4 0.

56、3 0.4 0. 1 0.9 乙 0.3 0.3 0. 1 0. 1 -0.4 0.2 -0.2 0.6 丙 0. 05 0. 05 0. 05 0. 05 0. 15 0. 05 - 0. 05 0. 55 -0.2 -0.2 0.3 0.3 0. 1 一 0. 1 一 0. 1 0. 1 由于目标函数是amax将目标函数变为“min”则以上利润模型变为以下模型。 表7-3 I r II ir III IV V VI 甲 - 0. 3 - 0. 3 一 0.4 一 0.4 - 0. 3 -0.4 - 0. 1 -0.9 乙 - 0. 3 - 0. 3 - 0. 1 - 0. 1 0. 4 -

57、0.2 0.2 -0.6 丙 -0. 05 - 0. 05 -0. 05 - 0. 05 -0. 15 - 0. 05 0. 05 -0. 55 丁 0.2 0.2 0. 3 一 0. 3 一 0. 1 0. 1 0. 1 -0. 1 由于管理运筹学软件中要求所输入的数值必须为非负，则将上表中的所有数值均加上1,因 此表7-3就变为以下模型。 表7-4 I r II II， III IV V VI 甲 0. 7 0.7 0.6 0.6 0.7 0.6 0.9 0. 1 乙 0. 7 0.7 0.9 0.9 1.4 0.8 1.2 0.4 丙 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0.

58、 85 0. 95 1.05 0. 45 丁 1.2 1.2 0.7 0.7 0.9 1. 1 1. 1 0.9 加入产销量变为运输模型如下。 表7-5 I r II III IV V VI 产量 0. 7 0.7 0.6 0.6 0.7 0.6 0.9 0. 1 300 乙 0. 7 0.7 0.9 0.9 1.4 0.8 1.2 0.4 500 丙 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 85 0. 95 1.05 0.45 400 丁 1.2 1.2 0.7 0. 7 0.9 1. 1 1. 1 0.9 100 销量 150 150 150 100 350 200 250

59、150 由于以上模型销量大于产量所以加入一个虚拟产地戊，产量为200,模型如表7-6所示。 表7-6 I r II ir III IV V VI 产量 甲 0.7 0.7 0.6 0.6 0. 7 0.6 0.9 0. 1 300 乙 0.7 0.7 0.9 0.9 1.4 0.8 1.2 0. 1 500 丙 0. 95 0. 95 0. 95 0. 95 0. 85 0. 95 1.05 0. 45 400 丁 1.2 1.2 0.7 0.7 0.9 1. 1 1. 1 0.9 100 戊 0 1 0 0 0 M 0 200 销量 150 150 150 100 350 200 250 1

60、50 1 500 用管理运筹学软件计算得出结果如图7-1所示。 图7-1 由于计算过程中将表中的所有数值均加上1,因此应将这部分加上的值去掉， 所以 935- 1300 x1=-365,又因为最初将目标函数变为了 “min,因此此利润问题的结果为365。 8解: 建立的运输模型如表7-7。 表7-7 1 2 3 0 60 120 180 2 1 600 600-60 600-60X2 3 r 600+600X10% 600+600 X10%+60 600+600 XI 05)X2 3 2 M 700 700+60 4 2， M 700+700X10% 700+700X10% 十 60 2 3 M M 650 2 3， M M 650-650X10% 3 5 .5