一次作业评讲中的研究性学习(1)

1、  一次作业评讲中的研究性学习(1)   这是一次作业中的一道题:问题：是否存在同时满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由：（1） 渐近线为x+2y=0及x-2y=0;（2） 点a（5，0）到双曲线上动点p的距离的最小值为 .这是一道流传较广的试题, 题目综合性较强，对学生的能力要求较高. 不出所料，作业收上来后，能够完整做对的学生为数寥寥. 然而我又欣喜地看到，尽管有些学生还不能完整地解决，但是如果循着学生的思路对此题进行重新审视，发现只要发动学生对这些思路进行评判、再探索，这其实是一个很好的研究性学习素材. 于是我专门用了一节课

2、对此题作了评讲.我先出示了学生t对此题的部分解答：解：当双曲线焦点在x轴上时（焦点在y轴上的情况他还未考虑出），易知双曲线的右顶点到点a的距离最短.由双曲线渐近线为 , 可设双曲线方程为 (b>0).  双曲线的右顶点为（2b,0）,    .    故 .因此这样的双曲线存在，且其方程为： .尽管是部分解答，却也够“简洁”了！当同学们看完解答后，一时竟没有学生提出疑议显然，他们也认为解答中用到的一个“事实”：双曲线的右顶点到点a的距离最短无疑是正确的. 经过一番思索后，终于有思维慎密、严谨的同学对

3、此提出了置疑，然而他也一下子拿不出什么根据. 这时我适时地启发道，数学讲求的是严密，有时光凭猜测、估计，还不能揭示数学现象的本质特征，这个问题中，究竟是不是双曲线的右顶点到点a的距离最短，并不是“易知”的，它还需要我们的精确论证. 那么，我们能否对此问题作一研究呢？同学们一个个情绪高涨，跃跃欲试. 不久，几个成绩较好的学生拿出了他们的研究成果：设双曲线方程为 （ > >0）， a(m,0)(m>0)为x轴正半轴上一点，设p（x,y）为双曲线上任一点，其中 .则      =   

4、0;  =      = .（1） 若 ，亦即 ，则当 时， 最小.（2） 若  即0< < ，亦即 < ，则当 时，      最小.转贴于 至此问题已得到解决，当点a的横坐标 满足0< < 时，双曲线的右顶点到点a的距离最短（此时点a有可能在右顶点左侧，也有可能在右顶点右侧，在右顶点右侧时 < < ）;当 时，双曲线上有两点到点a的距离最短（其横坐标均为 .依据此结果重新审视学生t的解答，可

5、知答案 是正确的，而当 时，点a在双曲线右顶点右侧，若右顶点到点a距离最短，则必须满足 < < ，而检验知此式不成立，故 应舍去.毕竟是自己研究得到的成果，同学们的兴奋之情溢于言表，这时，我又出示了学生s对此题的解答.解：假设满足条件的双曲线存在，且设其方程为 ，双曲线上到点a距离最短的点即以点a为圆心、 为半径的圆与双曲线相切时的切点.联立 ,    消y得： .  双曲线与圆相切,   .          

6、  = 1.故满足条件的双曲线存在，且其方程 .乍一看，学生s的解答是无懈可击的，并且方法简捷、明快，显然，这是在学习了直线与圆锥曲线的位置关系后，学生用判别式讨论圆锥曲线与圆锥曲线位置关系的一个大胆的迁移，如果没有前面的分析作铺垫，我相信几乎所有的学生会认为这个解答是完满的. 但是，正因为有前面对此问题的研究，同学们发现，这个解答刚好是学生s没有研究的情形，而对于双曲线焦点在x轴上时的解，这个解答显然失掉了.为什么会失去解呢？我不失时机地提出这个问题.同学们一个个双眉紧蹙，陷入了思索之中. 这时我进一步启发：我们已经知道，直线和圆锥曲线存在相切的位置关系，那么圆锥曲线和圆

7、锥曲线是否也能相切？又怎样定义它们的相切？假设它们能够相切，由它们的方程（假设都是标准方程）联立成的方程组消去一个未知数后得到的一元二次方程的判别式是否一定为零？正在同学们对此问题还一时茫然时，有一个学生小声嘀咕道：把焦点在x轴上时得到的一个解检验一下不就得了.不错！我及时地表扬了这个学生. 前面我们已得到双曲线的一个解 ，如果认为圆 与双曲线是相切的，那么判别式是否为零呢？ 我把该生的想法重复了一遍后，几乎所有的学生立即动起了笔：联立、消y、求 ，嗬嗬， >0！问题已经解决，但我并没有就此止步，又向学生提出了几个研究性问题：判别式等于0时，圆锥曲线与圆锥曲线是否一定相切（假设已定义它们的相切）？