第七章 正弦平面电磁波

1、电子科技大学第七章第七章 正弦平面电磁波正弦平面电磁波v时谐场：场量随时间时谐场：场量随时间按正弦规律变化按正弦规律变化的电磁场。时谐的电磁场。时谐场也称为正弦电磁场。场也称为正弦电磁场。v正弦电磁波在工程上应用广泛，有如下特点：正弦电磁波在工程上应用广泛，有如下特点： 1 1、易于激励；、易于激励； 2 2、由傅立叶级数可知：在线性媒质中，正弦电磁波、由傅立叶级数可知：在线性媒质中，正弦电磁波可以合成其他形式的电磁波。可以合成其他形式的电磁波。本章主要内容：本章主要内容：时谐场的波动方程时谐场的波动方程亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程无界无界理想媒质理想媒质中的均匀平面波中的均匀平面波无界无界导电媒

2、质导电媒质（损耗媒质损耗媒质）中的均匀平面波）中的均匀平面波在媒质分界面上波的在媒质分界面上波的反射反射与与透射透射电子科技大学5.3 5.3 时变电磁场的能量时变电磁场的能量1 1 poynting定理定理 时变电磁场具有能量已被大量的事实所证明。时变电磁场可以脱离电荷或电流而在空间存在，且随时间的变化在空间以波动形式传播。那么时变电磁场的能量又以何种形式存在于空间，它是否随电磁波的传播而在空间传播？首先来讨论时变电磁场能量的守恒与转化关系。 电子科技大学设有一闭合介质空间区域设有一闭合介质空间区域v v，其内，其内存在时变的电荷、电流和电磁场。存在时变的电荷、电流和电磁场。 jv场的能量密

3、度设为场的能量密度设为 ：t ,wr能量流密度矢量能量流密度矢量 ：t，rs由于时变电磁场的波动特由于时变电磁场的波动特点，闭合空间内部的电磁点，闭合空间内部的电磁场有可能传播到外部，外场有可能传播到外部，外部空间的电磁场也有可能部空间的电磁场也有可能传播到空间内部，闭合空传播到空间内部，闭合空间的内外有可能存在电磁间的内外有可能存在电磁场能量的交流。场能量的交流。 vt ,vtt ,wt ,vvsdddvrfrsrs根据能量守恒定律：根据能量守恒定律： t，rf表示场对荷电系统作用力密度 v 为荷电系统运动速度 表示通过界表示通过界面在单位时面在单位时间内进入间内进入v v内电磁场的内电磁场

4、的能量能量表示单位表示单位时间内空时间内空间区域电间区域电磁场能量磁场能量的增量的增量 区域内区域内场对荷场对荷电系统电系统所作的所作的功率功率 电子科技大学t ,t ,wtrsrvftedhejevevbvevf2hetdetbhhetdeehdhevfttdetbhrtwt，ttt,rhrersvvsvvttdddvfdebhshe表示闭合空间区域v内电磁场能量守恒和转化的关系式，称为poynting定理，其中 称为称为poyntingpoynting矢量矢量 电子科技大学对于线性均匀各向同性介质， hbed,2221ehrt ,w2 电磁场能量的传播poynting定理给出了时变电磁场能

5、量传播的一个新图像，电磁场能量通过电磁场传播。这对于广播电视、无线通信和雷达等应用领域是不难理解的。电子科技大学恒定电流或低频交流电的情况下，恒定电流或低频交流电的情况下， 场量往往是通场量往往是通过电流、电压及负载的阻抗等参数表现，表面上过电流、电压及负载的阻抗等参数表现，表面上给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。给人造成能量是通过电荷在导线内传输的假象。i如能量真是通过如能量真是通过电荷在导线内传电荷在导线内传输，常温下导体输，常温下导体中的电荷运动速中的电荷运动速度约度约10-5m/s，电，电荷由电源端到负荷由电源端到负载端所需时间约载端所需时间约是场传播时间是场传播时间（l/c）

6、的亿万倍）的亿万倍负载只需负载只需经过极短经过极短（t=l/c，其中其中c为光为光速）的时速）的时间就能得间就能得到能量的到能量的供应。供应。 电子科技大学第一节第一节 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程一、时谐场场量的复数表示一、时谐场场量的复数表示v时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。v对于时谐场，其场量对于时谐场，其场量 和和 都是以一定的角频率都是以一定的角频率 随随时间时间t t按正弦规律变化。按正弦规律变化。eh( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )cos( , , )( , , , )( , , )c

7、os( , , )xxmxyymyzzmzex y z tex y ztx y zex y z tex y ztx y ze x y z tex y ztx y z 在直角坐标系下，电场可表示为：在直角坐标系下，电场可表示为：xxyyzzee ee ee e电子科技大学 式中：式中： 为电场在各方向分量的幅度为电场在各方向分量的幅度,xmymzmeeexyz，为电场各分量的初始相位为电场各分量的初始相位由复变函数，知：由复变函数，知： ，则：，则： cos()re()jwtwtere()re()re()re()re()re()xyzjtj txxmxmjtj tyymymjtj tzzmzme

8、e ee eee ee eee ee e式中：式中：xyzjxmxmjymymjzmzmee eee eee e场量上加场量上加点表示为复数点表示为复数。电子科技大学因此时谐场中，电场强度可表示为因此时谐场中，电场强度可表示为xxyyzzee ee ee ere()re()re()jwtjwtjwtxxmyymzzmee eee eee ere()jwtxxmyymzzme ee ee eerejwtme emxxmyymzzmee ee ee e式中：式中：同理，可得：同理，可得：rererererejwtjwtmmjwtjwtmmjwtmdd ejj ehh eebb e电子科技大学二、麦

9、克斯韦方程组的复数形式二、麦克斯韦方程组的复数形式 很明显，对于时谐场很明显，对于时谐场re,rej tj tmmebe eb ejjtt 故由麦克斯韦方程组微分形式，可得：故由麦克斯韦方程组微分形式，可得：0edhjtbetbd ()()0()j tj tmmmj tj tmmj tmj tj tmmh ejj dee ej b eb ed ee ) 为了简化书写，约定为了简化书写，约定 写做写做 ，而，而 项则省略不写，项则省略不写，则方程变为：则方程变为：mbbj te电子科技大学0hjj dej bbd 麦克斯韦方程组复数形式麦克斯韦方程组复数形式注意：注意：1 1）方程中各场量形式上

10、是实数及源量均应为复）方程中各场量形式上是实数及源量均应为复数形式（为了简化书写而略写）。数形式（为了简化书写而略写）。 2 2）方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因）方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因子子 为缺省式子。为缺省式子。 3 3）麦克斯韦方程组复数形式只能用于时谐场。）麦克斯韦方程组复数形式只能用于时谐场。j te说明：说明：场量的复数形式：场量的复数形式：0jee e 场量的实数形式场量的实数形式：0cos()eet电子科技大学 场量的复数形式转换为实数形式的方法：场量的复数形式转换为实数形式的方法：0jee ej te ()0jte e取实部0cos()et三、亥姆霍兹方

11、程三、亥姆霍兹方程 在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则222222,ehehtt 则无源空间的波动方程变为：则无源空间的波动方程变为：22222200eethht222200eehh 亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程电子科技大学 若令：若令： ，则亥姆霍兹方程变为，则亥姆霍兹方程变为22k 222200ek ehk h 说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）。说明：亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）。电子科技大学可以推知，在时谐场中，平均坡印廷矢量可以表示为：可以推知，在时谐场中，平均坡印廷矢量可以表示为：1re2avseh上式中：上式中

12、： 、 为场量的为场量的复数表达式复数表达式；ehh为对场量为对场量 取共轭运算。取共轭运算。h第二节第二节 平均坡印廷矢量平均坡印廷矢量( )( )( )s te th t01( )tavss t dtt 坡印廷矢量瞬时形式：坡印廷矢量瞬时形式： 平均坡印廷矢量：平均坡印廷矢量： 在上面的式子中，在上面的式子中， 和和 均应为实数形式均应为实数形式，即：，即：( )e t( )h t00( )cos(),( )cos()e teth tht电子科技大学211re()re()22jtehehe代入第一式，代入第一式，20111re()re()22tjtavsehehedtt1re()2eh(

13、)( )( )s te th tre rej tj teehe11() () 22j tj tj tj teeeehehe2214jtjteheeheheh e证明：证明：01( )tavss t dtt电子科技大学第三节第三节 理想介质中的均匀平面波理想介质中的均匀平面波v平面波：平面波：波阵面为平面波阵面为平面的电磁波（等相位面为平面）。的电磁波（等相位面为平面）。v均匀平面波：均匀平面波：等相位面为平面等相位面为平面，且在等相位面上，电、，且在等相位面上，电、磁场磁场场量的振幅场量的振幅、方向方向、相位处处相等相位处处相等的电磁波。的电磁波。v在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某

14、些在实际应用中，纯粹的均匀平面波并不存在。但某些实际存在的波型，在远离波源的一小部分波阵面，仍可实际存在的波型，在远离波源的一小部分波阵面，仍可近似近似看作均匀平面波。看作均匀平面波。一、亥姆霍兹方程的平面波解一、亥姆霍兹方程的平面波解 在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区在正弦稳态下，在均匀、各向同性理想媒质的无源区域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：域中，电场场量满足亥姆霍兹方程，即：22220()ek ek 电子科技大学 考虑一种简单情况，即电磁波电场沿考虑一种简单情况，即电磁波电场沿x x方向，波只沿方向，波只沿z z方向传播，则由均匀平面波性质，知方向传播，则由均匀平面波性

15、质，知 只随只随z z坐标变化。坐标变化。则方程可以简化为：则方程可以简化为：e22222220eeek exyz222222222222222222222000 xxxxyyyyzzzzeeek exyzeeek exyzeeek exyz电子科技大学2220 xxek ez 解一元二次微分方程，可得上方程通解为：解一元二次微分方程，可得上方程通解为：jkzjkzxmmee ee e 式中式中: : 、 为待定常数（由边界条件确定）为待定常数（由边界条件确定）. .meme讨论：讨论：1 1、 为通解的为通解的复数表达形式复数表达形式，通解的通解的实数表达形式实数表达形式为：为：jkzjkz

16、xmmee ee ere()cos()cos()jkzjkzj txmmmmee ee eeetkzetkz 2 2、通解的物理意义：、通解的物理意义：波动方程平面波解波动方程平面波解电子科技大学0t4t2t不同时刻不同时刻 的波形的波形xekzkzexex 0 02 23 3 首先考察首先考察 。其。其实数形式为：实数形式为：jkzme ecos()metkz在不同时刻，波形如右图。在不同时刻，波形如右图。从图可知，随时间从图可知，随时间t t增加，波形向增加，波形向+z+z方向平移。故：方向平移。故：jkze表示向表示向+z+z方向传播的均匀平面波；方向传播的均匀平面波；jkze同理可知：

17、同理可知：表示向表示向-z-z方向传播的均匀平面波；方向传播的均匀平面波； 亥姆霍兹方程通解的物理意义：亥姆霍兹方程通解的物理意义：表示沿表示沿z z向向(+z,-z)(+z,-z)方向传播的均匀平面波的合成波。方向传播的均匀平面波的合成波。电子科技大学二、无界理想媒质中均匀平面波的传播特性二、无界理想媒质中均匀平面波的传播特性 在无界媒质中，若均匀平面波向在无界媒质中，若均匀平面波向+z+z向传播，且电场方向传播，且电场方向指向向指向 方向，则其电场场量表达式为：方向，则其电场场量表达式为：xe0(jkzxee e e场量的复数形式）0cos()(xee etkz或场量的实数形式） 电磁波的

18、场量表达式包含了有关波特性的信息。电磁波的场量表达式包含了有关波特性的信息。 1 1、均匀平面波电场场量的一般表达式、均匀平面波电场场量的一般表达式00(cos()(jk rjee eeetk r复数形式）实数形式） 式中：式中： 表示电磁波中表示电磁波中电场的幅度电场的幅度00ee电子科技大学的方向表示电磁波中的方向表示电磁波中电场的方向电场的方向0e表示电磁波动的表示电磁波动的角频率角频率为为波矢量波矢量k为波的为波的初始相位初始相位 2 2、波的频率和周期、波的频率和周期22ff频率：频率：12ttf周期：周期：波数波数k: k: 长为长为 距离内包含的波长数。距离内包含的波长数。22k

19、 3 3、波数、波数k k、波长与波矢量、波长与波矢量k电子科技大学221kf波长波长: :波矢量波矢量 ：表征：表征波传播特性的矢量波传播特性的矢量kkk k式中：式中：k k即为波数即为波数2k即为即为表示波传播方向表示波传播方向的单位矢量。的单位矢量。k 4 4、相位速度（波速）、相位速度（波速）1tz zexex 0 02 23 3 如图所示电磁波向如图所示电磁波向+z+z方方向传播，从波形上可以认向传播，从波形上可以认为是整个波形随着时间变为是整个波形随着时间变化向化向+z+z方向平移。方向平移。12tt0tkz相位：相位：电子科技大学0tkzconst令两边对时间两边对时间t t去

20、导数，得：去导数，得：10pdzdzkvdtdtk讨论：讨论：1 1、电磁波传播的、电磁波传播的相位速度仅与媒质特性相关相位速度仅与媒质特性相关。 2 2、真空中电磁波的相位速度：、真空中电磁波的相位速度：079001114101036pv 803 10 (/ )(pvm sc 光速) 真空中电磁波相位速度为光速真空中电磁波相位速度为光速。电子科技大学13ppvvfff、 = 5 5、场量、场量 ， 的关系的关系eh0jk ree ebej bt 0()jk rjhe e 0()jk rjhjke e hke 为表示波传播方向为表示波传播方向的单位矢量。的单位矢量。k 同理可以推得：同理可以推

21、得：ehk电子科技大学 从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度从公式可知：均匀平面电磁波中电场幅度和磁场幅度之比为一定值。定义之比为一定值。定义电场幅度和磁场幅度比为媒质本征电场幅度和磁场幅度比为媒质本征阻抗阻抗，用，用 表示，即：表示，即：eh媒质本征阻抗媒质本征阻抗 特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：特殊地：真空（自由空间）的本振阻抗为：70090410120377( )11036 结论：结论：在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场在自由空间中传播的电磁波，电场幅度与磁场幅度之比为幅度之比为377377。电子科技大学 说明：说明：1hkeehk、 、 三者相互垂直，且满三者相

22、互垂直，且满足右手螺旋关系。足右手螺旋关系。ehk6 6、能量密度和能流密度、能量密度和能流密度电场能量密度：电场能量密度：212ewe磁场能量密度：磁场能量密度：212mwh2211()22eeemww 结论：结论：理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量理想媒质中均匀平面波的电场能量等于磁场能量。实数表达形式实数表达形式电磁波的能量密度：电磁波的能量密度：22emwwweh电子科技大学k ke eh h小结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性：小结：无界理想媒质中均匀平面波的传播特性：v电场与磁场的振幅相差一个因子电场与磁场的振幅相差一个因子v电场、磁场的时空变化关系相电场、磁场的时空变

23、化关系相同。同。v电场、磁场的振幅不随传播距电场、磁场的振幅不随传播距离增加而衰减。离增加而衰减。v电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。电场和磁场在空间相互垂直且都垂直于传播方向。 、 、 （波的传播方向）满足右手螺旋关系（波的传播方向）满足右手螺旋关系ehk电磁波的能流密度：电磁波的能流密度：211sehekee k20011re()22avsehe ke为电场振幅电子科技大学例例 频率为频率为100mhz100mhz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿想介质中沿+z+z方向传播，介质的特性参数为方向传播，介质的特性参数为 。设电场沿。设电场

24、沿x x方向，即方向，即 。已知：当。已知：当t=0, t=0, z=1/8 z=1/8 m时，电场等于其振幅值时，电场等于其振幅值 。试求试求: :（1 1）波的传播速度、波长、波数；（）波的传播速度、波长、波数；（2 2）电场和磁）电场和磁场的瞬时表达式；场的瞬时表达式； （3 3）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。）坡印廷矢量和平均坡印廷矢量。4,1rrxxee e410/v m0解：由已知条件可知：频率解：由已知条件可知：频率: : 振幅振幅: :100fmhz4010/xev m(1)(1)800111310/2prrvm s 88242101033k电子科技大学21.5mk(2)(2)设

25、设00cos()xee etkz由条件，可知：由条件，可知：4804102103ek，480410cos(210)3xeetz即：由已知条件，可得：由已知条件，可得：440411010cos()380648410cos(210)36xeetzhke电子科技大学481410cos(210)6036zxeetz48410cos(210)6036yetz(3)(3)( )( )( )s te th t828410cos (210)6036zetz01( )tavss t dtt8210/120zew m另解：另解：443610jzjxeee44361060jzjyehe1re2avseh8210/1

26、20zew m电子科技大学第四节第四节 波的极化特性波的极化特性注意：电磁波的极化方式由注意：电磁波的极化方式由辐射源辐射源( (即天线即天线) )的性质的性质决定。决定。一、极化的定义一、极化的定义 波的极化：指空间某固定位置处波的极化：指空间某固定位置处电场强度矢量随时电场强度矢量随时间变化间变化的特性。的特性。 极化的描述：用电场强度矢量极化的描述：用电场强度矢量 终端端点在空间形成终端端点在空间形成的轨迹表示。的轨迹表示。e二、极化的分类：二、极化的分类： 线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端线极化：电场仅在一个方向振动，即电场强度矢量端点的轨迹是一条直线；点的轨迹是一条直线

27、； 椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆（椭椭圆极化：电场强度矢量端点的轨迹是一个椭圆（椭圆的一种特殊情况是圆）圆的一种特殊情况是圆）电子科技大学e=excos(wt-kz)yxo观察平面，观察平面，z=constz 显然，电场的振动方向始终是沿显然，电场的振动方向始终是沿x x轴方向，所以这轴方向，所以这是一个沿是一个沿x x方向的线极化波。方向的线极化波。三、极化的判断三、极化的判断v通过两个相互正交的线极化波叠加，合成得到不同通过两个相互正交的线极化波叠加，合成得到不同的极化方式。的极化方式。v由电磁波电场场量或者磁场场量，可以判断波的极由电磁波电场场量或者磁场场量，可以判断波的极

28、化方式。化方式。yzxo电子科技大学 设均匀平面电磁波向设均匀平面电磁波向+z+z方向传播，则一般情况下，方向传播，则一般情况下，其电场可以表示为：其电场可以表示为：xxyyee ee ecos()cos()xxmxyymyeetkzeetkz式中： 由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选由于空间任意点处电场随时间的变化规律相同，故选取取z=0z=0点作为分析点，即：点作为分析点，即：cos()cos()xxmxyymyeeteet 场量表达式中，场量表达式中， 的取值将决定波的极的取值将决定波的极化方式。化方式。,xmymxyee 电子科技大学1 1、当、当 时时0 xy 或22xx

29、yyxyee ee eeee22cos()xmymeeet电场与电场与x x轴夹角为：轴夹角为：0arctan(arctanarc)t n()aymxxmyymxmyxxyeconsteeeeconste结论：结论：当当 时，电磁波为线极化波时，电磁波为线极化波。 0 xy 或电子科技大学2 2、当、当 且且 时时2xy xmymee22xmymeeeconstcos()cos()sin()2xxmxyymxymxeeteetet22xyeee合成电场的模及其与合成电场的模及其与x x轴夹角为：轴夹角为：(arcta2n()2)xxyxyyxxteet 从上可知：合成电场矢量终端形成轨迹为一圆

30、，电从上可知：合成电场矢量终端形成轨迹为一圆，电场矢量与场矢量与x x轴夹角随时间变化而改变。轴夹角随时间变化而改变。电子科技大学 xytz()2xy e 如图，当如图，当 时，可时，可以判断出：电场矢量终端运动方向以判断出：电场矢量终端运动方向与电磁波传播方向满足右手螺旋关与电磁波传播方向满足右手螺旋关系系右旋极化波。右旋极化波。 2xy 结论：结论：当当 且且xmymee2xy 时，合成波为右旋圆极化波。时，合成波为右旋圆极化波。 同理：同理：当当 且且2xyxmymee时，合成波为左旋圆极化波。时，合成波为左旋圆极化波。说明：上述结论适用于向说明：上述结论适用于向+z+z方向方向传播的均

31、匀平面波。传播的均匀平面波。 对于向对于向z z方向传播的均匀平面波，其波的极化方向传播的均匀平面波，其波的极化旋转方向与向旋转方向与向+z+z方向传播的同幅同相波相反。方向传播的同幅同相波相反。电子科技大学结论：结论：两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量两个频率相同、传播方向相同的正交电场分量的振幅和相位是任意的，则其合成波为椭圆极化波的振幅和相位是任意的，则其合成波为椭圆极化波。说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特说明：圆极化波和线极化波可看作是椭圆极化波的特殊情况。殊情况。3 3、其他情形、其他情形0,xy若令:，则：cos()cos()coscossinsin )xxmy

32、ymymeeteetett（222)()2cossinyyxxymxmxmymeeeeeeee （2cos1 () sinyxxymxmxmeeeeee电子科技大学例例 根据电场表示式判断它们所表征的波的极化形式。根据电场表示式判断它们所表征的波的极化形式。所以，合成波为线极化波。所以，合成波为线极化波。(1)( )jkzjkzxmyme ze je ee je e解：解：02xyxy ，故：(2)( , )sin()cos()xmyme z te etkze etkz解：解：,022xyxy，故：xmymmeee故：合成波为左旋圆极化波。故：合成波为左旋圆极化波。(3)( , )sin()c

33、os()xmyme z te etkze etkz解：合成波为右旋圆极化波。解：合成波为右旋圆极化波。电子科技大学(4)( )jkzjkzxmyme ze e ee je e解：解：( , )cos()cos()2xmyme z te etkze etkz+0,22xyxy xmymmeee故：合成波为右旋圆极化波。故：合成波为右旋圆极化波。(5)( , )sin()cos(40 )xmyme z te etkze etkz+解：合成波为椭圆极化波。解：合成波为椭圆极化波。电子科技大学第五节第五节 导电媒质中的均匀平面波导电媒质中的均匀平面波一、导电媒质中的波动方程一、导电媒质中的波动方程 在

34、无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为在无源的导电媒质区域中，麦克斯韦方程为第一个方程可以改写为第一个方程可以改写为称为称为复介电复介电常数常数或或等效等效介电常数介电常数v导电媒质的典型特征是电导率导电媒质的典型特征是电导率 0 0。v电磁波在其中传播时，有传导电流电磁波在其中传播时，有传导电流 存在，同时存在，同时伴随着电磁能量的损耗，电磁波的传播特性与非导电媒伴随着电磁能量的损耗，电磁波的传播特性与非导电媒质中的传播特性有所不同。质中的传播特性有所不同。jehejeej b 00he()hjej cjeej电子科技大学说明：复介电常数说明：复介电常数cjj其中：其中： ，仅与媒质本身介电常

35、数有关；，仅与媒质本身介电常数有关； ，与媒质本身导电率和波的频率有关；，与媒质本身导电率和波的频率有关； 为了方便为了方便描述导电媒质的损耗特性描述导电媒质的损耗特性，引入，引入媒质损媒质损耗正切角耗正切角(用用 表示表示)的概念。定义：的概念。定义：ctanarctan()ccchjeejb 00he引入等效复介电常数后，麦克斯韦方程组可记做：引入等效复介电常数后，麦克斯韦方程组可记做：电子科技大学推得导电媒质中的波动方程为：推得导电媒质中的波动方程为：222222220000cccceeek ehhhk h 式中：式中： 称为复波数。称为复波数。222cckj 比较损耗媒质中的波动方程和

36、理想介质中的波动方程比较损耗媒质中的波动方程和理想介质中的波动方程可知：方程形式完全相同，差别仅在于可知：方程形式完全相同，差别仅在于 ,cckk二、导电媒质中的波动方程的解二、导电媒质中的波动方程的解 因此，在损耗媒质中波动方程对应于沿因此，在损耗媒质中波动方程对应于沿+z方向传播的方向传播的均匀平面波解为：均匀平面波解为： cjk zxxmee e e 式中：式中： ，为复数。，为复数。 2cck 电子科技大学 可建立方程组：可建立方程组： 令令 , 则由则由 ckj222cckj 2222 22 1 ()12 1 ()12()jjzzjzxxmxxmee e ee e ee 所以损耗媒质

37、中波动方程解可以写为：所以损耗媒质中波动方程解可以写为： 写成写成实数形式实数形式（瞬时形式瞬时形式），得：），得： ( , )cos()zxxme z te e etz电子科技大学三、导电媒质中的平面波的传播特性三、导电媒质中的平面波的传播特性 1、波的振幅和传播因子、波的振幅和传播因子 振幅：振幅： 随着波传播随着波传播(z增加增加)，振幅不断减小振幅不断减小。zxme e传播因子：传播因子： 波为波为均匀平面波均匀平面波（行波行波）。）。jze 2、幅度因子和相位因子、幅度因子和相位因子 只影响波的振幅，故称为只影响波的振幅，故称为幅度因子幅度因子；只影响波的相位，故称为只影响波的相位，

38、故称为相位因子相位因子；其意义；其意义与与k相同，即为损耗媒质中的相同，即为损耗媒质中的波数波数。 3、相位速度（波速）、相位速度（波速） 在理想媒质中：在理想媒质中： 1pcvkf电子科技大学 在损耗媒质中：在损耗媒质中： pv 很明显：损耗媒质中波的相速与波的很明显：损耗媒质中波的相速与波的频率有关频率有关。 色散现象色散现象：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的：波的传播速度（相速）随频率改变而改变的现象。具有色散效应的波称为色散波。现象。具有色散效应的波称为色散波。 结论：结论：导电媒质导电媒质（损耗媒质损耗媒质）中的电磁波为色散波中的电磁波为色散波。 4 4、场量、场量 ， 的关系

39、的关系eh 可以推知：在导电媒质中，场量可以推知：在导电媒质中，场量 ， 之间关系与在之间关系与在理想介质中场量间关系相同，即：理想介质中场量间关系相同，即： eh式中：式中： 为波传播方向为波传播方向 1chkecehkk 为导电媒质本征阻抗为导电媒质本征阻抗 cc电子科技大学讨论：讨论：(1) 、 、 三者相互垂直，且满足右手螺旋关系三者相互垂直，且满足右手螺旋关系ehk (2) cc1arctan2jcej 在导电媒质中，电场和磁场在空间中不同相。在导电媒质中，电场和磁场在空间中不同相。电场相位超前磁场相位电场相位超前磁场相位 。1arctan2j小结：无限大导电媒质中电磁波的特性：小结

40、：无限大导电媒质中电磁波的特性： 1 1、为横电磁波（、为横电磁波（temtem波），波），、 、 三者满足右手螺旋关三者满足右手螺旋关系系ehk2 2、电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；、电磁场的幅度随传播距离的增加而呈指数规律减小；3 3、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；、电、磁场不同相，电场相位超前于磁场相位；4 4、是色散波。波的相速与频率相关。、是色散波。波的相速与频率相关。电子科技大学四、媒质导电性对场的影响四、媒质导电性对场的影响 对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由对电磁波而言，媒质的导电性的强弱由 决定。决定。111良导体弱导体半导体 从上可知：媒质是良导体

41、还是弱导体，与电磁波的频从上可知：媒质是良导体还是弱导体，与电磁波的频率有关，是一个率有关，是一个相对相对的概念。的概念。 1 1、良导体中的电磁波、良导体中的电磁波 在良导体中，在良导体中， ，则前面讨论得到的，则前面讨论得到的 ， 近似为近似为 11122ff电子科技大学411jjejjc 重要性质：重要性质：在良导体中，电场相位超前磁场相位在良导体中，电场相位超前磁场相位4 在良导体中，衰减因子在良导体中，衰减因子 。对于一般的高频。对于一般的高频电磁波电磁波(ghz)(ghz)，当媒质导电率较大时，当媒质导电率较大时， 往往很大，电磁往往很大，电磁波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、

42、磁场场量的振波在此导电媒质中传播很小的距离后，电、磁场场量的振幅将衰减到很小。幅将衰减到很小。f 因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体因此：电磁波只能存在于良导体表层附近，其在良导体内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成内激励的高频电流也只存在于导体表层附近，这种现象成为为趋肤效应趋肤效应。 我们用我们用趋肤深度趋肤深度( (穿透深度穿透深度) )来表征良导体中趋肤效应的来表征良导体中趋肤效应的强弱。强弱。电子科技大学 趋肤深度趋肤深度 ：电磁波穿入良导体中，：电磁波穿入良导体中，当波的幅度下降为表面处振幅的当波的幅度下降为表面处振幅的 时，波在良导体中传播的距离，称为

43、时，波在良导体中传播的距离，称为趋肤深度趋肤深度。1e jkze1zjzee1e111eef 2 2、弱导体中的电磁波、弱导体中的电磁波 在良导体中，在良导体中， ，则前面讨论得到的，则前面讨论得到的 ， 近似为近似为 1,2 在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近在弱导电媒质中，仍存在能量损耗，波的相位常数近似等于理想媒质中波的相位常数，似等于理想媒质中波的相位常数，电子科技大学第六节第六节 均匀平面波对分界面的垂直入射均匀平面波对分界面的垂直入射v本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界本节讨论单一频率均匀平面波在两个半无界介质分界面上的反射与透射，设分界面为无限大平面，分界

44、面位面上的反射与透射，设分界面为无限大平面，分界面位于于z z=0=0处。处。 本节以入射波为本节以入射波为x x方向的线极化波为例进行讨论。方向的线极化波为例进行讨论。一、对理想导体的分界面的垂直入射一、对理想导体的分界面的垂直入射x+e+h e h入入反反2 yz10 设左半空间是理想介质，设左半空间是理想介质， 1 10 0；右半空间为理想导体，右半空间为理想导体， 2 2。分界面在。分界面在 z z = 0 = 0 平面上。平面上。 理想介质内将存在入射波和反理想介质内将存在入射波和反射波。射波。电子科技大学设入射波电场为设入射波电场为jkzxmee e e设反射波电场为设反射波电场为

45、jkzxmee e e则入射波磁场为则入射波磁场为11jkzzxmjkzymhee e ee e e则反射波磁场为则反射波磁场为1()1jkzzxmjkzymhee e ee e e由理想导体边界条件可知：由理想导体边界条件可知：0te 0()0 xxzee0mmeemmee 反射波电场为：反射波电场为：jkzxmee e e 电子科技大学理想媒质中的合成场为：理想媒质中的合成场为：()jkzjkzxmeeee eee合()jkzjkzmyehhheee合2sinxmjeekz 2cosymeekz合成波场量的实数表达式为：合成波场量的实数表达式为：re2sin2sinsinj txmxmej

46、eekzeeekzt合22recoscoscosj tymymheekzeeekzt合电子科技大学讨论：讨论：1、合成波的性质：、合成波的性质：v 对任意时刻对任意时刻t t，在在合成波电场皆为零合成波电场皆为零 0,1,2,.2znznn 或或v对任意时刻对任意时刻t t，在在 合成波磁场皆为零合成波磁场皆为零 21210,1,2,.24bznznn 或或zex0232zhy043454zhy043454zex0232合成波的性质：合成波的性质： v合成波为纯驻波合成波为纯驻波v振幅随距离变化振幅随距离变化v电场和磁场最大值和电场和磁场最大值和最小值位置错开最小值位置错开 / /4 4v电场

47、和磁场原地振荡，电场和磁场原地振荡，电、磁能量相互转化。电、磁能量相互转化。电子科技大学2、导体表面的场和电流、导体表面的场和电流002sinsin0 xmzzeeekzt合0022coscoscosymymzzheekzteet合在理想导体表面的感应面电流为：在理想导体表面的感应面电流为：022coscosmszymxzejnheeetet 合3、合成波的平均能流密度、合成波的平均能流密度1re2avseh合合14resincos02zme jekzkz结论：合成波结论：合成波(驻波驻波)不传播电磁能量，只存在能量转化。不传播电磁能量，只存在能量转化。电子科技大学二、对两种理想介质分界面的垂

48、直入射二、对两种理想介质分界面的垂直入射xrerhieih入入反反1 12 2yzteth透透设左、右半空间均为理想介质，设左、右半空间均为理想介质， 1 1 2 20 0。电磁波在介质分界面。电磁波在介质分界面上将发生上将发生反射反射和和透射透射。透射波在。透射波在介质介质2 2中将继续沿中将继续沿z z方向传播。方向传播。设入射波电场为设入射波电场为(一般已知一般已知)1jk ziximee e e11jk zimiyehee设反射波电场为设反射波电场为1jk zrxrmee e e11jk zrmryehee 11 1k 设透射波电场为设透射波电场为2jk ztxtmee e e22jk

49、 ztmtyehee222k 电子科技大学由两种理想介质边界条件可知：由两种理想介质边界条件可知：12001200()()ttixrxtxzzttiyrytyzzeeeeehhhhh媒质媒质1中总的电场、磁场为：中总的电场、磁场为：11()jk zjk zirximrmeeee e ee e合1111()jk zjk ziryimrmhhhee ee e合1211()imrmtmimrmtmeeeeee12122122rmimtmimeeee式中：式中： ， 为媒质为媒质1、2的本征阻抗。的本征阻抗。12电子科技大学定义：定义：反射系数反射系数1212rmimee 透射系数透射系数2122tm

50、imee1jk zriximeeee e则则2jk ztiximeeee e媒质媒质1中合成波为：中合成波为：()jkzjkzirximeeee eee合11(1)2sinjk zxime eejk z电子科技大学讨论：讨论：1、媒质、媒质1中合成波的传播特点：中合成波的传播特点：v前一项包含行波因子前一项包含行波因子 ，表示振幅为，表示振幅为(1+(1+ ) )e eimim、沿、沿+ +z z方向传播的行波；方向传播的行波；jkzev后一项是后一项是振幅为振幅为2 eim的驻波；的驻波；v合成波为合成波为行驻波行驻波（混合波）：相当于一个行波叠加在（混合波）：相当于一个行波叠加在一个驻波上

51、，电场的中心值不再是零，出现波节，但波一个驻波上，电场的中心值不再是零，出现波节，但波节点场值不为零。节点场值不为零。 2、反射系数和透射系数关系为：、反射系数和透射系数关系为：1221212211 当媒质当媒质2为理想导体时，为理想导体时， ，可知，可知 01 电磁波垂直入射到理想导体面上时，反射系数为电磁波垂直入射到理想导体面上时，反射系数为1。 电子科技大学 3、当分界面两边为导电媒质时，媒质本征阻抗为、当分界面两边为导电媒质时，媒质本征阻抗为复数，即复数，即 均为复数，故：均为复数，故：12, 1212rmimee2122tmimee也为复数。也为复数。 在导电媒质两边，入射波和反射波

52、、入射波和透在导电媒质两边，入射波和反射波、入射波和透射波不同相射波不同相。电子科技大学第七节第七节 均匀平面波对分界面的斜入射均匀平面波对分界面的斜入射v电磁波垂直入射时，电场和磁场总是平行分界面的。电磁波垂直入射时，电场和磁场总是平行分界面的。v斜入射时，传播方向与分界面法向不平行，电场或磁斜入射时，传播方向与分界面法向不平行，电场或磁场可能与分界面不平行。场可能与分界面不平行。yxeeiek入射角入射角 i入射面入射面分界面分界面介质介质2介质介质1入射方向入射方向z一、几个重要概念一、几个重要概念v入射面入射面：入射射线与：入射射线与分界面法线构成的平面。分界面法线构成的平面。v平行极

53、化入射平行极化入射：入射波电场：入射波电场方向平行于入射面的入射方式。方向平行于入射面的入射方式。v垂直极化入射垂直极化入射：入射波电场：入射波电场方向垂直于入射面的入射方式。方向垂直于入射面的入射方式。v入射角入射角：入射射线与：入射射线与分界面法线夹角。分界面法线夹角。电子科技大学二、反射定律和折射定律二、反射定律和折射定律xkin i分界面分界面21z r tkrkt 电磁波斜入射到介质分解面电磁波斜入射到介质分解面上时，将发生上时，将发生反射反射和和折折( (透透) )射射现象。反射波和透射波的现象。反射波和透射波的传播传播方向遵循反射定律和折射定律方向遵循反射定律和折射定律。斯耐尔斯

54、耐尔反射定律反射定律：ir斯耐尔斯耐尔折射定律折射定律：221 1sinsinit 三、垂直极化波对理想介质分界面的斜入射三、垂直极化波对理想介质分界面的斜入射 设设z0空间分别为两个半无限完纯介质。设入、空间分别为两个半无限完纯介质。设入、反、透射三波的传播方向分别为反、透射三波的传播方向分别为ei、er、et，且且ki=eik1， kr=erk1， kr=erk2，有，有电子科技大学xein i分界面分界面21z i terethieierhrhtet 112irtjkiimjkrrmjkttmeee ererere reereere 入：入：反：反：透：透：设：设：则：则： 112irt

55、jkiimjkrrmjkttmeee erererh rhhrhh rh 入：入：反：反：透：透：在边界面上，有在边界面上，有1100sin,siniirrzzk rk xk rk x20sinttzk rk x由斯耐尔折射定律，知三者相等。即：由斯耐尔折射定律，知三者相等。即：1000sinirtizzzk rk rk rk xk电子科技大学 由边界条件可知，在边界面上由边界条件可知，在边界面上1212,tttteehh可得：可得：()coscosimrmtmimrmitmteeehhh2121221coscoscoscos2coscoscositriittiiiteeee菲涅尔公式菲涅尔公式若媒质为非磁性媒质，即：若媒质为非磁性媒质，即：121rr电子科技大学1212coscossincossincossincossincoscoscossin()sin()ittiittiitittitisin/sintin2cossinsin()ititv 0 0，入、透射波同相入、透射波同相v 2 2 1 1时时, , i i t t , , 0,0,入、入、反射波同相反射波同相v 2 2 1 1时时, , i i t t , , 0,0,入、入、反射波反相反射波反相，半波损失半波损失同理：同理：说明：说明：1 1）12 2）入射波、反射