纳什均衡：混合策略均衡点

1、纳什均衡：混合策略均衡点 是不是全部博弈均存在一个我们所说的纯策略（纯策略是指参与者在其策略空间中选取的唯一确定的策略）的纳什均衡点呢？答案是否定的。 除了上面叙说多次的、大家比较熟识的纯策略均衡点外，有的博弈并没有一个确定的唯一的策略，而会存在一个混合策略（混合策略是指参与者采取的不是确定的唯一的策略，而是在其策略空间上的概率分布）均衡点。下面我们将以警察与小偷的博弈为例对混合策略均衡点进行说明。 某小镇只有一名巡逻警察，他一个人要负责整个镇的治安秩序。假定该小镇主要分为a、b两区，a区有一家建设银行，b区有一家金银首饰店。再假定这个小镇有一个小偷，要对该镇实施偷盗行为。因为没有分身术，警察

2、一次只能在一个区巡逻；而对于小偷来说，一次也只能去一个地方行窃。 假定a区建设银行需要保护的财产为2万元，b区首饰店的财产价值为1万元。若警察在a区巡逻，而小偷也恰巧选择去了该地，就会被警察当场抓住，该区建设银行的2万元财产就不会损失；若警察在a区巡逻，而小偷却选择去了b区，因没有警察的保护，则小偷偷盗成功，b区首饰店的1万元财产将分文不剩，全落进小偷的腰包。 在这种状况下，警察要怎么巡逻才能使效果最好呢？ 假如根据从前的思路只能选取一个唯一的确定的策略，那很明显的做法是，警察在a区巡逻，可以保住该区建设银行的2万元财产不被偷窃。而小偷去b区，偷窃一定成功，b区首饰店的1万元财产尽归小偷全部。

3、也就是说警察的收益是2万元，而小偷的收益是1万元。 但是这种做法是警察的最佳策略吗？存不存在一种更好的策略或是说能对这种策略进行改进呢？ 若警察在a区或b区巡逻，而小偷也正好选择去a区或b区，则小偷无法实施偷盗，此时警察的得益为3（保住a区建设银行和b区首饰店共3万元财产），小偷的得益为0（没有收益），记作（3，0）。 若警察在a区巡逻，而小偷去b区偷盗，此时，警察的得益为2（保住a区建设银行2万元财产），小偷的得益为1（成功偷盗b区首饰店1万元财产），记作（2，1）。 若警察在b区巡逻，而小偷去a区偷盗，此时，警察的得益为1（保住b区首饰店1万元财产），小偷的得益为2（成功偷盗a区建设银行2

4、万元财产），记作（1，2）。 警察与小偷之间的支付可写成如下的支付矩阵： 由上面分析，我们可以得出这个博弈没有纯策略纳什均衡点，而有混合策略均衡点。在混合策略均衡点下，双方的策略选择是其最优策略选择。此时，对于警察的一个最佳选择是，警察用抽签的方法打算去a区巡逻还是去b区巡逻。因为a区建设银行的财产价值是b区首饰店的两倍，所以用两个签（比如1、2）代表去a区巡逻，一个签（比如3）代表去b区巡逻。假如抽到1、2号签，就去a区巡逻；若抽到3号签，就去b区巡逻。这样警察就有2/3的几率去a区巡逻，1/3的几率去b区巡逻，其几率的大小与巡逻地的财产价值成正比。 而小偷的最优选择也是以同样抽签的方法打算

5、去a区行窃还是去b区偷盗，只是与警察相反的是，小偷抽到1、2号签去b区行窃，抽到3号签去a区行窃，那么，小偷就有1/3的几率去a区偷盗，2/3的几率去b区偷盗。上面所说的警察与小偷所采取的策略便是混合策略。 按上述混合策略，警察的总期望收益是7/3万元，与得2万元收益的只巡逻a区的策略相比，明显得到了改进。 原因如下： 当警察去a区巡逻时，小偷有1/3的几率去a区偷盗，2/3的几率去b区偷盗，此时，警察巡逻a区的期望收益为7/3（1/3×3+2/3×2=7/3）万元。当警察去b区巡逻时，小偷同样有1/3的几率去a区偷盗，2/3的几率去b区偷盗，此时，警察巡逻b区的期望收益为7/3（1/3×1+2/3×3=7/3）万元。警察的总期望收益为7/3（2/3×7/3+1/3×7/3=7/3）万元。 同理，我们也可得小偷采取混合策略的总期望收益是2/3万元，比得