八年级数学下册16.1二次根式导学案

1、16. 1 二次根式第一课时教学目标1 . 了解二次根式的概念和应用.2 .理解乖(a>0)是一个非负数.教学重难点重点：二次根式的概念及其基本性质.难点：二次根式中字母a的意义的认识.教学过程(教学案)二情境引入【问题1】某造船厂中一个机器零件的设计图纸如右图所示，其中OA A Bk CA 1 , / OA氏/ OBG= / OCD= 90 ° ,请同学们填空：图中，OB=,OG=,OD=，其中的无理数是.学生活动：学生独自练习后，交流讨论.教师给出答案：OB= 2, OO乖,OD= 2.其中的无理数是 J2,小.【问题2】 请同学们阅读教材 P2 “思考”栏目并填空，小组交

2、流讨论后，回答下面两个问题：(1)所填的结果有什么特点？(2)平方根的性质是什么？什么是算术平方根？这就是我们这节课所要学习的内容.、互动新授上面的问题的结果分别是 后 乖 标，3,它们表示一些正数的算术平方根.我们知道，一个正数有两个平方根；。的平方根为0;在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0.一般地，我们把形如 qa(a>0)的式子叫做二次根式，“ 1”称为二次根号.【例1】当x是怎样的实数时，qx=2在实数范围内有意义？【解】由x 2> 0,得x> 2.当x>2时，市二2在实数范围内有意义.【问题3】抢答下列各题：(1)

3、0的算术平方根是多少？(0)(2)当a<0时，、口有意义吗?(没有意义)(3)点4有意义，则x的取值范围是 . (x >4)(4) &有意义，则x的取值范围是 . (x是一切实数)(5)占有意义，则x的取值范围是 . (x >0)三、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了：1.二次根式的概念.2.二次根式 a有意义的条件：a>0.四、板书设计第十六章二次根式16. 1 二次根式第一课时1 .二次根式的概念：形如 <a(si> 0)的式子叫做二次根式，记为“厂 称为二次根式.2 .二次根式 5有意义的条件：a为非负数.五、教学反思本节

4、课以学生已有的知识为切入点，从有趣的实际问题出发， 创设教学情境，引导学生从不同的式子中探寻规律，有利于学生主动地进行观察、猜测、交流，在独立思考和相互探讨的基础上，归纳得出二次根式的概念，并学会用简洁的数学符号来表示二次根式.通过教师例题讲解及学生练习，进一步强调二次根式出有意义的条件，突破本节课知识的重难点.本节课教学设计重视，让学生主动参与学习，成为学习的主人.教师在引导、帮助学生 解决困难的过程中， 通过师生互动，可及时查漏补缺，突显学生易错点，以便今后调整教学 方法.导学万案、学法点津本节课是学习数的开方后的第一节课.学生学习数的开方后将有理数拓展到实数，通过本节课的学习又将有理式拓

5、展到代数式.通过对一组代数式的观察，联想数的开方的有关知识，引出二次根式的概念. 学好本节知识的关键是， 明确判断二次根式的标准是根指数是否 为2,被开方数是否为非负数.应用二次根式的定义时，要注意二次根式有意义的条件.二、学点归纳总结1 .知识要点总结(1)概念：形如ya(a >。)的式子叫做二次根式.2 .规律方法总结(1)二次根式概念有两个要点： (1)从形式上看，二次根式必须含二次根号“；(2)被开方数可以是数，也可以是代数式.若 a是数，则这个数一定是非负数；若 a是代数 式，则这个代数式是非负的，否则 a没有意义.(2)在确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围时，由二次根式

6、的定义可以知道，被开方数一定是大于或等于零的数，若被开方数是负数， 则该式不能称为二次根式.特别是当被开方数中含有字母时，一定要考虑字母的取值范围.一般情况下，可以根据二次根式的 定义将其转化为解不等式的问题.第一课时作业设计一、选择题1 .在函数y = x3中，自变量x的取值范围是().A. x>- 3B . x<- 3C , x>3D . x< 32 .若，口在实数范围内有意义，则二次本式所表示的最小实数是().A. 0B . 2C.，2D .不存在3 .当a=3时，在实数范围内无意义的式子是().A+B. .a1C. 5-23D. V?二、填空题4 .如果mjvm

7、- n是二次根式，那么 m, n应满足的条件是 .5 .已知实数 x, y 满足 y=<21x +4x12 +5, 则y的值为.x6 .已知 >/a+2 +|b1| = 0,则(a+ b)2014 的值为.三、解答题7 .下列各式：(1)叵；乖；(3) a2+1; (4) 3/x2-1; (5) /-x2-1; (6)寸ab(a>b) ; (7)/(x w0).其中属于二次根式的有哪些？8.若二次根式 431a与“21的值互为相反数，求 2x+3a1的值.1.C 2.A 3.C5 -一、4.m> 2, n= 2 5. 2 6.1三、7.(2)(3)(6)一，-3,3 a

8、= 0,a =3, 八8.解：由题意，得x2 _0 解得x_+所以2x+3a1 = 10或6.第二课时教学目标1 .理解并掌握二次根式的性质，正确区分(g)2=a(a>0)与yO2 = a(a>0),并利用它进行计算和化简.2 .由具体的正数和零入手，研究二次根式的性质，让学生从具体到抽象自主探究得到 二次根式的性质，进一步增强学生自主参与的意识.教学重难点重点：掌握(qa)2=a(a>0) , qa2 = a(a>0)及其应用.难点：引导学生自主探究推导出(、，a)2>0(a> 0), ya2=a(a>0).教学过程(教学案)一、情境引入【探究1根据

9、算术平方根的意义填空：(#)2=；(5)2= ；(，3)2= ；(m)2= 提出问题：从以上等式中，你能得到什么结论？【探究2】填空：乖=; 10.1 2 =;of(? =提出问题：从以上等式中，你能得到什么结论？'二、互动新授学生通过计算填空的实践，观察各个具体的等式，自主探究，可小组相互交流、讨论， 从具体到抽象，回答教师提出的问题.师生共同完成探究1:、是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，、/4是一个平方等于4的非负数.因此有(4)2=4.同理，啦，啦分别是2, 3，0的算术平方根，因此有(也)2=2,(g2 = ；， (0)2=0.一般地，(3)2 = a(a > 0

10、) .【例2】计算：(1)( .1.5)2；(2)(25)2.【解】(1)( 亚5) 2=1.5；(2)(2 乖)2= 22X(m)2=4 X 5= 20.说明：例2(2)用到(ab) 2=a2b2这个结论.师生共同完成探究 2：通过前面的学习，我们较容易得到： 炉 =2, VqT2=0.1 ,/、222（3）=3，40 = 0. 331一般地，根据算术平方根的意义，声=a（a > 0）.【例3】化简：（1） 56；（2） T） 2.【解】（1） y/1=4023 = a（a > 0）是对非负数先进行开平方运（2） y（ 5）2=彼=5.教师可引导学生思考两个结论的不同之处：算，再

11、进行平方运算；F=a（a>0）则相反，是先进行平方运算，再进行开平方运算，非负数开平方运算和平方运算是一对逆运算.而与（木）2既有区别又有联系.在声与（、也）2两个式子中，前者表示a2的算术平方根， 因为任何数的平方都是非负数，所以无论 a为任何数，而总有意义且 声 = |a| ,而（,）2 表示a的算术平方根的平方，只有当a>0时，（m）2才有意义，且此时 4孑=（、八）2.s 3教师指出：回顾我们学过的式子，如 5, a, a+b, - ab, - , - x ,小，-/a（a >0）, 它们都是用基本运算符号 （基本运算包括加、减、乘、 除、乘方和开方）把数或表示数的字

12、母 连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.、课堂小结通过本节课的学习，你有什么收获？本节课主要学习了：1.依据算术平方根的意义得到以下结论：（啊 =a（a >0）;声=，一 ca （a>0）,a（a > 0）;在不知a为非负数的情况下，必须分类讨论：，孑=|a| =*- a （a<0）.2 .代数式的概念.四、板书设计16. 1 二次根式第二课时二次根式的性质：1. (Va)2=a(a> 0)2. a2= a(a> 0)l a (a>0)3. a2= |aa (a<0)五、教学反思本节课教学设计主要是让学生经过实践获得感性知识，从具体的等式中

13、，经过探究、猜想，完成从具体到抽象，从特殊到一般的探究过程，观察归纳出两个二次根式的重要性质： （/a）2=a（a>0） , /a2=a（a>0）,并用以化简、计算.为了拓展学生的视野，引入分类讨r_2a（a>0）,论：段=| a| =培养学生主动参与学习， 掌握从特殊到一般的数学思想和方法，a （a<0）.进一步提高学生的学习能力，全面发展学生独力学习的品质.在教学中，学生易将道与(，a)2混为一种情况.这些难点、易混点教师要通过强化训练，加以巩固.导学万案一、学法点津学生可以对比数的开方， 理解二次根式的非负性， 当a>0时，ya表示a的算术平方根， 所以ya

14、是非负数，即对于式子qa来说，不仅a>。且，a>。，可以说ga具有双重非负性.当 a为一切实数时， 声都有意义；当a>0时，声才有意义.根据(、/a)2=a(a>0),可以对 二次根式进行化简与计算，但需要注意此公式成立的限制条件是a> 0.二、学点归纳总结1 .知识要点总结(1)(洞2=a (a>0).(2)02= a.( a> 0) , als=- a(a<0).2 .规律方法总结)(1)比较二次根式的性质，可知(4)2中a的取值有限制条件 a>0,声中a的取值没有限制条件，即取任意实数.a2都有意义.(2)禾1J用二次根式的性质 4?

15、=|司化简时，关键要先判断 a的正负情况，再根据 a的 正负性去掉绝对值符号.(3)若已知的被开方数为含有字母的二次根式，则隐含着被开方数大于或等于零的条 件，由此可将问题转化为解方程或解不等式，从而确定其字母的取值范围.第二课时作业设计、选择题1 .当a=5时，式子a-1-2a+a2的值是().A. - 1B.1C.9D.112 .若 x<0, y<0,则(y/x) 2(6)2 的值是().A. x-yB . -x-yC.x + y3 . 7 (3a-2) 2 =23a成立，则a的取值范围是().A. a>|B . a>|C . a<|3 33二、填空题4 .若 jx2 = 5,则 x=.5 .若一1vxv8,贝U 山2+ 2x+ 1 +>x2 16x+ 64 =.6 .若416 a是整数,则非负整数 a