福建省某知名学校高三数学下学期5月适应性考试最后压轴模拟试题 理含解析

1、厦门外国语学校2018届高三适应性考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数的共轭复数为，满足，则复数（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由题意求得，然后根据求得，进而可得【详解】根据题意可得，所以，解得，所以复数故选d【点睛】本题考查共轭复数的概念和复数模的运算，考查运算能力，属于基础题2.设集合，集合，则等于 ( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】先求出集合a和集合b，由此能求出ab【详解】集合a=y|y=log2x，0x4=y|y2，集合b=x|ex1=x|x0，a

2、b=x|0x2=（0，2故选：b【点睛】求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解;在进行集合的运算时要尽可能地借助venn图和数轴使抽象问题直观化一般地，集合元素离散时用venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍3.已知命题在中，若，则；命题，.则下列命题为真命题的是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：命题在中，根据正弦函数的性质可判断命题为真命题；时，结论不成立，故为假命题，逐一判断四个选项中的命题即可.详解：命题在中，若，则，故为真命题；命题，当时，不成立，故为假命题，故选b.点睛：本题通过判断或命题、且命题以及非命题的

3、真假，综合考查函数的正弦函数的性质以及不等式恒成立问题，属于中档题. 解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”.4.已知公差不为0的等差数列满足 ，为数列的前项和，则的值为（ ）a. b. c. 2 d. 3【答案】c【解析】【分析】公差d0的等差数列an满足a32=a1a4，可得=a1（a1+3d），化为：a1=4d代入=，化简即可得出【详解】公差d0的等差数列an满足a32=a1a4，=a1（a1+3d），化为：a1=4d则=2故选：c【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是

4、利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确；二是利用等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.5.我国成功申办2022年第24届冬季奥林匹克运动会，届时冬奥会的高山速降运动将给我们以速度与激情的完美展现，某选手的速度服从正态分布，若在内的概率为，则他速度超过的概率为 （ ）a. 0.05 b. 0.1 c. 0.15 d. 0.2 【答案】c【解析】【分析】根据正态分布的定义，可以求出p（80

5、或120）的概率，除以2得答案【详解】由题意可得，=100，且p（80120）=0.7，则p（80或120）=1p（80120）=10.7=0.3p（120）=p（80或120）=0.15则他速度超过120的概率为0.15故选：c【点睛】关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记p(<x)，p(2<x2)，p(3<x3)的值充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.6.已知，则 ( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由已知求得sincos的值，再由二倍角的余弦及诱导公式求解的值【详解】由，得，即，sincos=，=故选：c【点睛】本题考查三角函数的化

6、简求值，考查了同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用，是基础题7.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的，则一开始输入的的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】分析：由题意结合流程图计算经过循环之后的结果得到关于x的方程，解方程即可求得最终结果.详解：结合题意运行程序如图所示：首先初始化数据：输入的值，第一次循环：，此时不满足；第二次循环：，此时不满足；第三次循环：，此时不满足；第四次循环：，此时满足，跳出循环；由题意可得：，解方程可得输入值

7、为：.本题选择b选项.点睛：识别、运行程序框图和完善程序框图的思路(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构(2)要识别、运行程序框图，理解框图所解决的实际问题(3)按照题目的要求完成解答并验证8.已知实数满足，若只在点（4，3）处取得最大值，则的取值范围是( )a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由约束条件作出可行域，然后对a进行分类，当a0时显然满足题意，当a0时，化目标函数为直线方程斜截式，比较其斜率与直线bc的斜率的大小得到a的范围【详解】由不等式组作可行域如图，联立，解得c（4，3）当a=0时，目标函数化为z=x，由图可知，可行解（4，3）使z=xay取得最大值

8、，符合题意；当a0时，由z=xay，得y=x，此直线斜率大于0，当在y轴上截距最大时z最大，可行解（4，3）为使目标函数z=xay的最优解，a1符合题意；当a0时，由z=xay，得y=x，此直线斜率为负值，要使可行解（4，3）为使目标函数z=xay取得最大值的唯一的最优解，则0，即a0综上，实数a的取值范围是（，1）故选：d【点睛】本题考查的是线性规划问题，解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端

9、点或边界上取得.9.将函数的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数的图象，且的图象与直线相邻两个交点的距离为，若对任意恒成立，则的取值范围是 ( )a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】由已知求得g（x）=2sin（x+）1，再由已知得函数g（x）的最小正周期为，求得=2，结合g（x）1对任意恒成立列关于的不等式组求解【详解】将函数y=2sinx（0）的图象向左平移个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度，得g（x）=2sin（x+）1=2sin（x+）1，又y=g（x）的图象与直线y=1相邻两个交点的距离为，得t=，即g（x）=2sin（2x

10、+）1，当时，解得的取值范围是故选：b【点睛】解决函数综合性问题的注意点 （1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化10.将数字，书写在每一个骰子的六个表面上，做成枚一样的骰子，分别取三枚同样的这种骰子叠放成如图和所示的两个柱体，则柱体和的表面（不含地面）数字之和分别是（ ）a. ， b. ， c. ， d. ，【答案】a【解析】分析：根据骰子中与与与分别相对，找出图与图的表面数字，分别求出数字和即可.详解：图中数字之和为，图中数字之和为，故选a.点睛：本题

11、主要考查棱柱的结构特征，意在考查空间想象能力，属于简单题.11.已知o是坐标原点，双曲线与椭圆的一个交点为p，点，则的面积为( )a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】由椭圆与双曲线的定义可得 ， = ，由标准方程可得=，结合余弦定理、勾股定理以及椭圆的对称性可得结果.【详解】由题意知两曲线有相同的焦点，设左右两个焦点分别为，根据双曲线的定义得到 ，根据椭圆的定义得到，联立两个式子得到 ， = ， 由椭圆与双曲线的标准方程方程=，所以与重合，由余弦定理得到 ，故 ，则的面积为， 故答案为d.【点睛】本题主要考查利用椭圆与双曲线的定义、简单性质求标准方程，属于中档题.求解与椭圆、双曲

12、线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点等基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12.已知点是曲线上任意一点，记直线（为坐标系原点）的斜率为，则（ ）a. 至少存在两个点使得 b. 对于任意点都有c. 对于任意点都有 d. 存在点使得【答案】c【解析】【分析】利用排除法，对给出的四个选项分别进行分析可得出正确的结论【详解】设点的坐标为，则对于d，当时，一方面，另一方面容易证成立，所以，因为与中两个等号成立条件不一样，所以恒成立，所以，因此d不成立对于b，当时，所以，所以b不成立对于a，至少存在两个点使得，也就是至少存在两解

13、，即至少存在两解，恒成立，所以至多存在一解，所以a不成立综合以上分析可得选项c正确故选c【点睛】本题难度较大，考查内容较多，解题时要抓住的几何特征，通过对曲线上点的坐标的分析，得到的大小关系，进而得到的取值范围同时在解题中还应注意不等式放缩、导数与单调性的运用，逐步达到解题的目的第卷 （非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则该展开式的常数项是_【答案】15【解析】二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， ，则展开式中的通项公式为 令，求得 ，故展开式中的常数项为 ，故答案为15.14.抛物线的准线被圆所截得的线段长

14、为4，则p= _【答案】2【解析】【分析】求得抛物线的准线方程，代入圆方程，解得y，可得弦长，由条件可得p的方程，解方程即可得到所求值【详解】抛物线y2=2px（p0）的准线为x=，代入圆x2+y2+2x3=0可得y2=3+p，解得y=±，由条件可得2=4，解得p=2，故答案为：2【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和圆相交的弦长问题，考查方程思想和运算能力，属于基础题15.在中，边上的中垂线分别交边于点;若，则_【答案】5【解析】【分析】选取为基底，其他向量用基底表示再运算【详解】由题意，【点睛】本题考查平面向量的数量积运算，解题关键是选取为基底，用基底表示其他向量后再运算其中

15、用到结论：d是bc中点，因此有16.已知棱长为1的正方体有一个内切球（如图），为面底的中心，与球相交于，则的长为_.【答案】【解析】【分析】求出球心到fe的距离，利用勾股定理求出ef【详解】设球心o到fe的距离为d，则在oa1e中，a1e=，oe=由等面积可得，d=，球的半径为，ef=63故答案为：【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 三、解答题：本大题共

16、6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列满足，等差数列满足.（1）记，求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)(2).【解析】【分析】（1）利用二倍角公式化简an，可得an=求出数列bn的首项和公差，则通项公式可求，直接把an、bn的通项公式代入求解；（2）由（1）知，数列cn是以36为公差的等差数列，再由等差数列的前n项和公式得答案【详解】（1）由题意知 于是，故数列的公差为3，故，所以 （2）由（1）知，数列为等差数列.【点睛】数列问题是高考中的重要问题，主要考查等差等比数列的通项公式和前项和，主要利用方程思想处理通项公式问题，利用公式法、分组

17、求和、裂项相消、错位相减法等方法求数列的和在利用错位相减求和时，要注意提高运算的准确性，防止运算错误18.在三棱锥中，（1）求证：；（2）点为上一动点，设为直线与平面所形成的角，求的最大值【答案】(1)见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取中点，连接，则得，同理，于是可得平面，所以（2）由条件可证得两两垂直，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解可得所求的最大值【详解】（1）取中点，连接，又为中点， 同理可得，又， 平面，又平面， （2）， 为直角三角形，且， ，即，又，所以平面以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立如图直角坐标系则，设， ，即， ，设是平面的法向量，由，令，得， ， ， ，

18、的最大值为【点睛】（1）利用向量法求解直线和平面所成角时，关键点是恰当建立空间直角坐标系，确定斜线的方向向量和平面的法向量（2）求线面角时，可通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角19.在贯彻中共中央国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位定点帮扶甲、乙两个村各50户贫困户.为了 做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况、子女受教育情况、危旧房情况、 患病情况等进行调查，并把调查结果转化为各户的贫困指标和，制成下图，其中“”表示甲村贫困户，“”表示乙村贫困户.若，则认定该户为“绝对贫困户”，若，则认定该

19、户为“相对贫困户”，若，则认定该户为“低收入户”；若，则认定该户为“今年能脱贫户”，否则为“今年不 能脱贫户”. （1）从甲村50户中随机选出一户，求该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率；（2）若从所有“今年不能脱贫的非绝对贫困户”中选3户，用表示所选3户中乙村的户数，求的分布 列和数学期望；（3）试比较这100户中，甲、乙两村指标的方差的大小（只需写出结论）.【答案】（1）0.1；（2）见解析；（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【解析】试题分析：（1）处于100以下“”图标共5个，由古典概型可求。（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4

20、户，的可能值为0，1，2，3.写出超几何分布列。（3）数据越集中方差越小，数据越分散方差越大，显然乙村更集中。试题解析：（1）由图知，在甲村50户中，“今年不能脱贫的绝对贫困户”有5户，所以从甲村50户中随机选出一户，该户为“今年不能脱贫的绝对贫困户”的概率为（2）由图知，“今年不能脱贫的非绝对贫困户”有10户，其中甲村6户，乙村4户，依题意，的可能值为0，1，2，3.从而，.所以的分布列为：故的数学期望.（3）这100户中甲村指标的方差大于乙村指标的方差.【点睛】平均数与方差都是重要的数字特征，是对数据的一种简明描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义.平均数、中位数、众数描述数据的集中趋势

21、，方差和标准差描述数据的波动大小.20.线段为圆：的一条直径，其端点，在抛物线： 上，且，两点到抛物线焦点的距离之和为.（1）求直径所在的直线方程；（2）过点的直线交抛物线于，两点，抛物线在，处的切线相交于点，求面积的最小值.【答案】（1）的直线方程为；（2）16.【解析】试题分析：（1）设，抛物线的焦点为，由题意可得=，的方程为.利用点差法可得的直线方程为.（2）不妨记，直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，结合弦长公式可得 ，结合点到直线距离公式可得点到直线的距离 ，则 ，则的面积的最小值.试题解析：（1）设，抛物线的焦点为，则，又，故，于是的方程为.，则 ，的直线方程为.（2）不妨记，

22、直线的方程为，联立得，则， ，又因为，则，同理可得：，故，为一元二次方程的两根，点到直线的距离 ， ，时，的面积取得最小值.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|ab|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21.已知.（1）当时，若函数存在与直线平行的切线，求实数的取值范围；（2）当时，若的最小值是，求的最小值.【答案】（1）；（2）的最小值为.【解析】【分析】（1）求出导函数，则有实数解，由此可得的范围；（2）考虑到的表达式，题意说

23、明在上恒成立，且“”可取，这样问题又可转化为即恒成立，且可取.，即的最小值是0，为求的零点，由得，再由导数求得的最小值是由于题中要求的最小值，因此研究时的正负，从而得的最小值，可证得此最小值，且为0时只有一解，这样得出结论【详解】（1）因为,因为函数存在与直线平行的切线，所以在上有解,即在上有解，所以，得,故所求实数的取值范围是.（2）由题意得：对任意恒成立，且可取，即恒成立，且可取. 令，即，由得，令 . 当时，在上，；在上，.所以. 令在上递减，所以，故方程有唯一解即,综上，当满足的最小值为，故的最小值为.【点睛】本题考查用导数研究函数的几何意义，研究函数的单调性与最值，属于难题解题过程中要注意问题的等价转化，方程有解转化为函数的最值，函数的最值变化后又转化为方程有解22.在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为（i）求点的直角坐标；（ii）设是圆上的任意一点，求的取值范围【答案】（1）b(-1