关于椭圆与双曲线对偶性质的重要结论(1)共12页

1、椭圆、双曲线的对偶性质结论1. (1)椭圆中，PT平分APFFs在点P处的外角，则焦点在直线 PT上 的射影H点的轨迹是以疝为直径的圆，除去长轴的两个端点 一证明：延长F2H至M,交PF于M :PT平分/ MPF ,又 F2HL PT,. | pm | | pf2 |又 |PFi | |PF2 | 2a , |PM | | PF1 | 2a |F1M | 2|OH | |OH | a.二. H轨迹是以长轴为直径的圆，除长轴端点.(2)双曲线中，PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线 PT上 的射影H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.证明：延长FiH至J M,交PE于M则P

2、M PF1,又 |PFi | | PF2 | 2a ,IF2M | 2a又H。为MF、F1F2中点， 1_一 OH 圭，-F2M |OH | a 2 2H点的轨迹是以实轴为直径的圆，除去实轴的两个端点.2. (1)椭圆中，以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离 .证明：设PQ中点S/PMLl于M,SAL l于A,QNL l于N.二以PQ为直径的圆必与对应准线相离.(2)双曲线中，以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交 .证明：PB为焦点弦，S为PQ中点，作PC 1于CSM l 于 M QD l 于 D则 |SM| 1(|PC| |QD |) ；(|PF| |FQ |) 1 |PQ| 22e

3、2.二以PQ为直径的圆必与对应准线相离.注：抛物线中，以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相切.3. (1)椭圆中，椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴 为直径的圆相内切.证明：如图，设以焦半径MF为直径的圆的半径为ri,圆心为O,由椭圆定义知 |MFi| |MF211AB| |MF111AB| |MFz|1 1.|OOi| |MF" _(|AB| IMF2I) a q 一。0。相内切 22(2)双曲线焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为 直径的圆相外切(或内切).证明：以焦半径 MF为直径的圆的半径为1,圆心为0;以MF为直径的圆的半径为2,圆心为Q,由双曲

4、线定义知|ME|MF2| | AB|圆O与圆。外切又 | MF1 | | AB | | MF2 |.二圆Q与圆。内切4.(1)设A_、A为椭圆的左、右顶点，则PQ在边P®(或PFQ上的旁切圆，必与AA所在的直线切于A (最A).证明：设旁切圆切x轴于A',切PF2于M, F1P于N,则 |PN|PM| |MF211MA'| |F1N|F1A'|A与A重合.(2)设A_、A为双曲线的左、 右顶点，则P:F2的内切圆，必与AA 所在的直线切于A (或A".证明：设AA2切X轴于点A',与PR切于M, PF2切于N二 |PM|二|PN|,|MF 1

5、|,|NF 2|二 |A'F2|第8页又 |F1A'| |A'F2| 2c |A'F2 | c a| A2F2 | , 二 A与A2重合.注：可知，圆心在直线x a或直线x a上.225a亳看1(a>b>o)的两个顶点为a( a,0)A (a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于R、R时，A1P1与 AP2交点的轨迹方程是22之41a2b2二证明：设交点S(xo,yo),P1(m,n)P2(m, n)2又m a2V。2 22x a2b1b2a2(2)双曲线与a2 n b72x。a22V。b22 m-2 a1,2n22a mb2 a即轨迹方程为2上1 b2乌

6、 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A( a,0)-A2(a,0)、与 b"y轴平行的直线交双曲线于 R、R时AP1与A2P2交点的轨迹方程是22土 X 1a2b2一证明：设交点 S(%,y0),P(m,n),P2(m,n)%x-2 a2又ma2.上2X0b b2 a22a2x。a2 V。 b222n22a m2即x2 ab2-2 ay2b2(1)直P0 (x。, y。)在椭圆之 a证明：求导可得:2x2 a2y y'b2切线方程:V。(2)若lP0(x。, y。)在双曲线b2x°b22 y°a2x2a(xx0 )则过B的椭圆的切线方程是x&

7、#176;b2 , y°a22 2,22, 2y°yay°axx°bx°by2b21 (a>0.b >0)上，则过P0的双曲线的切线方程是筝得1证明：求导可得:2x2 a2y yb2高，切线方程y0竺(xy)axo )x°x-2 aV。1 1 b227.(1)若R(X0,y。)在椭圆3 a2 y_1外，则过R作椭圆的两条切线，切点为PrP2,则切点弦PP2的直线方程是x2x当1.-a b设 P(X1,y“P2(x2, y2)则过点P、P2切线分别为l1 :2ay y11结,12 :2,2a b丁 F0 在 11、12 上x

8、xo y1 y0-2"i_2ab1,mmy2y012-. 21ab过R,2方程%x yy°-2-/a b2(2)苣P,(%,y。)在双曲线 勺 三一 b1 (a>0,b>0)外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦 PR的直线方程是%xy°y12. 21.ab证明：设 P(x,y) P2(x2,y2),则过P1P2切线分别为丁 F0 在 11、12 上x%yy0122a bx2x0axx 11:ay2y了始1, 12带号1 ba b二过 P1P2方程 X02X a22yy 1 b28. (1) AB是在j圆、4a bb21的不平行千对称

9、轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则* kAB证明：设 A(xa，Va),B(xb，Vb)则 M(t22xa xb2a22xb yBa2 b2XBVa yB)222Va Vbk2kOMbkbikAB2a(2) AB是双曲线勺ay2b2(a>0,b>0)的不平行于对称轴且不过原2点的弦，M为AB的中点，则k0M kAB马 a证明：设 A(xA,yA),B(xB,yB),则m (今2222t?xA_yAXbyBT272abab22XaXb2a22XB22Vab2VayB)2)，22yB_,一KOM K AB2a9. (1)若R(M,yo)在椭圆、与1内，则被 R所平分的中点弦的方程是

10、a b22XoXyoyXoyo-2-. 2-2Tabab证明：设中点弦交椭圆一个定点为A(m,n),则另一个为 B(2x0 m,2y0 n)一得:2X)Xom又kAB2y0 2n2Xo 2m.二弦AB方程为2ayo%V。2yo yonb2b2Xo2 y°a b2Xo -2(x yoaXo)证明二：由第9题得:kABkOPokAByyob2bXXo2 a2yo2 yo b2>2xo：2a b2Xo.二弦AB方程为yyob2xo2 yoa2(XXo)2aXoyyoxxob a2 yo b22,a yo2Xo-2a(2)若Po(“,yo)在双曲线 二 4 a b22中点弦的方程是筌理

11、三誓. a2 b2 a2 b2 一(a>0,b>。)内、则被 R所平分的证明：设中点弦交双曲线一个交点A(m,n),则另一1个 B(2xo m,2y。n)io.2y。2n2 Xo 方程为y2myob xo2 yoa b2Xo2 yoa2(X Xo)XoX y°yb22 Xo2 a2 yo b2(1)若 Po(Xo,yo)在椭圆之y2XoXyoy222b a b证明：设弦交椭圆于S 1内则过R的弦中点的轨迹方程是P(X,Vi) , Pad,)中点 S(m,n).222. 2. 22 22m bmx0b n any0a2 m2 ab2Xomy0n-2-2TTa b即二Xa2

12、b2第9页22(2)若卬为,义)在双曲线与 L 1 (a>0,b>0)内，则过R的弦中点a b22的轨迹方程是与4粤绰.a2 b2 a2 b2证明：设弦与双曲线交于P(Xi,yi),P2(X2,y2),中点 S(m, n)22即土匕a2 b22x0xy0y11. ( 1 )过椭圆 三 与1 (a >0, b>0)上任一点A(X0,y°)任意作两条倾斜a b角互补的直线交椭圆于 B,C两点，则直线BC有定向且bl。kBC-2a y0(常数).证明：设两直线与椭圆交于点(x,y) (x2,y2).由题意得;冠斗 (丫2y°y2y°y1y02)a

13、2(xx2x0陷x2)b22、222(y1 y2y0y1yoy2yo )a(x1x2x1x0x2x°x°)b2一得：”上给Kbc (定值)x1 x2 a Vo22(2)过双曲线 : 与1 (a>0,b >。)上任一点"%*)任意作两条倾 a b斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，则直线 BC有定向且kBC 3 (常数). a vo证明：设两直线与双曲线交于点(x1,y1),(x2,y2),则由题意得=展开(y1y2 y0y2(y1y2 y0y1ViV。y°y22、2, 2 ,2、八y0)ab (x1x2x0x2xx0)02、2, 2 ,2、y

14、0)ab (x%与x2%)0y_2xx2b2x02a v。Kbc(定值)22(1)»a2 4 1(a>b>0)的左右焦点分别为Fi, F2，点P为椭圆上异于长轴端点的任意一点F1PF2,则椭圆的焦点三角形的2面 积 为|PF1 |PF2 | 2b1 cosS Fi PF2b tan -；P( ajc2 b2 tan2 , tan-).c 1.2 c 2证明：设 | PFi | m , | PF2 | n ,贝U m n2a.由余弦定理 m2 n2 2mn cos4c22. 2,. 2. 24a 4b (m n) 4b ,第15页22(2)双曲线 i (a>0,b&g

15、t;o)的左右焦点分别为 Fi, F2,点P a b为双曲线上异于顶点任意一点FiPF2,则双曲线的焦点三角形的面积2b2-2a 222 b2如PF111PF2| rcoTSg bcot2-P( Tc btan2, 7cot2)-证明：设 | PF1 | m,| PF2 | n,| m n | 2a ,2213. (1)若P为椭圆 与 与i (a>b>0)上异于长轴端点的任一点，Fi, a bFj是焦点，PF1F2PF2E、则-ac证明：设 |PFi | ri IPF2 |2.12a c12atan cot.2210 c又12sin sin| Fi F2 | sin( )2sinc

16、os22cos22sin由、得：tan tan 2222cos22a ca ccos2(2) 若 P 为双曲线 与 乌 1 (a>0,b>0) 右(或左)支 上除顶点外 a b的任一点，Fi, F 2是焦点，PF1F2PF2F1证明：设P在左支,由、得：a c1 tancot 221 tancot c atan cotc a 22c ac atancot(取tan - cot c a 22 c a 22|PF21 PFi | 2a, IF1F2I 2c同理，P在右支时， ，tan-cot-c a 222214. (1)椭圆 i (a>b>0)的焦半径公式：a b|MFi

17、| a e%|MF2| a e4人 E( c,0) F2(c,0) - M(%,y0)L22| MF1 | a eM证明：椭圆上点M到左右准线距离di % d2a, cc| MF21 a e%22(2)双曲线 xr 乌 i (a>0,b >o)的焦半径公式：(F" c,o),F2(c,0)a b M (xo, y°)当Xo 0时，取“ +”；当Xo 0时，取“”.22证明：若M在右支，则M到左准线距离& X。2，d2 % a-, cc| MF1 | d1e e% a| MF2 | e% a2若M在左支，则d1 x0 ,c2, ad2x0 ,c|MF1|

18、d1ea eX0| MF21 a exj 2215. (1) P为椭圆0 1 1 (a>b>0)上任一点，Fi、F2为左、右焦点， a bA为椭圆内一定点，则 2a |AF211PA| |PF1| 2a IAF1 |,当且仅当 A,F2,P 三点共线时，等号成立一证明：若A、F2、P不共线,在 4APF 中 |PA| IAF2IIPF2I|PA| | AF2 | | PF 2|当A P、F2共线时取等号.22(2) P为双曲线与、1(a>0,b>0)上任一点,F1F2为左、右焦点, a bA为双曲线内一定点,则 m| 2a |PA| IPF1 ,当且仅当ARP三点 共线

19、且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.证明：若A、P、F2不共线，在 VAPF2 中 |AF2| |PA|PF2| |AF2| |PA| IPF1IIPF2I |PF112a当且仅当P和A、F2在y同侧且共线时，|AF2|PA| IPF2I ,止匕时 | AF2 | 2a |PA| | PF1 |2216. （1）椭圆x2当1（a>b>0）上存在两点关于直线 a b,2.2x2称的充要条件是婚 SZ.a b k分析：该问题等价于在椭圆上找两点，过这两点直线l ： y k(x %)对其中垂线l为yk(xXo)证明：设li方程为得(b2k2 a2)y21 x k2. 22mb k22、

20、2则 x2<(a2 叱。a2 b2k2m 即x mk ky ,中点为(x , y )b2kx mk m%2 222 22 m k (a b )x (a2 b2k2)2又4> 0一 2.ma kk(x x).2. 2 .代入区一啖k2b一x022 2(a b )a2 b2k2注：还可以用点差法1 (a>0,b >0) 上存在两点关于直线 l J_ y k(x x0)22 2对称的充要条件是2与名. V2 I 2 2 a b k证明：该问题等价于在双曲线找两点,过这两点直线11,斜率为其中垂线l为y k（x %）,b2)2b2k2设li方程为yx mk22ky代入冬与1 ,

21、a bW2. 22、 2(b k a )y_.2.22mb k y.2. 22b k m2. 2-a b02,2mb ky1 y2bv中点为2mka2.mb k则l可以写成ymb2k2b2k2 a2k(x2, 2 2a b k mka22 22b k a）代入（xo,0）2, 2、得xo喘得2 222 22 m k (a b )x02 -22 2(b k a )其中4m2b2 k44b2(k2m2 a2)(b2k2 a2) 02.2 2一代入,得2 22 2(a b )2.22a b k17. (1) P是椭圆直角的充要条件是xy2 eacos(a>b>0)上一点,bsin1则点P

22、对椭圆两焦点张证明：P(acos ,bsin又 cos21 sin),22,1 sinULUVF1P(a cosLUUVc,b sin ) , F2P (a cos22222a (1 sin ) c b sin1 e2c,bsin1_2-1 sinLULVUUUV),FiPF2P2 2) P是双曲线x asecy b tan(a>0, b>0)上一点，则点P对双曲线两焦点张直角的充要条件是e2.1 tan22证明：设P(asec ,btan ),双曲线方程为 与 事 a b设焦半径为 C, c2 a2 b2,焦点 G( c,0),C2(c,0) , PC1 PC2 , Wur uLUlr2 2一PC1 PC2 0 ,囚(asec c)(asec c) b tan 0222 218. (1)已知椭圆与多1 ( a>b>0)和之自 (01 ), 一直线顺2 22 2a ba b次与