【中考数学压轴题专题突破02】二次函数中的动点问题

1、【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题1 .已知：二次函数 y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点B 在x轴的正半轴上，点 C在y轴的正半轴上，线段 OB、OC的长（OBvOC）是方程x2 -10x+16= 0的两个根，且 A点坐标为（-6, 0）.（1）求此二次函数的表达式；（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点 A、点B不重合），过点E作EF / AC交BC 于点F,连接CE,设AE的长为m, CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式， 并写出自变量m的取值范围；第1页（共13页）2 .如图是二次函数 y= ( x+m) 2+k的图象，其顶点坐标为

2、M (1, -4).(1)求出图象与x轴的交点A, B的坐标；(2)在二次函数的图象上是否存在点P,使Sapab=S；amab?若存在，求出P点的坐标，4若不存在，请说明理由；(3)点C在x轴上一动点，以BC为边作正方形 BCDE ,正方形BCDE还有一个顶点(除点B外)在抛物线上，请写出满足条件的点E的坐标；(4)将二次函数的图象在 x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线y=x+b与此图象至少有三个公共点时，请直接写出b的取值范围是 .即圄2邺第3页(共13页)3 .如图，二次函数图象的顶点为坐标系原点O,且经过点A (3, 3)

3、, 一次函数的图象经过点A和点B (6, 0).(1)求二次函数与一次函数的解析式；(2)如果一次函数图象与 y轴相交于点C,点D在线段AC上，与y轴平行的直线 DE 与二次函数图象相交于点 巳/ CDO = / OED ,求点D的坐标；(3)当点D在直线AC上的一个动点时，以点 O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行 四边形吗？请说明理由.两点,BN,连BMPNB点关4.如图，二次函数 y=ax2+bx+c (a0)的图象与 x轴交于A (- 3, 0)、B (1, 0 与y轴相交点C (0,近).(1)求该二次函数解析式；(2)连接AC、BC,点M、N分别是线段AB、BC上的动点，且始终满

4、足 BM = 接MN.将4BMN沿MN翻折，B点能恰好落在 AC边上的P处吗？若能，请判断四边形 的形状并求出PN的长；若不能，请说明理由.将 BMN沿MN翻折，B点能恰好落在此抛物线上吗？若能，请直接写出此时于MN的对称点Q的坐标；若不能，请说明理由.第9页（共13页）5.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=!x2-2F3x-代与x轴交于A、B两点（点33（1）判断 ABC的形状，并说明理由;（2）如图（1）,点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点p作Y轴的平行线交 X轴于点E.当 PBC面积的最大值时，点 F为线段BC 一点（不与点BC重合），连接EF,动

5、点G从点E出发，沿线段 EF以每秒1个单位的 速度运动到点F,再沿FC以每秒2工3个单位的速度运动到点 C后停止，当点F的坐标 | 3是多少时，点 G在整个运动过程中用时最少？（3）如图2,将4ACO沿射线CB方向以每秒个单位的速度平移，记平移后的 ACO为AAlClOl连接AA1,直线AA1交抛物线与点 M,设平移的时间为 t秒，当 AMC 1为等腰三角形时，求t的值.的图象与x轴交于点A (-3, 0)和点B,以AB为边在6.如图，二次函数 y=x2+bx- -22x轴上方作正方形 ABCD ,点P是x轴上一动点，连接 DP ,过点P作DP的垂线与y轴 交于点E.(1) b=;点D的坐标：

6、;(2)线段AO上是否存在点P (点P不与A、。重合)，使得OE的长为1;(3)在x轴负半轴上是否存在这样的点 P,使 PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时 PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由.【中考压轴题专题突破】二次函数中的动点问题参考答案与试题解析.解答题(共6小题)解：(1)由 x2-10x+16 = 0 得 xi= 2, x2=8,B (2, 0) , C (0, 8)点 A ( - 6, 0), B (2, 0), C (0, 8)在二次函数 y=ax2+bx+c 的图象上,aX (-Q ) +bX (-6)+c=0l, 以乂 22+bX2十

7、lc-8，所求二次函数的表达式为y= - -x2 - x+8;33(2) AB = 8, OC=8,依题意，AE=m,贝U BE=8-m,. OA=6, OC=8,AC= 10. EF / AC, . BEFABAC,.巫=噩即/=圭巴AC AB 108 .EF=40-5m4过点F作FGXAB,垂足为 G,贝U sin / FEG=sinZ CAB=A,5工土EF 5. FG = ,?0-Em =8_ m54- S= Sa BCE Sa BFE=X 8-4-(8-in) (8-in)(0< m< 8).2.解：(1) . M (1, -4)是二次函数 y= (x+m) 2+k的顶点

8、坐标, y= ( x- 1) 2-4= x2-2x-3,当 x2- 2x- 3=0,解得 xi= - 1, x2= 3.A、B两点的坐标分别为 A ( - 1, 0), B (3, 0);(2)设P在二次函数的图象上存在点P，使叫(X' V)，则还p购=1|如x lyl=2|yb又S陪卷鹿|X |-止8,.-.2|y|=-|x8,即 y= ± 5,;二次函数的最小值为-4,y= 5.当 y=5 时，x= 2 或 x=4. .P 点坐标为(2, 5)或(4, 5);(3)不妨设点E在抛物线y=x2- 2x- 3上，C点的坐标为(m, 0).当BC为正方形BCDE的边时，则 D点

9、的坐标为(m, m2- 2m- 3). 四边形BCDE是正方形，BC= DE,|m 3|= m2 2m 3|,即 m3=m2 2m 3,或 m- 3= - (m2 2m 3),解得 m1 = 0, m2=3,或 m1=- 2, m2=3,当m=3时，C点与B点重合，不合题意，舍去， .C 点的坐标为(0, 0)或(-2, 0),则 E1 (3, 4), E2 (3, - 4),当点C与原点重合时也符合题意，此时点 D (0, - 3),可得E3 (3, - 3);当点C为(-2, 0)时也符合题意，此时点 D ( - 2, 5),可得E4 (3, 5).综上所述，符合条件的点E的坐标是(3,4

10、)或(3, -4)或(3,-3)或(3, 5).(4)如图3,依题意知，当-1wxw 3时，翻折后的抛物线的解析式为：y = - x2+2x+3与直线y=x+b与新抛物线有1个交点时，-x2+2x+3 = x+b,即x2-x-3 - b= 0, 则4= (- 1) 2-4X (- 3- b) =0,解得b= 一二4当直线 y=x+b 经过 A (- 1, 0)时-1 + b=0,可得b= 1,由题意可知 y= x+b在y= x+1的下方.由图可知符合题意的 b的取值范围1wbw卷.故答案是：1Wbw二三.43.解：（1）设二次函数的解析式为y = ax2,把 A (3, 3)代入得 a二次函数

11、的解析式为设一次函数的解析式为:2y ；y= kx+b,把 A (3, 3), B (6, 0)分别代入得，3k+b=3, 6k+b=0,解得 k= - 1, b=6,，一次函数的解析式为y= - x+6;（2） . 口£/¥ 轴，/CDO = /OED, .CDOsoed,黑喘”即Dq2=DE，UU LU设D点的坐标为（m, - m+6）,那么点E的坐标为（m,1皿2），OD2= 1112Ml1r$ ） 2=2成'-12时36+ DE=-11+6-；-，又;由直线y= - x+6与y轴交于点 C,.点C的坐标为（0,6）, CO = 6,一 R斛付 mi = 0

12、（不合题意，舍去），m2=,点D的坐标为（3, 9）； 2 2（3）以点O、C、D、E为顶点的四边形能成为平行四边形.理由如下：若DE = OC,以点0、C、D、E为顶点的四边形为平行四边形，当点D在点E上方，r 珀-2=6.得x 2 =_3 - x= 0 （舍去），x= - 3, y=-（-3） +6 = 9一q . q /17当点 D 在 E 下方，x2 - （- x+6） = 6,得 x =.Q/当x=中行,-丑行+6 =叼收222当 x=33后 y = - -3-37 +6 = LS+WH.222所以当D点坐标为：（-3, 9）或343历 ,15-3/行）或代 15”2后）222| |

13、2|4 .解：（1）将A、B、C三点坐标分别代入 y=ax2+bx+c （aw0）中得：第11页（共13页），该二次函数解析式为：y=- X x2 - 3-x+f2.33（2）假设B点能恰好落在 AC边上的P处，由题知：OA=3, OB=1, OC =3 , AC= 2心,BC=2, AB = 4;.ABC 为直角三角形，且/ ACB=90°，/ A= 30° , Z B = 60° .又由BM= BN= PN= PM知四边形 BMPN为菱形.设PN=m,由PN / AB可得：型=型，即史=2.AB CB 42.m=A,即pn的长为33由知：QN始终与x轴平行，若

14、点 Q在抛物线上，则点 N也在抛物线上，且 QN =CB=2;已知 C （0,心），则 Q （-2, V3）；当 x= 2 时，y = _ 迪x+V= _X 4 _ 2'® X （ 2） +/3 =7,3333 .Q （- 2, 0）正好在抛物线的图象上；故答案：能，此时 Q的坐标为（-2,。飞）.5 .解：（1）结论： ABC是直角三角形.:抛物线y=理由：如图1中，连接AC.2与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C, A ( - 1, 0),在 RtAAOC 中, ./ ACO= 30° ,在 RtOBC 中， tan/BCO=Q=姓,0C ./

15、 BCO= 60° ,/ ACB= / ACO+Z BCO= 90ABC是直角三角形.(2)设 P (m, fXm23zZ!.m,作方 33H , FGXAE 于 G,贝U FH = CF?cos30° =近CF.贝U SaPBC= SaPOC+S；aPOB- SaBOC= _X0X m+_x 3X ( _ ®m2+?后 m+2233一返(mW 2皆返228 '- y±L< 0, 2，m=4时， PBC的面积最大，此时 P q:动点G的运动时间=巫+口+ =EF+亚Tl 24323根据垂线段最短可知，当EHLCN时，动点,/ EFB = Z

16、 EBF = 30° ,EF= EB =2，2f线 CN,使得/ BCN=60° ,作 FHCN 于6)-y X'/3X3学)，t4-CF= EF+FH,G的运动时间最小，在 RtEFG 中，FG = EF?cos30° =_v 2.4此时F的坐标为(2, -.44(3)由题意直线BC的解析式为y=X亘x3v冬普,EG=±, Oca, 44V3,直线AC的解析式为y=X2x+/33(g二4M (4,指3)，Ci (t,烙近)， AM2=52+()2, CiA2;2, 0当AM=MC1时，52+ (与5 - V 22,w 11=(t+1) 2+(旦

17、距)2, MC1= (4-t) 2+-等潟)p-) 2= (4-t) 2+ (lgt+)2,解得 t=5+/j或第11页(共13页),解得当 ClAC1M 时，(t+1) 2+ (t-k/3) 2= (4-t) 2+(X 3 娟 t+行) 2,解得当 C1A= AM 时，52+2(t+D 2+(峥t-e)2,解得t=，ms或-/页（舍第15页（共13页）弃），6.综上所述，满足条件的 t的值为（5+V妻）s或（5-寸比）S或&s或近展.2,解：（1）二,点A （ - 3, 0）在二次函数丫=卦+bx-二的图象上, （£-3,解得2二二次函数解析式为b= 1,(x+3)(x 1

18、),点 B (1, 0), AB=1- ( 3) = 4,四边形ABCD为正方形,.-.AD= AB=4,，点 D (-3, 4), 故答案为：1; (-3, 4).(2)直线PE交y轴于点E,如图1,假设存在点P,使得OE的长为1,设OP=a,则AP=3- a, DPI AE, Z APD + Z DPE + Z EPO = 180° ,./EPO=90° /APD = /ADP,tan/ ADPAP 3-aAB 4tan/ EPOOB_1op-75.,.-2i=A,即 a2 - 3a+4= 0, 4 a = （-3） 2 4X 4= 7,无解故线段AO上不存在点P （点P不与A、O重合），使得OE的长为1 .（3）假设存在这样的点 P, DE交x轴于点M,如图2,图2. PED是等腰三角形,DP= PE,DPI PE,四边形 ABCD为正方形 ./ EPO+/APD = 90° , / DAP = 90° , / FAD+Z APD = 90° , ./ EPO=Z PDA, / PEO = Z DPA, 在 PEO和 DA