高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标课件2北师大版必修

1、2.4 2.4 平面向量的坐标平面向量的坐标【知识提炼知识提炼】1.1.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示(1)(1)向量向量a的坐标：的坐标：_. .(2)(2)全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间的关系是_的的. .a=(=(x,yx,y) )一一对应一一对应2.2.平面向量线性运算的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示设设a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),则则类别类别 坐标运算坐标运算 语言表述语言表述 向量的加法坐标向量的加法坐标表示表示 a+ +b= =_向量和与差的坐标分别等于向量

2、和与差的坐标分别等于各向量相应坐标的各向量相应坐标的_向量的减法坐标向量的减法坐标表示表示 a- -b= =_实数与向量积的实数与向量积的坐标表示坐标表示 a=_=_ 实数与向量积的坐标分别等实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的于实数与向量的相应坐标的_ _ (x(x1 1+x+x2 2,y,y1 1+y+y2 2) )(x(x1 1-x-x2 2,y,y1 1-y-y2 2) )和与差和与差( (x x1 1, ,y y1 1) )乘积乘积类别类别 坐标运算坐标运算 语言表述语言表述 有向线段的坐标有向线段的坐标表示表示 设设a(xa(x1 1,y,y1 1) )，b(xb(x2

3、 2,y,y2 2),),则则=_-_=_-_=_=_ 一个向量的坐标一个向量的坐标等于等于_aboboa (x(x2 2,y,y2 2) )(x(x1 1,y,y1 1) )(x(x2 2-x-x1 1,y,y2 2-y-y1 1) )其终点的相其终点的相应坐标减去起点应坐标减去起点的相应坐标的相应坐标3.3.向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示(1)(1)公式：设公式：设a, ,b是非零向量，且是非零向量，且a=(x=(x1 1,y,y1 1),),b=(x=(x2 2,y,y2 2),),ab_._.若若y y1 100且且y y2 200，则上式可表示为，则上式可表示为ab . .(2

4、)(2)文字语言：文字语言：定理定理1 1：若两个向量：若两个向量( (与坐标轴不平行与坐标轴不平行) )平行，则它们相应的平行，则它们相应的坐标坐标_._.定理定理2 2：若两个向量相对应的坐标：若两个向量相对应的坐标_，则它们平行，则它们平行. .x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=01212xxyy成比例成比例成比例成比例【即时小测即时小测】1.1.思考下列问题思考下列问题: :(1)(1)如果向量的坐标已知如果向量的坐标已知, ,能确定向量的位置吗能确定向量的位置吗? ?提示提示: :不能不能. .向量的坐标只能确定其方向及模长向量的坐标只能确定其方向及模长, ,平

5、面向量不受位置约平面向量不受位置约束束. .(2)(2)对于平行向量对于平行向量, ,如何根据其坐标判断两个向量同向还是反向如何根据其坐标判断两个向量同向还是反向? ?提示提示: :由由(x(x1 1,y,y1 1)=)=(x(x2 2,y,y2 2),),当当00时时, ,两向量同向两向量同向; ;当当00时时, ,两向量两向量反向反向. .2.2.已知已知a(1,3),b(2,1),a(1,3),b(2,1),则则 的坐标是的坐标是( () )a.(-1,2)a.(-1,2)b.(2,-1)b.(2,-1)c.(1,-2)c.(1,-2)d.(-2,1)d.(-2,1)【解析解析】选选a.

6、a.向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标向量的坐标等于终点坐标减去始点坐标, ,故故 =(1,3)=(1,3)-(2,1)=(-1,2).-(2,1)=(-1,2).ba ba 3.3.已知向量已知向量a=(1,2),=(1,2),b=(3,1),=(3,1),则则b- -a= =( () )a.(-2,1)a.(-2,1)b.(2,-1)b.(2,-1)c.(2,0)c.(2,0)d.(4,3)d.(4,3)【解析解析】选选b.b.向量的减法是横坐标的差作为横坐标向量的减法是横坐标的差作为横坐标, ,纵坐标的差作为纵坐标的差作为纵坐标纵坐标. .故故b- -a=(3,1)-(1,2)=(2,-

7、1).=(3,1)-(1,2)=(2,-1).4.4.已知平面上三点已知平面上三点a(2,-4),b(0,6),c(-8,10),a(2,-4),b(0,6),c(-8,10),则则 的坐标的坐标是是_._.【解析解析】因为因为 =(-8,10)-(2,-4)=(-10,14), =(-8,10)-(0,6) =(-8,10)-(2,-4)=(-10,14), =(-8,10)-(0,6) =(-8,4),=(-8,4),所以所以 =(-5,7)-(-2,1)=(-3,6). =(-5,7)-(-2,1)=(-3,6).答案答案: :(-3,6)(-3,6)11acbc24 ac bc 111

8、1acbc10,148,42424 （） （）5.5.已知已知a(-1,-2),b(2,3),c(-2,0),d(x,y),a(-1,-2),b(2,3),c(-2,0),d(x,y),且且 则则x+yx+y=_.=_.【解析解析】因为因为 =(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), =(x,y)-(2,3)=(-2,0)-(-1,-2)=(-1,2), =(x,y)-(2,3)=(x-2,y-3),(x-2,y-3),又又 即即(2x-4,2y-6)=(-1,2),(2x-4,2y-6)=(-1,2), 答案答案: :ac 2bd ，ac bd 2bd ac ，32x41x11xy.22

9、y622y4 ， ，所以解得故 ， ，112【知识探究知识探究】知识点知识点1 1 向量的坐标及其线性运算向量的坐标及其线性运算观察如图所示内容观察如图所示内容, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:点的坐标与向量坐标有区别吗点的坐标与向量坐标有区别吗? ?问题问题2:2:相等向量的坐标相同吗相等向量的坐标相同吗? ?相等向量的起点、终点一定相同吗相等向量的起点、终点一定相同吗? ?【总结提升总结提升】1.1.对平面向量坐标表示的三点说明对平面向量坐标表示的三点说明(1)(1)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关, ,而与它们的具体位置而与它

10、们的具体位置无关无关. .(2)(2)向量确定后向量确定后, ,向量的坐标就被确定了向量的坐标就被确定了. .(3)(3)引入向量的坐标表示以后引入向量的坐标表示以后, ,向量就有两种表示方法向量就有两种表示方法: :一种是几何法一种是几何法, ,即用向量的长度和方向表示即用向量的长度和方向表示; ;另一种是坐标法另一种是坐标法, ,即用一对有序实数表示即用一对有序实数表示. .有了向量的坐标表示有了向量的坐标表示, ,就可以将几何问题转化为代数问题来解决就可以将几何问题转化为代数问题来解决. .2.2.点的坐标与向量坐标的区别与联系点的坐标与向量坐标的区别与联系(1)(1)区别区别表示形式不

11、同表示形式不同, ,向量向量a=(=(x,yx,y) )中间用等号连接中间用等号连接, ,而点的坐标而点的坐标a(x,ya(x,y) )中中间没有等号间没有等号. .意义不同意义不同, ,点点a(x,ya(x,y) )的坐标的坐标( (x,yx,y) )表示点表示点a a在平面直角坐标系中的位在平面直角坐标系中的位置置, ,a=(=(x,yx,y) )的坐标的坐标( (x,yx,y) )既表示向量的大小既表示向量的大小, ,也表示向量的方向也表示向量的方向, ,另外另外( (x,yx,y) )既可以表示点既可以表示点, ,也可以表示向量也可以表示向量, ,叙述时应指明点叙述时应指明点( (x,

12、yx,y) )或向量或向量a=(=(x,yx,y).).(2)(2)联系联系当平面向量的起点在原点时当平面向量的起点在原点时, ,平面向量的坐标与向量终点的坐标相同平面向量的坐标与向量终点的坐标相同. .3.3.向量的三种运算体系向量的三种运算体系(1)(1)图形表示下的几何运算图形表示下的几何运算: :此运算体系下要注意三角形法则、平行四此运算体系下要注意三角形法则、平行四边形法则的应用边形法则的应用. .(2)(2)字母表示下的几何运算字母表示下的几何运算: :此运算体系下一方面要注意运算律的应用此运算体系下一方面要注意运算律的应用, ,另一方面要注意另一方面要注意 等运算法则的应用等运算

13、法则的应用. .(3)(3)坐标表示下的代数运算坐标表示下的代数运算: :此运算体系下要牢记公式此运算体系下要牢记公式, ,且细心运算且细心运算. .若若已知有向线段两个端点的坐标已知有向线段两个端点的坐标, ,则应先求出向量的坐标则应先求出向量的坐标, ,再进行坐标运再进行坐标运算算. .oa aboboa obba ， 知识点知识点2 2 向量平行的坐标表示向量平行的坐标表示观察如图所示内容观察如图所示内容, ,回答下列问题回答下列问题: :问题问题1:1:两向量平行的条件两向量平行的条件 与与x x1 1y y2 2-x-x2 2y y1 1=0=0有何区别有何区别? ?问题问题2:2:

14、向量平行的坐标表示有何作用向量平行的坐标表示有何作用? ?1122xyxy【总结提升总结提升】1.1.对向量平行的三种理解对向量平行的三种理解(1)(1)ab( (b0) )a= =b. .这是几何运算这是几何运算, ,体现了向量体现了向量a与与b的长度及方的长度及方向之间的关系向之间的关系. .(2)(2)aba a1 1b b2 2-a-a2 2b b1 1=0,=0,其中其中a=(a=(a1 1,b,b1 1),),b=(a=(a2 2,b,b2 2).).这是代数运算这是代数运算, ,由于由于不需引进参数不需引进参数,从而简化了代数运算从而简化了代数运算. .(3)(3)ab 其中其中

15、a=(a=(a1 1,b,b1 1),),b=(a=(a2 2,b,b2 2) )且且b b1 10,b0,b2 20.0.即两向即两向量的对应坐标成比例量的对应坐标成比例. .通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示, ,而且不易出现搭配错误而且不易出现搭配错误. .2.2.三点共线问题三点共线问题已知已知a(xa(x1 1,y,y1 1),b(x),b(x2 2,y,y2 2),c(x),c(x3 3,y,y3 3),),(1)(1)当当(x(x2 2-x-x1 1)(y)(y3 3-y-y1 1)-(x)-(x3 3-x-x1 1)(y)(y2 2-y

16、-y1 1)=0)=0时三点共线时三点共线. .(2)(2)若存在实数若存在实数使使 则三点共线则三点共线. .1212aabb，abac ，【题型探究题型探究】类型一类型一 平面向量的坐标表示及线性运算平面向量的坐标表示及线性运算【典例典例】1.1.已知已知 =(1,2),a(3,4),=(1,2),a(3,4),则则b b点坐标是点坐标是_._.2.(1)2.(1)已知平面上三个点已知平面上三个点a(4,6),b(7,5),c(1,8),a(4,6),b(7,5),c(1,8),求求(2)(2)已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(-3,4),=(-3,4),求向量求向量a+ +b,

17、 ,a- -b,3,3a-4-4b的坐标的坐标. .ab abac ab ac ， ， ，1ab ac 2abac.2 ，【解题探究解题探究】1.1.向量的坐标与起点坐标、终点坐标的关系是什么向量的坐标与起点坐标、终点坐标的关系是什么? ?提示提示: :向量的坐标等于终点坐标减起点坐标向量的坐标等于终点坐标减起点坐标. .2.2.向量的线性运算有何特征向量的线性运算有何特征? ?提示提示: :向量的线性运算是横坐标与横坐标及纵坐标与纵坐标之间的运向量的线性运算是横坐标与横坐标及纵坐标与纵坐标之间的运算算. .【解析解析】1.1.设设b b点的坐标为点的坐标为( (x,yx,y),),则则=(x

18、-3,y-4)=(1,2).=(x-3,y-4)=(1,2).所以所以 所以所以b b点的坐标是点的坐标是(4,6).(4,6).答案答案: :(4,6)(4,6)x3 1x4y42y6. ， ，解得 ，2.(1)2.(1)因为因为a(4,6),b(7,5),c(1,8).a(4,6),b(7,5),c(1,8).所以所以 =(7,5)-(4,6)=(3,-1),=(7,5)-(4,6)=(3,-1), =(1,8)-(4,6)=(-3,2), =(1,8)-(4,6)=(-3,2), =(3,-1)+(-3,2)=(0,1), =(3,-1)+(-3,2)=(0,1), =(3,-1)-(-

19、3,2)=(6,-3), =(3,-1)-(-3,2)=(6,-3), =2(3,-1)+ (-3,2) =2(3,-1)+ (-3,2) ab ac ab ac ab ac 12abac2 1239(62)1, 1.22 ， (， )()(2)(2)a+ +b=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),=(1,2)+(-3,4)=(-2,6),a- -b=(1,2)-(-3,4)=(4,-2),=(1,2)-(-3,4)=(4,-2),3 3a-4-4b=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10).=3(1,2)-4(-3,4)=(15,-10).【方法技巧方法技巧】平面向量坐标运算的技巧

20、平面向量坐标运算的技巧(1)(1)若已知向量的坐标若已知向量的坐标, ,则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行法则进行. .(2)(2)若已知有向线段两端点的坐标若已知有向线段两端点的坐标, ,则可先求出向量的坐标则可先求出向量的坐标, ,然后再进然后再进行向量的坐标运算行向量的坐标运算. .(3)(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. .【拓展延伸拓展延伸】坐标形式下的向量相等的条件及其应用坐标形式下的向量相等的条件及其应用(1)(1)条件条件: :相等向量的对应坐标相等相等向量的对应坐标相等

21、. .(2)(2)应用应用: :利用坐标形式下向量相等的条件利用坐标形式下向量相等的条件, ,可以建立相等关系可以建立相等关系, ,由此可由此可求某些参数的值求某些参数的值. .【变式训练变式训练】已知已知a=(x+3y,2x+y+2),=(x+3y,2x+y+2),b=(y-2x+1,3x-y+7),=(y-2x+1,3x-y+7),若若a= =b, ,求求实数实数x,yx,y的值的值. .【解析解析】由题意由题意, ,可列方程组可列方程组 x3yy2x 13x2y 1x12xy23xy7.x2y5y2. ， ， ，即解得 ，类型二类型二 平面向量平行的坐标表示及其应用平面向量平行的坐标表示

22、及其应用【典例典例】已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(-3,2),=(-3,2),当当k k为何值时为何值时, ,k ka+ +b与与a-3-3b平行平行? ?【解题探究解题探究】典例中典例中k ka+ +b与与a-3-3b的坐标分别是什么的坐标分别是什么? ?提示提示: :k ka+ +b=(k-3,2k+2),=(k-3,2k+2),a-3-3b=(10,-4).=(10,-4).【解析解析】方法一方法一: :k ka+ +b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-

23、4),=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当当k ka+ +b与与a-3-3b平行时平行时, ,存在唯一实数存在唯一实数,使使k ka+ +b=(=(a-3-3b).).即即(k-3,2k+2)=(10,-4),(k-3,2k+2)=(10,-4),所以所以 所以当所以当k=- k=- 时时, ,k ka+ +b与与a-3-3b平行平行, ,k3 101k.2k243 ，解得 ，13方法二方法二: :由方法一知由方法一知k ka+ +b=(k-3,2k+2),=(k-3,2k+2),a-3-3b=(10,-4),=(10,-4),因为因为k ka+ +b与与a-3-3b平行平行, ,

24、所以所以(k-3)(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,(-4)-10(2k+2)=0,解得解得k=- .k=- .13【延伸探究延伸探究】1.(1.(改变问法改变问法) )本题条件不变本题条件不变, ,判断判断k ka+ +b与与a-3-3b平行时平行时, ,它们是同向还它们是同向还是反向是反向? ?【解析解析】方法一方法一: :k ka+ +b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),当当k ka+ +b与与a-3-3b平

25、行时平行时, ,存在唯一实数存在唯一实数,使使k ka+b=(a-3 3b).).即即(k-3,2k+2)=(10,-4),(k-3,2k+2)=(10,-4),所以所以 所以当所以当k=- k=- 时时, ,ka+b与与a-3 3b平行平行, ,这时这时k ka+b=- =- a+b=- (=- (a-3 3b),),因为因为=- 0,=- 0,所以所以k ka+b与与a-3 3b反向反向. .k3 101k.2k243 ，解得 ，13131313方法二方法二: :由方法一知由方法一知k ka+ +b=(k-3,2k+2),=(k-3,2k+2),a-3-3b=(10,-4),=(10,-4

26、),因为因为k ka+ +b与与a-3-3b平行平行, ,所以所以(k-3)(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,(-4)-10(2k+2)=0,解得解得k=- .k=- .此时此时k ka+ +b=(- -3,- +2)=- (=(- -3,- +2)=- (a-3-3b).).所以当所以当k=- k=- 时时, ,k ka+ +b与与a-3-3b平行平行, ,并且反向并且反向. (2.(变换条件变换条件) )本题条件变为本题条件变为“已知已知a=(1,2),=(1,2),b=(-3,2),=(-3,2),c=(3,4).=(3,4).若若为实数为实数,(,(a

27、+b)c”,”,求求的值的值. .【解析解析】可得可得a+ +b=(1-3=(1-3,2+2,2+2),),由由( (a+ +b) )c得得(1-3(1-3) )4 4-3-3(2+2(2+2)=0,)=0,解得解得=- .=- .19【方法技巧方法技巧】利用向量平行的条件处理求值问题的思路利用向量平行的条件处理求值问题的思路(1)(1)利用共线向量定理利用共线向量定理a=b( (b0) )列方程组求解列方程组求解. .(2)(2)利用向量平行的坐标表达式利用向量平行的坐标表达式a a1 1b b2 2-a-a2 2b b1 1=0=0直接求解直接求解. .易错案例易错案例 向量坐标的运算向量坐标的运算【典例典例】(2015(2015济源高一检测济源高一检测) )已知点已知点a(2,3),b(5,4),c(7,10),a(2,3),b(5,4),c(7,10),若若 ( (rr),),当点当点p p在第三象限时在第三象限时,的取值范围是的取值范围是_._