2022版新教材高考数学一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率学案含解析新人教B版

1、高考复习资料第3节随机事件的概率一、教材概念·结论·性质重现1样本点与样本空间把随机试验中每一种可能出现的结果，都称为样本点，把由所有样本点组成的集合称为样本空间(通常用大写希腊字母表示)2事件的相关概念3事件的关系与运算(1)事件的关系定义表示法图示包含关系一般地，对于事件a与事件b，如果事件a发生时，事件b一定发生，则称“a包含于b”(或“b包含a”)ab(或ba)相等关系如果事件a发生时，事件b一定发生；而且事件b发生时，事件a也一定发生，则称“a与b相等”abab且ba事件互斥给定事件a，b，若事件a与b不能同时发生，则称a与b互斥ab(或ab)事件对立给定样本空间

2、与事件a，则由中所有不属于a的样本点组成的事件称为a的对立事件(2)事件的和与积定义表示法图示事件的和(并)给定事件a，b，由所有a中的样本点与b中的样本点组成的事件称为a与b的和(或并)ab或(ab)事件的积(交)给定事件a，b，由a与b中的公共样本点组成的事件称为a与b的积(或交)ab(或ab)(3)事件的混合运算因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，例如(a)(b)表示的是a与b的和，实际意义是：a发生且b不发生，或者a不发生且b发生，换句话说就是a与b中恰有一个发生同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此

3、(a)(b)可简写为ab.4概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0p(a)1.(2)必然事件的概率p()1.(3)不可能事件的概率p()0.(4)如果事件a与事件b互斥，则p(ab)p(a)p(b)如果事件a与事件b互为对立事件，那么p(b)1p(a)，p(a)1p(b)如果ab，那么p(a)p(b)设a，b是一个随机试验中的两个事件，我们有p(ab)p(a)p(b)p(ab)1随机事件a，b互斥与对立的区别与联系当随机事件a，b互斥时，不一定对立；当随机事件a，b对立时，一定互斥2从集合的角度理解互斥事件和对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集(2

4、)事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集二、基本技能·思想·活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“×”(1)事件发生的频率与概率是相同的( × )(2)随机事件和随机试验是一回事( × )(3)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值( )(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生( )(5)若a，b为互斥事件，则p(a)p(b)1.( × )(6)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件( )2一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()a至多

5、有一次中靶b两次都中靶c只有一次中靶d两次都不中靶d题目解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”3将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5次”是()a必然事件b随机事件c不可能事件d无法确定b题目解析：抛掷10次硬币正面向上的次数可能为010，都有可能发生，所以正面向上5次是随机事件4(多选题)若干个人站成一排，其中不是互斥事件的是()a“甲站排头”与“乙站排头”b“甲站排头”与“乙不站排尾”c“甲站排头”与“乙站排尾”d“甲不站排头”与“乙不站排尾”bcd题目解析：对于a，“甲站排头”与“乙站排头”不可能同时发生，是互斥事件对于b，“甲站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可

6、以同时发生，不是互斥事件对于c，“甲站排头”时，乙可以“站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件对于d，“甲不站排头”时，乙可以“不站排尾”，两者可以同时发生，不是互斥事件故选bcd.5容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：分组10,20)20,30)30,40)40,50)50,60)60,70)频数234542则样本数据落在区间10,40)的频率为_0.45题目解析：由表知10,40)的频数为2349，所以样本数据落在区间10,40)的频率为0.45.6(2021·济南模拟)从一箱产品中随机地抽取一件，设事件a抽到一等品，事件b抽到二等品，事件c抽到三等品，且已知p(a)0.

7、65，p(b)0.2，p(c)0.1，则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为_0.35题目解析：因为事件a抽到一等品，且p(a)0.65，所以事件“抽到的产品不是一等品”的概率为p1p(a)10.650.35.考点1随机事件的关系基础性(1)把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”()a是对立事件 b是不可能事件c是互斥但不对立事件 d不是互斥事件c题目解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事件(2)设条件甲：事件a与事件b是对立事件，结论乙：概率满足p

8、(a)p(b)1，则甲是乙的()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充要条件 d既不充分也不必要条件a题目解析：若事件a与事件b是对立事件，则ab为必然事件再由概率的加法公式得p(a)p(b)1.投掷一枚硬币3次，满足p(a)p(b)1，但a，b不一定是对立事件如事件a：“至少出现一次正面”，事件b：“出现3次正面”，则p(a)，p(b)，满足p(a)p(b)1，但a，b不是对立事件判断互斥事件、对立事件的两种方法(1)定义法：判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件(2)集合法：由各

9、个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥；事件a的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件a所含的结果组成的集合的补集1(2020·菏泽一中高三月考)同时投掷两枚硬币一次，互斥而不对立的两个事件是()a“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”b“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”c“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”d“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”c题目解析：在a中，“至少有1枚正面朝上”与“2枚都是反面朝上”不能同时发生，且“至少有1枚正面朝上”不发生时，“2枚都是反面朝上”一定发生，故a中的两个事件是对立事件；在b中，当两枚硬币

10、恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上时，“至少有1枚正面朝上”与“至少有1枚反面朝上”能同时发生，故b中的两个事件不是互斥事件；在c中，“恰有1枚正面朝上”与“2枚都是正面朝上”不能同时发生，且其中一个不发生时，另一个有可能发生也有可能不发生，故c中的两个事件是互斥而不对立事件；在d中，当2枚硬币同时反面朝上时，“至少有1枚反面朝上”与“2枚都是反面朝上”能同时发生，故d中的两个事件不是互斥事件故选c.2口袋里装有6个形状相同的小球，其中红球1个，白球2个，黄球3个从中取出两个球，事件a“取出的两个球同色”，b“取出的两个球中至少有一个黄球”，c“取出的两个球中至少有一个白球”，d“取出的两个球不同

11、色”，e“取出的两个球中至多有一个白球”下列判断中正确的序号为_a与d为对立事件；b与c是互斥事件；c与e是对立事件；p(ce)1；p(b)p(c)题目解析：显然a与d是对立事件，正确；当取出的两个球为一黄一白时，b与c都发生，不正确；当取出的两个球中恰有一个白球时，事件c与e都发生，不正确；ce为必然事件，p(ce)1，正确；p(b)，p(c)，不正确考点2随机事件的频率与概率基础性如图，a地到火车站共有两条路径l1和l2，现随机抽取100位从a地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：所用时间(分)10202030304040505060选择l1的人数612181212选择l2的人数0416

12、164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径l1和l2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径解：(1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有121216444(人)，所以用频率估计相应的概率p0.44.(2)选择l1的有60人，选择l2的有40人，故由调查结果得频率为所用时间(分)10202030304040505060选择l1的频率0.10.20.30.20.2选择l2的频率00.10.40.40.1(3)设a

13、1，a2分别表示甲选择l1和l2时，在40分钟内赶到火车站；b1，b2分别表示乙选择l1和l2时，在50分钟内赶到火车站由(2)知p(a1)0.10.20.30.6，p(a2)0.10.40.5.因为p(a1)p(a2)，所以甲应选择l1.同理，p(b1)0.10.20.30.20.8，p(b2)0.10.40.40.9.因为p(b1)p(b2)，所以乙应选择l2.1概率与频率的关系频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，有时也用频率来作为随机事件概率的估计值2随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过

14、大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率注意：概率的定义是求一个事件概率的基本方法1在投掷一枚硬币的试验中，共投掷了100次，正面朝上的频数为51次，则正面朝上的频率为()a49b0.5 c0.51d0.49c题目解析：由题意，根据事件发生的频率的定义可知，“正面朝上”的频率为0.51.2(2020·潍坊高三模拟)某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：本科研究生合计35岁以下4030703550岁27134050岁以上8210现从该校教职工中任取1人，则下列结论正确的是()a该校教职工具有本科学历的概率低于60%b

15、该校教职工具有研究生学历的概率超过50%c该校教职工的年龄在50岁以上的概率超过10%d该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10%d题目解析：对于选项a，该校教职工具有本科学历的概率p62.5%>60%，故a错误；对于选项b，该校教职工具有研究生学历的概率p37.5%<50%，故b错误；对于选项c，该校教职工的年龄在50岁以上的概率p8.3%<10%，故c错误；对于选项d，该校教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p12.5%>10%，故d正确故选d.考点3互斥事件与对立事件的概率综合性经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下

16、：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率解：记“无人排队等候”为事件a，“1人排队等候”为事件b，“2人排队等候”为事件c，“3人排队等候”为事件d，“4人排队等候”为事件e，“5人及5人以上排队等候”为事件f，则事件a，b，c，d，e，f彼此互斥(1)记“至多2人排队等候”为事件g，则gabc，所以p(g)p(abc)p(a)p(b)p(c)0.10.160.30.56.(2)(方法一)记“至少3人排队等候”为事件h，则hdef，所以p(h)p(def)p(d)p(e)p(f)0.30.10.

17、040.44.(方法二)记“至少3人排队等候”为事件h，则其对立事件为事件g，所以p(h)1p(g)0.44.求复杂互斥事件概率的两种方法(1)直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥事件的和，运用互斥事件概率的加法公式计算(2)间接法：先求此事件的对立事件，再用公式p(a)1p()求得，即运用逆向思维(正难则反)，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法就会较简便提示：应用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件发生的概率，再求和(或差)间接法体现了“正难则反”的思想方法1抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件a表示“小于5的偶数点出现”，事件b表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件a发生的概率为()a. b. c. d.c题目解析：抛