导数的应用单调性与极值

1、导数的应用（一）单调性与极值一 . 教学内容：导数的应用（一）单调性与极值1. 函数的单调性一般地，设函数yf ( x) 在某个区间内可导，如果f ( x)0 ，则 f ( x) 为增函数；如果f ( x) 0 ，则 f ( x) 为减函数，如果在某个区间内恒有f ( x)0 ，则 f ( x) 为常数。2.函数的极值一般地，设函数f ( x) 在点 x0 附近有定义，如果对x0 附近的所有点，都有f ( x) f ( x0 ) ，就称f ( x)是函数f ( x) 的一个极大值，记作y极大值f ( x)；如果对x000 附近的所有的点，都f ( x)f ( x)f ( x)f (x)y极小值

2、f (x0 )有0就称0是函数的一个极小值，记作。极大值和极小值统称为极值。判别 f ( x0 ) 是极大（小）值的方法是：（ 1）如果在 x0 附近的左侧 f( x)0 ，右侧 f( x)0 ，那么 f ( x0 ) 是极大值；（ 2）如果在 x0 附近的左侧 f( x)0 ，右侧 f( x)0，那么 f ( x0 ) 是极小值。导数为0 的点不一定是极值点，例如函数f ( x)x 3， x0 处的导数是0，但非极值点。求可导函数f ( x) 的极值的步骤如下：（ 1）求导数 f ( x)（ 2）求出方程 f ( x)0 的根（ 3）检查 f (x) 0 在方程根左右的值的符号，如果左正右负

3、， 那么 f ( x) 在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x) 在这个根处取得极小值，如果左右符号相同，那么这个根不是极值点。【典型例题】例 1 确定函数 f ( x)2x36x27 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数？解： f( x)6x 212 x令 6x 212 x0，解得 x2 或 x0令 6x 212 x0，解得0x2故函数f (x) 在 x(, 0) 和 x(2 ,) 为增函数，在 x(0 , 2) 为减函数例 2 研究函数f ( x)x3ax 的单调性。解： f ( x) 3x2a当 a0时， f ( x)a0 ，则函数 f (x) 在（，）上是增函数当 a0时

4、， f ( x)x3，则 f (x) 在（，）上是增函数当 af ( x) 3( xa )( xa )aa0 时，33 ，则 f (x) 在（，3 ）和（3 ，aa）上是增函数，在（3， 3）上是减函数。例 3 已知解：2(1x x 2x3 ) , x(0,1)f (x)21 ( x1 ) , x ( 1 ,)2x2的单调区间。（ 1）当 x1(0 , 2) 时， f (x) 2( 1 2x 3x2 )f ( x)2 3( x1) 22 01即33，故 f (x) 在（ 0， 2 ）为减函数x ( 1 ,)f ( x)1 (x1 )f ( x)1 (11)（ 2）当2时，2x2x 2f( x)

5、0x112x 1由解得2f(x)0x12解得 x 1由1故函数 f (x) 在（ 2， 1）是减函数，在（1，）上是增函数。其图象如下例 4 已知 f (x)x33x 23ax4 （其中 a 为常数）试求：（ 1） f ( x) 的极大值；（ 2）若 f ( x) 的极大值为 5，求 a 的值；（ 3）曲线 y f (x) 过原点的切线的方程。解：（ 1） f(x)3x 26x3a ，对一元二次函数 f ( x)0 ，它的判别式36(a 1)一元三次函数f ( x)x 33x23ax4 有极值的充要条件是f (x) 0 有两相异实根， 即0 ， a1。当 a1时，设 f ( x)0 的两根 x

6、1 ， x2x11a 1 ， x21a 1 ， f ( x) ( x x1 )( x x2 )列表如下：x（， x1）x1（ x1 ， x2 ）x2（ x2 ，）f ( x)+00+f (x)极大极小此函数 f (x) 当 x x11a1 时取极大值极大值为 f ( x1 )(1a1) 33(1a1) 23a(1a1) 42( a1)a13a2（ 2）令 f ( x1 )5 得 2(a 1) a 1 3a 2 5a952( a1) a 13(a1)1a445a时， f ( x) 取极大值 5故当4（ 3）设切点 P（ x0 ， x033x023ax04 ），曲线过 P 点的切线斜率为k 3(

7、x022 x0a)切线方程为： y 3( x022x0a)( xx0 )x033x023ax04由切线过原点 O（ 0， 0），故3x0 ( x022x0a)x033x023ax0402x033x0240(x02)( 2x02x0 2) 0x02把 x02 代入切线方程，得切线方程为y3ax【模拟试题】（答题时间：30 分钟）一 . 选择题：1. 设 x0 为 f ( x) 的极值点，则（）A.f ( x0 )B. f (x0 ) 不存在C.f ( x0 )0 或不存在D. f ( x0 ) 存在但可能不为 02. 下列命题正确的是（）A. 极大值比极小值大B. 极小值不一定比极大值小3.三次函数 f ( x) 当 x1时有极大值4，当 x 3 时有极小值0，且函数过原点，则该函数是（）A. y x36x29xB. yx36x 29xC. y x36x29xD. yx36 x29x二 .填空题：4.函数 f ( x)x 33a 2 xa( a 0) 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是。5.若函数 yx 33x 与 ya 的图象有 3 个交点，则 a 的范围是。【试题答案】一.1.C2. B3. B提示 ：设 f ( x) ax3bx2cx ，f(1)03a2bc 0f (1)4abc4a1f(3)027a6bc0b6