高考导数解题策略

1、2010年高考导数、函数专题策略分析（一）厦门双十中学高中部 郭俊芳一、 近六年福建省高考对导数、函数考查类型统计2005福建19以一次函数除以二次函数为背景，考查导数在求曲线切线斜率、判断单调性的应用2006福建192119题以应用题建模后是二次函数与反比例函数的和为背景，考查导数在求函数最值的应用；21题以lnx与二次函数两个函数为背景，考查导数在研究函数图象的作用，实质是最值的应用2007福建22（压轴）以与一次函数的差为背景，考查导数在求函数单调性、最值的应用2008福建1922（压轴）19题以三次函数为背景，考查导数在求函数极值的应用。22题以ln(1+x)与一次函数的差为背景，考查

2、导数在判断单调性的应用2009福建20（压轴）20题以三次函数为背景，考查导数在求函数单调性、极值、图像的应用，导数在求曲线切线斜率的应用。2010福建20（压轴）以三次函数为背景，考查导数在求函数单调性、求曲线的切线斜率、与定积分交汇命题求面积的应用。二、 典型高考题案例分析类型一、三次函数背景的考查例1. 2005山东（19）（本小题满分12分）已知是函数的一个极值点，其中，（i）求与的关系式；（ii）求的单调区间；（）当时，函数图象上任意一点切线的斜率都大于3m，求实数m的取值范围。解:(i)因为是函数的一个极值点,所以,即，所以（ii）由（i）知，=当时，有，当变化时，与的变化如下表：

3、100调调递减极小值单调递增极大值单调递减故当时，在单调递减，在单调递增，在上单调递减.（iii）由已知得，即又所以即设，其函数开口向上，由题意知式恒成立，所以即的取值范围为.例2.（2009全国22题，压轴题，满分12分）设函数在两个极值点，且（i）求满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点的区域；(ii)证明：预备知识：（1）二次函数根的分布；（2）线性规划作可行域的求解；（3）参数的消元分类讨论能力；（4）对多参数的主元和参数的识别能力。解析：（1）由题意知方程有两个根由知是极大值点，是极小值点。则有故有 右图中阴影部分即是满足这些条件的点的区域。(ii) =0，则令

4、又 所以恒成立，在单调递减，即又 。变形1：求函数的取值范围。，恒成立，在单调递减，即又 。变形2：设函数在两个极值点，且且函数y=f(x)与y=k有三个交点，求实数k的取值范围。显然时，函数y=f(x)与y=k有三个交点，又，。例3.（2007年全国押轴题）已知函数（1）求曲线y=f(x)在点处的切线方程；（2）设，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：背景函数是不含参数的三次函数。解析：（1）曲线在点处的切线方程为：，即（2）如果有一条切线过点，由（1）的结论知则存在，使于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根记，则000极大值极小值由的单调性，当极大值或

5、极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则 即评析：有三条切线转化为方程有三解，进而转化为研究函数图像与x轴的交点有三个。方程有三个相异的实数根记，则方程g(t)=0有三解。变化情况如下表：由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根，此时有一条切线；当时，解方程得，方程只有两个相异的实数根，此时有两条切线；当时，解方程得，此时有两条切线当即此时有三条切线。利用几何画板作出点p在不同的位置运动时，所作的切线有1条，2条，3条不同的可能。右图是有三条切线的片段

6、。例4.（2009福建理科）20、（本小题满分14分）已知函数,且 . (1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；（2）令,设函数在处取得极值，记点m (,)，n(,)，p(), ,请仔细观察曲线在点p处的切线与线段mp的位置变化趋势，并解释以下问题：（i）若对任意的m (, x)，线段mp与曲线f(x)均有异于m,p的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；（ii）若存在点q(n ,f(n), x1 n< m,使得线段pq与曲线f(x)有异于p、q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）. 背景函数是含两个参数的三次函数，其导数是含两个参数的二次函数。一定要分类讨论。

7、预备知识：设函数，以a>0为例研究1 系数a,b,c,d与极值点的关系研究极值点函数解析式导函数解析式系数满足条件草图零个， 两个研究结果：三次函数极值点有两种可能，无极值点或有两个极值点。2分类研究上述两种情况（1） 当极值点数为零个，可挖掘研究函数对称中心这个素材，这里不再展开；（2） 当极值点数为两个，可挖掘割线、切线与曲线的交点、位置关系作为研究性学习的素材。3若三次函数的草图如右，其本质特点是有两个极值点m、n，可对以下问题进行探究：mn（1） 连接两极值点m、n的线段mn（含端点）与曲线有几个交点；（2） 过极值点m（或n）能作曲线的几条切线，此时切线与曲线有几个交点，对比直

8、线与圆相切必有一个交点，有什么启发；（3） 过极值点m（或n）作曲线的切线，且m不是切点，另一个切点在曲线的什么位置；（4） 过极值点m（或n）作曲线的切线，设切点是t（异于m或n），若曲线上的动点p在mt之间运动，线段mp与曲线有几个交点，若曲线上的动点p在tn之间运动，线段mp与曲线有几个交点；（5） 过曲线上的点p可作几条切线；（6） 过不在曲线上的点p可作几条切线，与点p的位置有什么关系。6问解答：（1） 连接两极值点m、n的线段mn（含端点）与曲线有3个交点； （2） 过极值点m（或n）能作曲线的两条切线，一条平行于x轴，另一条需通过设切点坐标，求导得出曲线在切点处斜率计算，不论哪种

9、情况，此时切线与曲线不仅有1个交点，而是多于一个交点。这与直线与圆相切必有一个交点不同，本质问题是三次函数图象是开放曲线，圆是封闭曲线；（3） 过极值点m（或n）作曲线的切线，且m不是切点，另一个切点一定在mn之间；（4） 过极值点m（或n）作曲线的切线，设切点是t（异于m或n），若曲线上的动点p在mt之间运动，线段mp与曲线有两个交点，若曲线上的动点p在tn之间运动，线段mp与曲线有3个交点；（5） 过曲线上的点p作切线，可作一条或两条，与p点的位置有关，与p点是否是极值点有关；（6） 过不在曲线上的点p作切线，可作1条，2条，3条都有可能，与点p的位置有关。具体关系需根据系数不同作进一步探

10、究。解析：(1)依题意,得由.从而令当a>1时, x+单调递增单调递减单调递增所以，函数的单调增区间为和，单调减区间为。当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为r当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为综上：当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为r；当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.(2) 由得令得由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故m（）n（）。问题分解降低难度退一步解决：问题1：过曲线上的点m（-1，f(-1)）作切线，写出切线方程。这个问题是对点在曲线上的切线方程的求解，是探究中基本问题。由 m（-1，

11、），设切点为t（m, ），切线斜率，两者相等，解得：m=-1或2，所以切线有两条，当m是切点时，方程为y=；当m不是切点时，方程为。问题2：过曲线上的点m（-1，f(-1)）和曲线上的动点p作线段，且p位于m点的右恻，观察图象，说出p运动时线段mp与曲线的交点个数。r设t是异于m的切点，计算可得t（2，），当p在mt之间运动时，线段mp与曲线的有两个交点（右图md是运动中的片段）；当p在tn之间运动时，线段mp与曲线的有三个交点（右图me是运动中的片段）；设切线y=与曲线交于r点，当p在nr之间运动时，线段mp与曲线的有三个交点。问题3：设函数的极值点分别是点m（），n（），p（m,f(m)）

12、，请观察曲线f(x)在p点处的切线与线段mp的位置变化趋势，并回答：若对于任意的，线段mp与曲线f(x)有异于m、p的公共点，试确定t的最小值；若对于任意的，线段mp与曲线f(x)只有m、p两个公共点，试确定t的最大值。基于问题2的研究，线段mp与曲线f(x)有异于m、p的公共点，即线段mp与曲线f(x)有三个公共点，此时p在tn之间，故t的最小值是2；线段mp与曲线f(x)只有m、p两个公共点，此时p在mt之间，故t的最大值也是2。t的边界值是另一个切点的横坐标。解析： ，=直线mp的方程为由得线段mp与曲线有异于m,p的公共点等价于上述方程在(1,m)上有根,即函数上有零点.因为函数为三次

13、函数,所以至多有三个零点,两个极值点.又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.等价于 即又因为,所以m 的取值范围为(2,3)从而满足题设条件的t的最小值为2.(3)若存在点q(n ,f(n), x1 n< m,使得线段pq与曲线f(x)有异于p、q的公共点，则m的取值范围，即两极值点的中点（对称中心）到交大极值点之间。例5.（2009湖北21题，压轴题，满分14分）在r上定义运算（b、c为实常数）。记，.令.如果函数在处有极值,试确定b、c的值；求曲线上斜率为c的切线与该曲线的公共点；记的最大值为.若对任意的b、c恒成立，试示的最大值。预

14、备知识：（1）导数在求极值的应用；（2）导数在求切线的应用；（3）参数的消元分类讨论能力；（4）对多参数的主元和参数的识别能力；（5）绝对值不等式的应用；（6）二次函数在闭区间的最值的讨论；（7）含绝对值函数的图像。w.w.w.k.s.5.u.c.o. 解析：，由题意，解得：若b=1,c=-1, ，没有极值舍去，若b=-1,c=-3, ，x-31_0+0_f(x)减极小值-12增极大值减设曲线在x=t处的切线斜率为c则 ，解得t=0,或t=2b，（1）若t=0，切点为（0，bc），切线方程是y=cx+bc,（2）若t=2b，切点为（2b，），切线方程是y=cx+,(1)若cx+bc=，即，则x

15、=0,或x=3b，此时交点是（0，bc）,(3b,4bc).(2)若cx+=，即，解得：x=2b,或x=-b，此时交点是（2b，）,(-b, ).，由于x在区间内，要讨论对称轴x=b与区间的关系 （1）当得对称轴x=b位于区间之内此时，法1：，所以。法2：由（也可不分两类讨论） 若于是则，所以 若，则，所以若,.要使对任意的b，c恒成立，就要使，所以k的最大值为。 例6. （2010福建卷20本小题满分14分）（）已知函数，其图象记为曲线c。（i）求函数的单调区间；（ii）证明：若对于任意非零实数，曲线c与其在点处的切线交于另一点，曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段p1p2，p2p3与曲线

16、c所围成封闭图形的面积分别为s1，s2，则为定值（）对于一般的三次函数，请给出类似于（）（ii）的正确命题，并予以证明。解析：（1），令得到，令有，因此原函数的单调递增区间为和；单调递减区间为（2）（i），因此过点的切线方程为：，联立，得到化简：从而，所以过的切线方程为：，联立得到：化简：从而，所以，也就是所以（ii）【命题】若对于任意函数的图像为曲线，其类似于（2）（i）的命题为：若对任意不等于的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另外一点，线段、与曲线所围成面积为，则。【证明】对于曲线，无论如何平移，其面积值是恒定的，所以这里仅考虑y=的情形，过点a的切线方程为：

17、联立，得到：因式分解得：，解得同样可得： =，同理：，所以总结：三次函数特殊与一般结论的研究（只含三次）；（含奇次）（含一个奇次，一个偶次）（含两个奇次，一个偶次），（所有次数都含）函数图像性质奇函数，对称中心是原点，在r上递增（一个单调区间）奇函数，对称中心是原点，在r上有三个单调区间非奇非偶函数，对称中心不是原点，过原点，在r上有三个单调区间非奇非偶函数，对称中心不是原点，过原点，在r上有三个单调区间非奇非偶函数，对称中心不是原点，不过原点，在r上有三个单调区间一般三次函数的特点：（1）d=0时，函数图像过原点；（2）b=c=d=0时，函数是奇函数，对称中心是原点，只有一个单调区间；（3）b=d