2021届高考数学一轮复习05推理与证明2学案理

1、第五课时证明课前预习案丄考纲要求1. 了解直接证明的两种根本方法一一分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。2. 了解间接证明的一种根本方法一一反证法；了解反证法的思考过程、特点.3. 会用分析法，综合法，反证法证明简单的命题。4. 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。心' 根底知识梳理一、直接证明直接从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法叫直接证明直接证明有两种根本方法综合法和分析法.1 综合法：是由原因推导到结果的证明方法，它是利用条件和某些数学定义、公理、定 理等，经过一系列的 ，最后推导出所要证明的结论 的证明方法.2分析法：是从 出发

2、，逐步寻求使每一步结论成立的 ，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件条件、定义、公理、定理等 为止的证明方法.二、间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法.1 反证法的定义：一般地，假设原命题的结论 ，经过正确的推理，最后得出 由此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的方法叫反证法.2用反证法证明的一般步骤：1反设一一假设命题的结论不成立；2归谬一一根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；3结论一一断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立.三、数学归纳法一般的，证明一个与正整数 n有关的命题，可按以下步骤进行：1归纳奠基：验证当n取第一个值

3、n0时结论成立；2归纳递推：假设当n k k N*：且k n。时结论成立，推出n k 1时结论也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从no开始的所有自然数 nn n。都成立，这种证明方法叫做数学归纳法。J、预习自测1.用反证法证明：假设整系数一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)有有理根，那么 a、b、c中至少有个偶数，以下假设中正确的选项是()A.假设a、b、c都是偶数B.假设a、b、c都不是偶数C.假设a、b、c至多有一个偶数D. 假设a、b、c至多有两个偶数2.(教材改编题)用反证法证明命题:a,b N,ab可被5整除，那么a,b中至少有一个能被5整除时，假设的内容应为()A.

4、 a,b都能被5整除B. a,b都不能被5整除C. a,b不都能被5整除D. a不能被5整除3. 假设a b 0，那么以下不等式中成立的是()A 1 11b1,11b b 1A.B. aC.b a -D .a bb1a1aba a 114.用数学归纳法证明:11L 1111L2n,2342n1 2nn 1 n 2第步应验证左式疋5右式是.课堂探究案7典型例题 考点一综合法【典例1】对于定义域为0,1的函数f(x)，如果同时满足以下三条:(1) 对任意的x 0,1，总有f (x)0 ；(2) f (1)1;(3) 假设 x1 0, x2 0, x1 x2 1，都有 f (x1 x2)f (x1)

5、 f (x2)成立，那么称函数f (x)为理想函数，g(x) 2x 1 ( x 0,1)是否为理想函数，如果是，请予证 明；如果不是，请说明理由。【变式1】 本例中条件不变，问题变为"假设函数f(x)为理想函数，求 f (0)考点二分析法腆例2】非零向量a,b，且a b，求证：廿1迂【变式2】m 0, a,b R,求证:a mb 2(a2 mb2考点三反证法【典例3】数列 an满足：a1,an23an其中为实数,n为正整数,对任意实数证明：数列 an不是等比数列。考点四数学归纳法不等式：1,1115 2，你能得到一个怎样的一般不等式?并加以证明。课后拓展案7 A组全员必做题1.命题“

6、对于任意角cos44sincos 2的证明如下：4. 4cossin(cos2sin2 )( cos2sin2 ) cossin 2Cos2该过程用了A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法2.要证:a2 b21a2b20只要证明A. 2ab 1 a2b2B.b2C.(a b)2 1 2D. (a2 1)(b2 1)01bA.都不大于-2 B.都不小于-23.设 a b c (0)那么aC.至少有一个不大于-2D.至少有一个不小于-24. 用数学归纳法证明当 n为正奇数时yn能被x+y整除的第二步是A.假设n=2k+1时正确，再推n=2k+3时正确其中k N B. 假设n=

7、2k-1时正确，再推n=2k+1时正确其中k NC. 假设n=k时正确,再推n=k+1时正确其中k N D.假设n kk 1时正确,再推n=k+2时正确其中k N5.用数学归纳法证明：当n+1 n+2n n 2n 132n 1时，从 k到k+1增乘的代数式是A.2k+1B.廿C.2(2k+1)D.2kk左边需216.要证明 3. 72 5可选择的方法有以下几种，其中最合理的是A.综合法 B. 分析法C.反证法D.归纳法* B组提高选做题1. 用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于600 时,假设正确的选项是A.假设三内角都不大于60° B.假设三内角都大于 60°

8、C.假设三内角至多有一个大于60oD.假设三内角至多有两个大于60 °2.f (n)A.f (n) 中哄有n项,当n=2时f (2)B.f (n) 中哄有n+1 项，当 n=2 时f(2)2 3C.f n中共有n2n 项，当 n=2 时 f (2)11112343. 设a=£ + 2迈，b= 2+羽，贝U a, b的大小关系为 .4. 用反证法证明命题“如果 a>b,那么3 a 3 b 时，假设的内容是D.f n中共有n2n 1 项，当 n=2 时 f (2)参考答案1.B2. B3. C4. 1预习自测【典例1】解：g(x) 2X1(x0,1)为理想函数下面证明:(

9、1)： X0,1 , 2x1,2，故 g(x) 2x 10,1 ,即 g(x) 0 (3)假设x,0,X20 ,X1X21 那么 g(x1X2)2x1 X21, g(N) gX)2X1 1 2X2故 g(X1x2)g(x1)gg)2x.2x12X2 1(2x11)(2x21) .2x1, 21 ,- gXX2)g(xjgX)由(1)(2) ( 3)可知g(x)2X 1(x0,1 )为理想函数【变式1】解：令x1x20，那么 f (0)f(0)f(0),又 f (0)0 ,f(0)0 【典例2】证明:.ab ,a b 0 要证冋1b| la b|2,只需证 |a|b|-.2 |a b|：只需证a

10、2 b22|a|b|2a22b24ab , 2 a2|a|b|1 b20 ,即(|a |b|)20 , g(1)1 f (0)0 上式成立，原不等式得证.2 11.【变式2】证明:要证明(a鸣21 ma2mb21 m只需证a2 2mab m2b2(1m)2a2 ma2 mb2m)2m2b2只需证2mabma2 mb只需证m(a b)20,(1 m二 m(a b)20 成立.原不等式成立.【典例3】证明:a22/2a3(3 32/a4-(3 93)4)假设数列an 49得9 0,假设错误,49827113是等比数列,4 29 4- 29显然不成立.故数列an不是等比数列.【典例4】解：猜想：1F面利用数学归纳法证明：11时，1 成立;2当n假设当那么n1 12k2k22a2aia3.12nnk时，不等式成立，即k1312k12k 1