第六讲 债务偿还

1、1【学习目的学习目的】：通过本章的学习，要求学：通过本章的学习，要求学 生掌握满期偿还方法、分期偿还方法与偿债生掌握满期偿还方法、分期偿还方法与偿债基金方法的计算。基金方法的计算。【学习重点学习重点】：分期偿还方法与偿债基金方：分期偿还方法与偿债基金方法的计算。法的计算。【学习难点学习难点】：分期偿还方法与偿债基金方：分期偿还方法与偿债基金方法的计算。法的计算。2【授课内容授课内容】6.1 6.1 摊还表摊还表 6.2 6.2偿债基金偿债基金 6.3 6.3 其他偿还方式分析其他偿还方式分析3在年金的期限内，金融市场会有很多的变化，投资者（融资者）通常需要随时评估其已经进行的投融资的价值。 如

2、何分析现金流中的内在价值（本金）和时间价值（利息）？ 价值评估中常用的本金利息分离方法有摊还表方法（amortization schedules）和偿债基金方法（sinking fund）。 4 摊还表方法对未清偿债务本金和利息的定期支付（如贷款的分期尝付） 偿债基金方法借款人为偿还债务成立基金并在指定期限内分期拨款入基金，累计起一笔足够款项以偿还未来到期的债款（一般的债券发行多附有要求借款人设立偿债基金的条款）。 本质上就是要解决如何将投资期间的现金流分解为“本金”和“利息”两部分，进而确定投资期间每个时刻的未结贷款余额。5 6.1.1 计算未结贷款余额(outstanding loan b

3、alance) 注：“未结本金”、“未付余额”、“剩余贷款债务”、“账面价值” 实际背景：在贷款业务中，每次分期还款后，借款人的未偿还的债务在当时的价值。例如：某家庭现有一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款，在已经付款12年后，因为意外的一笔收入，希望一次将余款付清，应付多少？ 计算未结贷款余额的常用方法有预期法和追溯法。6预期法用剩余的所有分期付款现值的和表示每个时刻的贷款余额 追溯法用原始贷款额的累积值扣除所有已付款项的累积值表示每个时刻的贷款余额。 注：这里的利率即为贷款利率。思考：两种方法的计算结果会是一致的吗？ 7分析：在贷款之初有： 贷款额 = 今后所有还款的现值之和 将上式的两边

4、同时累积到还款期间的某个指定时刻，则有： 原始贷款额的终值 = 所有分期还款在这个时刻的价值之和 上式右边可以分成两部分：过去的还款和未来的还款，前者的价值计算为终止，后者的价值计算为现值，从而上式又可以表示为： 原始贷款额的终值 = 过去还款的终值+ 未来还款的现值 最后将上式右边的第一项移到左边，则新等式的左边表示追溯法，而右边表示预期法，两者相等。 8 讨论：两种计算方法在实际应用中并没有明显的优劣之分，一般情况下，如果所有的还款额和还款时间已知，则采用预期法；如果还款次数未定或最后一次的还款金额未定，则采用追溯法。9记号bt表示时刻t的未结贷款余额（第t次还款后的瞬间） 为了区别所采用

5、的计算方法，分别用 （prospective）和 （retrospectiv）表示预期算法和追溯算法的计算结果。原始贷款金额b0一般用 l表示 ptbrtb10情形1.还贷金额固定：贷款利率为 i ，n 次偿还， 每次 1 元 预期法：（付款现金流确定） 追溯法：因为原始贷款额 ，从而有 预期法和追溯法计算结果相同，即有 未结贷款余额满足下递推关系： ptnt ibanila(1)rttn it int ibaisaprtttbbb1(1)1ttbi b11情形2. 已知贷款金额：设原始贷款金额为 l ，贷款贷利率为 i， n次还清 首先计算每次的还款额 r： 或 预期法：（付款现金流确定）追

6、溯法： n iralnilra()pnt itnt int in in ialbraalaa(1)(1)rttt itt in in islblisliaa12例6.1：某贷款的还贷方式为：前五年每半年还 2000元；后五年每半年还 1000元。 如果半年换算的挂牌利率为10% 。分别用预期法和追溯法计算第五次还贷后的贷款余额。 解： 1) 预期法： 2）追溯法： 原始贷款金额为 从而有 5550.05100.05150.0550.05200010001000 14709pbaavaa20 0.0510 0.05100020184laa555 0.0520184(1.05)200014709r

7、bs13例6.2：某三十年的贷款每年还1000元，在第十五年的正常还款之后，借款人再一次多还 2000元，如果将其全部用于扣除贷款余额，剩余的余额分十二年等额还清。年利率 9% ，计算后十二年的年还款额 。 解：用预期法计算第十五次还款后的贷款余额为： 因为又多还了 2000 元，从而此时实际贷款余额应为6060.70元 。 后十二年的年还款额x应满足以下方程： 即：x= 846.38 元 注：较原先大致降低了 15.4%。15 0.0910008060.70ptba12 0.096060.70xa14关键点： 在有些情况中，有必要将每次的还款额分解为“还本金”和“还利息”两部分，比如在本金和

8、利息的税收是不一样的时候、涉及提前还贷的时候等等 。摊还方法的基本原理： 在贷款的分期还款中，利息偿还优先， 即首先偿还应计利息，余下的部分作为本金偿还。15摊还的具体表示： 设第 t次的还款额为r（等额），还利息部分为 ，还本金部分为pt，记bt为第t 次还款后瞬间的未结贷款余额， 则有： it=ibt-1 pt=r-it bt=(1+i )bt-1 -r= bt-1+it -r=bt-1-pt 其中pt在不断的减少未结贷款余额（本金）与利息无关。 摊还表将还贷期间的每次还款分解为还本金和付利息，同时列出每次还款后的未结贷款余额。 16例6.3：下表为贷款利率为 i ，每次还款 1 元， 共

9、计 n 次的摊还表。贷款额为 n ia17分析： 1）在第一次还款的 1元中，利息部为 ，本金部分为 ，未结贷款余额为原贷款扣除已还的本金，即 ： 对任意时刻 t有类似的结论，即：时刻 t 的1 元还款可以分解为利息量 和本金量 ，两者的计算公式分别为： ， 从而未结贷款余额为： 2）所有本金之和等于原始贷款，即 3）所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差，即 1nn iiav11nn inibavanvtitp1nttpv11n ttiv 1231n ttttbbpvvvv10nnnbbp1111nnnn tttnipvva 11nnttinp184）本金序列依时间顺序构成递增的等比级数

10、，比值为(1+i) ，pt+1 =(1+i)pt5）利息序列依时间顺序构成递减数列 it+1 =it-ipt结论：在等额还款方式下，前期的还款主要用于偿还利息，贷款本金（余额）的降低幅度不大 。 19例6.4：30年期贷款，贷款利率 6%， 每年还款 30000元，摊还表见本息示意图如下： 20一般情况下贷款的摊还表： 每次还款额为r，则有： 未结贷款余额为 ： 2）原始贷款额为 l ，则每次的还款额 r 为： 进而有摊还表的对应计算未结贷款余额为： 注意：摊还表计算中的递推公式 b0=l ，i t = i bt-1，pt =r it ， bt =bt-1-pt11(1)ntntttirvpr

11、v ，tnt ibr anilra11(1)ntntttn in illivpvaa，()tn t in ilbaa2122例6.6：现有 1000元贷款通过每季度还款 100元偿还， 已知季换算挂牌利率 16% 。计算第四次还款中的本金量和利息量。 解：第三次还款后的未结贷款余额为 从而有 i4= 0.04 812.70 = 32.51 p4= 100-32.51 = 67.49 注：回溯法，必计算最后一次还款的金额。333 0.041000(1.04)100812.70rbs23例6.7：甲从乙处借款 10,000元，双方商定以季挂牌利率8%分六年按季度还清。但是，在第二年底（第八次还款之

12、后），乙将未到期的贷款权益转卖给丙，但乙丙双方商定的季挂牌利率为 10%。 分别计算丙和乙的利息总收入 。 解：六年中甲的每次还款额为 1）丙的利息总收入 计算丙的买价为： 从而丙在后四年的利息收入总和为： 16(528.71) -6902.31 = 8459.36- 6902.31 = 1557.05 240.0210,00010,000528.7118.9139a160.25528.71(528.71)(13.0550) 6902.31a242）乙的利息总收入 算法一：计算乙在第二年底的未结贷款余额为 乙在前两年收回的本金为 10,000-7178.67 = 2821.33 乙在前两年的总

13、收入为 8528.71= 4229.68 从而乙在前两年的利息总收入为 4229.68-2821.33 = 1408.35 算法二：乙在这笔贷款中的总收入为 8(528.71) + 6902.31 = 11131.99 总支出为 10,000 元， 从而利息收入应为 1131.9元。16 0.02528.71(528.71)(13.577)7178.67a25例6.8：现有年收益率为i 的n年投资，每年底收回 1 元。但是，在第二年内的实际收益率为 j ，且有 j i。 在以下两种情况下，计算第二年以后的年收入： 1）第三年开始的年收益率仍然为 i 2）第三年开始的年收益率保持 j 解： ，而

14、第一年底的未结贷款余额为 设所求年收入为x（从第二年还款开始），则 0n iba11niba261) 一方面有 另一方面， 等于从第三年开始的所有还款的现值之和，即 从而有 注：如果原来的年收益为 r 则新的年收益应为 2）类似的，由b2的两种算法有可得 即有： 可以证明，当 j i 时，有 21(1)nibj ax2b22nibxa121211(1)(1)(1)(1)1111ninininininij axxaj axaxaxi ajjixii (1)1jirri12(1 )n in jjax x a 11ninjaxa11(1)1ninjajiai27偿债基金为了在贷款期末将原始贷款额一次

15、还清而建立的还贷基金。 注：基金在整个还贷期间采取“零存整取”方式 。注：在还贷期间的每个时刻的“未结贷款余额”应该是原始贷款额扣除偿债基金后的余额。 28i 原贷款利率 j偿债基金的累积利率 原贷款利率与偿债基金累积利率不同（ij） 291. 设以标准期末年金方式还款，每次存入偿债基金的金额为s(等额)，共计n次，记这种情况下的现金流现值为 (原始贷款额度)，则有 同时有累积偿债基金的关系式 注：每期还利息，并在偿债基金中累积，到期还本。联立上述方程可得 n ija1n ijsi an jnijs sa1n jnijn jsais30例6.9 当原始贷款额为 1时，情形如何？ 解：每次还利息

16、i，并用 累积偿债基金，到期还本。注：下面的关系式成立 分析：由于 从而有 以及 1njs11n ijn jias11n jn jjas111()nijn jn jiijasa 1()n jn ijn jaaij a31讨论：1）当 ji时，有 分析：注意到 从而，只要原贷款利率大于偿债基金累积利率，有偿债基金的标准期末年金的现值将会减少 。 32讨论：1）当 ji时，有 分析：注意到 从而，只要原贷款利率大于偿债基金累积利率，有偿债基金的标准期末年金的现值将会减少 。 n ijn iaan ijn iaan ijn iaa11()n ijn jijaa33 t=1,2,n t=1,2,n注：

17、原始贷款额为 思考：若原始贷款额为 1呢？ 一般情形： 原始贷款额为l，分n次还清 每次还款额为 还利息为 il 偿债基金累积为 1njtn ijnjsii aii s111n ijttn jn japisisnijanijla1()n ijn jlslias34问题的提出： 在偿债基金方式下，出现了两个利率， i 和 j ，这时的实际收益率该如何考虑呢？ r借款方实际的还贷利率 结论：有以下关系式成立： 或 注：若偿债基金归贷款方，则上述收益率亦为贷款方实际的收益率，否则不然。结论： 1）若 ji 2）若 ji时，则有ri nrni jaa1()n jn rn jaaij a35n rn i

18、aan rn iaa3637时刻t的未结贷款余额为 从而按照摊还的思路，时刻t 所还本金应为 容易验证： 1t jtn jsbs111(1)tt jtjtttn jn jssjpbbss11(1)11ttjttn jn jn jjsjipiisss 38例6.10 乙方向甲方提供 1000元的贷款，分四年还清。还贷方式：贷款年利率10% ，甲方每年除还利息外，还要以年利率 8%累积偿债基金。同时，另有丙方也可以提供相同数额的贷款，只是还贷计算方式为摊还方式。试问丙的贷款利率为何值时，以上两种贷款对甲方来说是没有差异的？ 解：两种方式没有区别等价于两种方式下有相同的年还款额，若丙的贷款利率为i，

19、则应有 即 441 0 0 01 0 0 0iaa0 . 1 0 0 . 0 840.084440.083.10641 0.02iaaaa0.100.0839求数值解可得 i= 10.94% 注：贷款人只关心贷款总额、每次还款额。 注：实际贷款利率10.94%比 8% 、10%都要高。 40例6.11 某人准备购买一个n年期的年金（现值1000，年利率 8%），这个年金的买价使其足以以年利率7%累积偿债基金，且最终的收益率为 9%。计算该年金的买价。 解：年金每年的给付金额为 用p表示买价，d表示偿债基金的存款额，则有 由偿债基金的定义有： 从而关于p的方程为 解出： 注：由于实际利率大于 9

20、% ，从而买价p1000 0 . 0 81 0 0 0na0 .0 81 0 0 00 .0 9ndpa0.07npds0.070.0810000.09 nnpp sa0.070.080.0710001 0.09nnnspas41当偿债基金的累积利率与原始贷款利率相同时，即为一般的贷款问题 显然 ，当i=j 时，有 nijniaa42结论： 1）1元贷款分n次等额还清，年利率i ，每次还款 ，则有如下的偿债基金分解 2）偿债基金法标准期末年金还款，年利率i ，共还了 n年，每次还款1元 ，则原始贷款额为 ， 每次 还贷中的利息部分为注：与时刻t无关，这一点与摊还的利息计算不同。 每次为偿债基金

21、提取的部分为 1nia11n in iiasn ia1nn iiav1nn iiav43偿债基金方法的每次付款额与摊还表方法的每次付款额是相等的 偿债基金方法的每次的净利息量 (付息量扣除偿债基金的利息收入) 与摊还表每次的付息量相等 偿债基金中每次的增量 (偿债基金的存款额加上偿债基金的利息) 等于摊还表中的本金量 偿债基金方法每个时刻的净贷款量 (原始贷款量扣除偿债基金的余额) 等于该时刻的未结贷款余额4445广义的摊还表和偿债基金表 关键：考虑摊还表或偿债基金表中的周期与利息换算周期不同的情形。 广义摊还表：广义摊还表： （教材（教材126126页）页）用年金的符号表示 两种可能的基本方

22、式分别为 （每k个计息期付款 1 次） 和 （每个计息期付款m次）代表的情形。 n ik ias()nima46n ik ias47()nima48例6.13 某债务是按月摊还的，年实利率11% 。如果第三次还款中本金量为 1000元， 计算第三十三次还款中本金部分的金额。 解：这里m= 12，且摊还表中相应的贴现因子应为 ，记r为每月的还款额，则有： 由此可以解出 教材例题：8.1.7 8.1.8 8.1.91/1/12(1)(1.11)mi1/123 11/1233 1333(1.11)(1.11)nnprpr ，1/12302.53333(1.11)(1.11)1298.10ppp49广

23、义偿债基金表 三个时间周期： 1）贷款利息换算周期 2）偿债基金存款周期 3）偿债基金的利息换算周期 偿债基金表以表现偿债基金的累积过程为主要目的，以偿债基金的利息换算周期为时间间隔，列出偿债基金每次利息换算时的还款金额、应付利息、偿债基金存款额、偿债基金余额和未结贷款余额。50例6.14: 某人借款 2000元，年利率 10%两年内还清。借款人以偿债基金方式还款：每半年向偿债基金存款一次，而且存款利率为季挂牌利率 8%。 试构造相应的偿债基金表。 解：贷款利率换算期为一年，偿债基金的存款周期为半年，偿债基金利率换算期为一个季度。 所以应按照季度来构造偿债基金表。 设偿债基金的存款额为 d，则

24、有 从而 8 0.022 0.022000sds2 0.028 0.0220002000(2.02)/8.5830470.70sds51教材例题：139页8.2.3 8.2.4 52 假定利息换算期和还款期相同 设原始贷款额为l ，n次还款金额为：r1 ，r2，rn，则有： ttlrv531摊还表 递推公式为 b0 =l it =i bt-1 t= 1，2 ， npt =rt- it， t= 1，2 ， nbt= bt-1- pt， t= 1，2 ， nbn =0 在已知l， n和r1 ，r2，rn的情况下，计算的顺序是bt-1itptbt逐步递推 54注：与等额还款不同，上述递推公式的计算结

25、果可能会出现负数，即还款额rt 不足以摊还该时间段的利息，从而需要从贷款余额中再提取一部分资金（pt） 用于还利息 。 相应地，这个时刻的未结贷款余额（bt） 较前一个时刻的未结贷款余额（bt-1） 将有所增加，增加的量为pt教材例题：129页8.1.108.1.15552偿债基金表 设偿债基金的利率为j ，每次的存款额为rt- i l ，则有 即 其中 1212()(1)()(1). ()(1)nnnn ttnjlr iljriljrilrjils (1)11()nttttn jn jrjr vlisij a11vj56讨论：rt- il可能为负值,它表示还款不足以向偿债基金存款,反而要从未

26、结贷款余额中提取一部分资金（il - rt ）用于支付本次的利息。因此，在这种情况下，未结贷款余额的金额在增加，或者说借款方的负债在增加，而偿债基金的余额没有增加。 思考：上述公式是否适合rt -i l出现负值的情形？ 57例6.15 某人以年利率 5%借款， 分十年还清：第一年还200元， 随后每次减少 10元。 计算： 1）借款总额 2）如果贷款利率为 6% ，借款人能够以年利率 5%累积偿债基金，计算当初的借款总额。 解： 1） 2） 3）直接用公式可得 110 0.0510 0.0510 0.0510010()100(7.7217)1010 / 0.051227.83lad aa46 0.056 0.056546 0.0510010()100(1) 10(6)34.62ppbadaiibva555160.00 34.62 125.38pri110 0.051139.821(0.060.05)lla58讨论：显然，3）的结果与1）相比对借款人不利，因为，借款利率提高了，而且偿债基金不能抵消这部分提高的利率。 思考：这里是否会出现利息不足支付的