微积分习题答案上海同济大学数学

1、微积分习题答案上海同济大学数学微积分习题答案chapter-3_上海同济大学数学三 1解：(1) 200000()12()limlimlim.2t t t t s t t t t t v v g v gt tt t?+?=-=-?(2)由 00t v v gt =-=有0;v t g = (3)由0t v v gt =-有01(2).2t v g t v =。3求曲线y =x (1-x )在横坐标为1处的切线的斜率。 解：由y '=1-2x 可知当x =1时，y '=-1。 5解：(1) 22 00(0)lim 0,(0)lim 0(0)0;00-+-+-''&

2、#39;=?=-x x x x y y y x x(2)110 (0)lim lim ,(0)lim lim ,0 -+-+-''=-=-x x x x xxy x y x x x因此，只有当为有理数且2n m时0(0)lim 0'=x y x 成立。6解：由于得f (x )在x =0和x =1点处可导，那么必定在x =0和x =1点处连续，因此(1) 0 (0)(0),lim (e 1)lim ()0;-+-+=-=+?=xx x f f x a a 即(2) 111sin(1)11(1)(1),limlim 1.11-+-+-+-''=?=-x x

3、x b x f f b x x 即7设f (x )在x =0点连续，且0()1lim1x f x x-=-，(1)求f (0); (2) 问f (x )在x =0点是否可导？解：由于得f (x )在x =0点连续，那么0lim ()(0).=x f x f由0()1lim1x f x x-=-有：(1) 0 ()1()1lim lim lim0lim ()10lim ()1-?=?=?-=?=x x x x x f x f x x x f x f x xx，即f (0)=1;(2) 0 ()1()(0)limlim1(0) 1.0-'=?=-x x f x f x f f xx8解:函

4、数g (x )在x =0点连续,那么当x 0时, 存在某个领域u (0),在此领域内g (x )是有界量。 因此 ()(0)()sin (0)sin 0()sin (0)limlimlim(0).0-'=-x x x f x f g x x g g x xf g x xx 9设(0)1,(1)2,(0)1,(1)2,f g f g ''=-=-求 (1)00cos ()(cos 1)()1)limlim-=x x x f x x f x xx cos 1()(0)1limlim(0);2-'=-=-x x x f x f f xx (2)0 2()12()()(

5、)1limlim-+-=xxx x f x f x f x f x xx 21()1lim ()lim(0)ln 2(0);-'=+=+xx x f x f x f f xx (3)11()2()222limlim11-+-=-x x x g x x g x x x x x1111()21()(1)1lim2limlim2lim(1)1;1111-'=+=+=+-+x x x x g x x g x g x xg x x x x10设(0)1,(0)1,f f '=-求极限1(ln )1lim .1x f x x-解: 100(ln )1()1()(0)ln limli

6、m lim (0);11e -='=-t x t t f x f t f t f t x f x t11设(0)1,(0)1,f f '=-(1)求当x 0时,()1f x -的主部； (2)求极限22(2)1lim .2-x f x x x 解：(1) 求当x 0时,()1(0)(1)(1),'-=-+-f x f x o x 因此f (x )-1的主部为1-x ;(2) 2220(2)1(2)1()(0)2limlimlim2(2)(2)-=-=-+x x t f x f x f t f t x x xx x t t 0 1()(0)11limlimlim (0);222-'=-=-=-+t t t f t f f t t 17解: (1) 由()f x 在(,)-+内可导，有1 ()(0)1limlim sin,0-=-x x f x f xx x 当>1时,上述极限存在；(2) 当x 0时, 12111()sinsincos-'=-f x x xxxxx,由0lim ()'x f x 存在可知 >2，且有1211sin cos ,0()0,0-?-?'=?=?x x x f x x xx 18解: 已知2ln(12)y x a y b x =+=+与在x =1点相切，即21l n