全等三角形的经典模型一

1、C453全等三角形的 经典模型（一）题型一：等腰直角三角形模型等腰直角三角形数学模型思路:思路导航上爆利用特殊边特殊角证题（AC=BC或90。，45 , 45 ）.如图1 ；常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2;补全为正形.如图3,4.BD三角形8级全等三角形的经典模型三角形9级三角形7级 倍长中线与截长补短知识互联网；A452LAB满分晋级曼_漫画释义作弊?图1【例1】已知：如图所示，RtAABC中，AB=AC, BAC 90。，。为写出点。到4ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不求证明）如果点M、N分别在线段AC、AB上移动，且在移动中保AN = CM.试判断OMN的

2、形状，并证明你的结论如果点M、N分别在线段CA、AB的延长线上移动，且在移动中保持AN = CM,试判断中结论是否依然成立，如果是请给出证明.【解析】（1）OA=OB=OC连接OA,.OA=OC BAO C 45 AN=CM.ANOACMO .ON = OMNOA MOCNOA BON MOC BON 90NOM 90.OMN是等腰直角三角形AONM依然为等腰直角三角形，NM A证明：. /BAC=90°, AB=AC,。为 BC 中点. / BAO=/ OAC=/ ABC=Z ACB=45° , .AO=BO=OC,vftAANO 和ACMO 中，.ANOACMO (SA

3、S) ON = OM , / AON=/ COM ,又/COM /AOM=90°,【例2】如的【解析】【例3】【解析】 .OMN为等腰直角三角形.两个全等的含30o , 60°角的三角板ADE和三角板ABC ,图所示放置,E,A,C三点在一条直线上，连接BD ,取BD中点M ,连接ME , MC .试判断4EMC的形状，并说明理由. EMC是等腰直角三角形.证明：连接AM .由题意，得. DAB为等腰直角三角形.: DM MB,. MA MB DM , MDA MAB 45° .MDE MAC 105° ,AEDM W ACAM . EM MC, DME

4、 AMC .又 EMC EMA AMC EMA DME 90° . CM EM ,AEMC是等腰直角三角形.已知：如图， 4ABC中，AB AC , BAC 90°, D是AC的中 点，AF BD于E ,交BC于F ,连接DF .求证： ADB CDF .证法一：如图，过点 A作AN BC于N,交BD于M.: AB AC , BAC 90° ,3 DAM 45BAE 90 °BAC 90 °BAE 90 ° .在 ABM和ACAF中,二 AABMAM CF .在 ADM二 ADMftACDF 中, 0CDF .ADB证法二：如图,作C

5、MAC交AF的延长线于MBAC2 90° 3.在 ACM和 BAD中, . AACM BAD .M ADB, AD CMAD DC , - CM CD .在ACMF和ACDF中,. ACMF ACDF .M CDF. ADB CDF .【例4】 如图，等腰直角 ABC中，ACACB 90°P为ABC内部一点，满足PB PC , AP求证:BCPAC ,【解析】补全正方形ACBD ,易证AADPC是等边三角形，DAP连接DP,60BAP 15 , PAC 30ACP 75 ,BCP 15 .【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型在解有关等腰直角三角形中的一些问题

6、，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。例4 为求角度的应用，其他应用探究如下：【探究一】证角等【备选1】如图，RtAABC中，/BAC=90° ,AB=AC, M为AC中点，连结BM,作ADBM 交BC于点D,连结DM,求证：/AMB=/CMD.【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰 RtABFC,延长AD交CF于点N,. AN1BM,由正方形的性质，可得 AN = BM,易证 RtzXABM WRtCAN, . / AMB=/ CND, CN=AM,. M 为 AC 中

7、点，.,.CM=CN,./1=/2 ,可证得CMDCND, ./CND=/ CMD, ./AMB=/ CMD.【探究二】判定三角形形状【备选 2】如图，RtA ABC 中，/BAC= 90° ,AB=AC, AD=CE, AN，BD 于点 M ,延 长BD交NE的延长线于点F,试判定 DEF的形状.【解析】 作等腰RtABC关于BC对称的等腰 RtABHC, 可知四边形ABHC为正方形，延长 AN交HC于点K,vAK±BD,可知 AK=BD,易证：Rt AABDRtzXCAK, ./ADB=/ CKN, CK=AD,.AD=EC, .CK=CE,易证CKNWACEN, ./

8、CKN=/CEN,易证/EDF=/DEF,.DEF为等腰三角形.【探究三】利用等积变形求面积【备选 3】如图，RtAABC 中，/A=90° ,AB=AC, D 为 BC上一点，DE/AC, DF/AB,且BE=4, CF=3 ,求S矩形DFAE【解析】 作等腰RtABC关于BC的对称的等腰 RtAGCB,可知四边形ABGC为正方形，分别延长FD、ED交BG、CG于点N、M,可知 DN=EB=4， DM=FC=3，由正方形对称性质，可知 S 矩形 DFAE= S 矩形 DMGN= DM DN=3 4=12 .【探究四】求线段长【备选 4】如图，4ABC 中，ADLBC于点 D, /

9、BAC=45° , BD=3, CD=2 ,求 AD 的长【分析】 此题若用面积公式结合勾股定理再列方程组求解是可以的，但解法太繁琐，本题尽管已知条件不是等腰直角三角形， 但./ BAC=45° ,若分别以AB、AC为 对称轴作RtADB的对称直角三角形和RtzXADC的对称直角三角形，这样就出现两边相等且夹角为90°的图形，满足等腰直角三角形的条件，然后再引辅助线使之转化为正方形【解析】 以AB为轴作RtAADB的对称的RtAAEB,再以AC为轴作RtAADC的对称的 RtAAFC.可知BE= BD=3， FC= CD=2，延长 ER FC交点 G, / BAC

10、=45° ,由对称性，可得 /EAF=90°,且AE=AD = AF,易证四边形AFGE为正方形，且边长等于 AD,设AD=x, WJ BG=x-3, CG=x 2,在RtzXBCG中，由勾股定理，得 x 2 2 x 3 2 52,解得x=6 ,即AD=6 .【探究五】求最小值【备选5】如图，RtzXABC中，/ACB=90° ,AC=BC=4, M为AC的中点，P为斜边AB上的动点，求PM+PC的最小化【解析】将原图形通过引辅助线化归为正方形，即作RtzXACB关于AB对称的RtAADB, 可知四边形ACBD为正方形，连接CD,可知点C关于AB的对称点D,连接

11、MD交AB于点P,连接CP,则PM+PC的值为最小，最小值为：PM+PC=DM二 &2222强.题型二：三垂直模型思路导航T喇常见三垂直模型例题精讲已知 ABXBD, ED± BD, AB=CD, BC=DE,求证：ACXCE；若将ACDE沿CB方向平移得到等不同情形，AB GD ,其余条件不变，试判断AC LGE这一结论是否成立？若成立， 给予证明；若不成立，请说明理由.ABC D2【解析】(l) .ABJBD, EDJBDft ABC 与 CDE 中. ABCA CDE (SAS).1 E; 2 E 90 ACE 90，即 AC ICE图四种情形中，结论永远成立，证明方法

12、与完全类似，只要证明 ABCA C1DEACB G EDC1EDDC1E 90 /. DC1E ACB 90. ACJCiE【例5】 正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0, 10 , 8,4 ,点C在第一象限.求 正方形边长及顶点C的坐标.（计算应用：在直角三角形中，两条直角边的平方13 9023 90AEB BFC 90. .AE® ABFC .CF=BE=8, BF=AE=6 CG=12 EF=14C(14, 12),正方形的边长为10【点评】例6【解析】【例7】此题中三垂直模型：K /如图所示，在直角梯形 ABCD中，ABCAB BC , E 是 AB 的中点，CE BD

13、.(1)求证：BE AD ； 求证：AC是线段ED的垂直平分线；4DBC是等腰三角形吗？请说明理由.AD / BC , : ABC 90 , BD EC ,ECB DBC 90 , ABD DBC 90 , ECB ABD ,: ABC DAB 90 , AB BC ,ABADACBE , AD BE .E 是 AB 中点，EB EA由得：AD BE , . AE AD: AD / BC , /. CAD ACB 45 ,BAC 45 , BAC DAC由等腰三角形的性质，得：EM MD , AM DE即AC是线段ED的垂直平分线.4DBC是等腰三角形， CD BD由得：CD CE ,由得：C

14、E BD. CD BD ,ADBC是等腰三角形.如图1, 4ABC是等边三角形，D、E分别是AB、BC上的点，且BD=CE,连 接AE、CD相交于点P.请你补全图形，并直接写出/APD的度数=；如图2, RtzXABC中，/B=90° ,M、N分别是AB、BC上的点，且AM = BC、BM = CN,连接AN、CM相交于点P.请你猜想/APM=。，并写出 你的推理过程.(2013平谷一模)图略，600(2)45°证明：作 AELAB 且 AE CN BM .可证4EAM,MBC ME MCAMEBCM .CMB MCB 90 , CMB AME 90 .EMC 90 . E

15、MC是等腰直角三角形，MCE 45.XAAEC ACAN (SAS)ECANAC.EC/ AN.APM ECM 45 .思维拓展训练（选*!已知：如图， ABC中，AC=BC,，、，一1，、长线于E,并且AE 3BD,求证:ACB 90 ， D 是 AC 上一点, BD平分 ABC.AEXBD的延【解析】. AFCABDC (ASA)AF=BD一 1又. AE 1BD21. .AE 1AF EF2.BE是AF的中垂线；BA=BF . BD平分 ABC训练2. 已知，在正方形 ABCD中，E在BD上，DGLCE于G, DG交AC于F.求证:OE=OF【解析】:ABCD是正方形 .OD=OCDOC

16、 90VDGXCE DGC 90DOC DGC : OFD GFCODF ECO在zXDOF 和 ACOE中,.-.DOFACOE (ASA) .OE=OF训练3.【解析】D是BC的中点，AF BE于G .求已知：如图，ABC 中，AB AC , BAC 90° ,证：DH DF: AB AC , BAC 90。，D 是 BC 的中点 .AD=BD=CD , ADXBC 二 ADB 90: AF BEAGH 90DBE DAF 在4BDH 和 AADF 中，,.BDHAADF (ASA)DH=DF训练4.如图，已知矩形 ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF±

17、 EC,且EF=EC, DE=4cm,矩形ABCD的周长为32cm,求AE的长.【解析】 在 RtAAEFffi RtADEC 中， ; EF± CE,/ FEC=90° , / AEF+Z DEC=90° ,而 / ECC+Z DEC=90° , 丁. / AEF=Z ECD.又 / FAE=/ EDC=90° . EF=EC .RtAAEF RtADCE. .AE=CD. .AD=AE+4.矩形ABCD的周长为32 cm, .2 (AE+AE+4) =32.解得 AE=6 cm .题型一等腰直角三角形模型巩固练习【练习1】如图，zACB、z

18、ECD均为等腰直角三角形，则图中与 BDC全等的三角形 为.【解析】4AEC【练习2】 如图，已知 RtABC中 ACB 90。，AC BC , D是BC的中点，CE AD ,垂足为E . BF / AC ,交CE的延长线于点 F .求证：AC 2BF .【解析】: ACB 90° , BF / AC ,. ACD CBF 90° ,ADC CAD 90° . CE AD ,. FCB ADC 90° ,. CAD FCB .又AC CB ,. ADC ACFB . .DC FB .D是BC的中点，. BC 2BF ,即 AC 2BF .题型二三垂直模型

19、 巩固练习【练习3】 已知：如图，四边形ABCD是矩形（AD>AB），点E在BC上，且AE =AD, DF± AE,垂足为F.请探求DF与AB有何数量关系？写出你所得到的结论 并给予证明.【解析】 经探求，结论是：DF = AB.证明如下：二.四边形ABCD是矩形，/B= 90o , AD / BC,丁. /DAF= /AEB.v DFXAE,. /AFD =90°,V AE = AD ,AABEADFA .AB = DF.【练习4】如图， ABC中，AC BC , BCA 90°, D是AB上任意一点，AE CD交CD延长线于E , BF CD于F .求证

20、：EF BF AE .【解析】 根据条件，ACE、 CBF都与 BCF互余，. ACE CBF .在AACE和ACBF中，AC CB , AEC CFB 90° , ACE CBF .贝CE BF , AE CF ,. EF CE CF BF AE .【练习5】四边形ABCD是正方形.如图1,点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG,作BF±AG 于点 F, DE± AG 于点 E.求证：zABF ADAE;在中，线段EF与AF、BF的等量关系是 （直接写出结论即 可，不需要证明）；如图2,点G是CD边上任意一点（不与C、D两点重合），连接AG,作BF±AG 于点F, DE±AG于点E.那么图中全等三角形是 ,线段EF与 AF、BF的等量关系是 （直接写出结论