用好课本素材落实动态问题

1、学科论文：初中数学用好课本素材激活动态思维例谈初中数学动态思维的培养摘 要：血对动态问题，学生普遍感到困难，教学屮要注意动态思维的培养，提高解答动态 问题的能力.初中每个学段对动态问题都有描述，用好这些素材，能锻炼数学思想，培养学 生的动态思维能力，创造性地使用所学知识，有效解决复杂的动态问题.关键词：动态思维动态问题能力 素材动态问题在初屮数学屮占冇重要位置，渗透运动变化的观点，集多个知识点为一体，集 多种解题思想于一题.这类题灵活性强、有区分度，能力要求高，它能全面的考查学生的实 践操作能力，空间想彖能力以及分析问题和解决问题的能力，受到了人们的高度关注；同吋, 也得到了命题者的青睐.动态

2、问题，常常出现在各地的学业考试数学试卷屮.面对动态问题, 学生普遍感到困难，因此，在平时的教学中要注意对动态思维（本文屮的动态思维指的是学 牛面对动态问题，具有h主学习和h我发展的-种思维）的培养，提高解答动态问题的能 力.本文结合浙教版教材，谈动态思维能力的培养.一、静中导动激发动态思维标准关于“数学思考”的课程冃标对初中生的耍求：应当包括既能够有数和简单的 图表刻画一些现实住活屮的现象，对某些数字信息作出合理的解释，乂能够用各种数学关系 （方程、不等式、函数等）去刻画具体问题，建立适仑的数学模型.因此，教师要根据学生 己有的知识，利用课本索材，引导学生对问题进行再思考.如：浙教版七年级（上

3、）114页例2：甲、乙两人从a、b两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速 行驶.出发后经3小时两人相遇.已知在相遇时乙比甲多行驶了 90千米，相遇后经1时乙 到达a地.问甲、乙行驶的速度分别是多少？本例是一个静态的数学问题，会用方程的思想解答后，教师宜引导学生尝试提出新的数 学问题，要求学牛至少能提出卞列三个问题中的两个问题并解答： 求a、b两地的距离？ 甲、乙两人出发1小时后，他们相距有多少千米？ 3. 5小时时，又相距多少？ 求经过几小时后，两人相距30千米？显然，提出问题是容易的，但却体现了学生h主学习的一个 过程；对类似于问题的提出，是学生白主探究、寻找发现问题的

4、结果.如果感到学生的困难，教师可画图（如图1、图2）做心理暗 示，以激发学生的思维，由于有n个答案，教师把握分寸；问题 是动态思维的升华，利丁教师发现数学人在这一过程中学生口觉与不口觉借助图形帮助分析，使用数形结合的方法去寻找和发现问题，巩固加深对范例的理解，数学思维能力得到 充分的发展，达到懂一题会一片的思维境界.方程是数于的基础，许多数学问题与方程有密切的关系，往往融入运动的元素、分类 的思想和函数的思想，要求学生对问题重新设问并解答不仅能起到巩固加深对范例的理解, 更重要的是能激发学生的动态思维，发展动态思维.这种山静导动的方法为学习从特殊到一 般的数学思想打下-了基础，利于培养学生思维

5、的深刻性和灵活性.题冃的数字可变，条件可 变，结论亦可变，变，充满着神奇，孕育着创造！二、动中取静 发展动态思维标准关于“数学思考”的课程目标对初屮生又要求：经历观察、实验、猜想、证明 等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述口己 的观点.对于学牛普遍感到棘手的动态问题，有时可交山学牛合作完成，教材中也有安排.如: 浙教版八年级（下）39页的合作学习：一轮船以30km/h的速度由西向东航行（如图3）,在途中接到台风科匕警报，台风中心正以20km/h的速度由南向北移动.已知距台风中心 £_ 1 a 200km区域（包括边界）都属于受台风影响区.当轮船

6、接到台风警报时, 测得 bc=500km, ba=300km.1）如果轮船不改变航向，轮船会不会进入台风影响区？你采用什么方法来判断?2）如果你认为轮船会进入台风影响区？从接到警报开始，经多少时间就进入台风影响区？素材屮动态问题有代表性、挑战性，学生对台风的影响虽然有一定的认识，但同学感到 有难度.船在动，台风也在动，左右着学牛的思维，不能找到解答问题的途径，展开合作学 习是有必要的.合作学习要解决三个问题如何判断伦船是否进入台风影响区；bc的长 能计算吗？如果要计算bc的长，如何排除bc随时间的变化的影响.合作学习期间要关注 合作学习的进展;合作过程屮有困惑吗？需要提示吗？在这期间我邀请一位

7、数学程度 较好的同学与我一起模拟演示台风与轮船的运行，并提示：运动到某一时刻时伦船与台风屮 心的位置固定吗？如果是固定的，你能计算出此此时轮船与台风屮心的距离吗？以引导、启 发学生的思维.多重因素的影响下，学牛的思路豁然开朗，发现问题的关键是捉炼出rta abtcn即耍捕捉到运动中的“静态”瞬间，构造出直角三角形，再利用勾股定理求出b.ci 的长与200进行比较可解决问题.这种共同经历知识的组织与应用、数学建模的思维过程在合作学习屮印象更深刻、理解 更透彻，建立的数学模型、获取的动中取静的解题经验对解答类题具有示范效益；这种从一 般到特殊的数学思想的锻炼，有助于提高学生的创新能力和应变能力，有

8、利于发展学生的动 态思维.适吋进行变式训练，巩固合作学习的成果.如：如图 4,在直角梯形 abcd 中 za = 90° , ab ii cd, ab=20 cm, ad=12 cm, cd=36 cm，点 p 以4 cm/s的速度在线段ab上往返移动，点q以3 cm/s的速度在线段cd上移动，现设p、q分别从b、d两点同时开始移动，当q移动到点c点时，p、q同时静止，请探究下列问题：（1）填空：经过秒后，四边形bcqp为平行四边形；（2）在整个移动过程中，四边形bcqp有可能是等腰梯形吗？若可能，请你计算出所经过的 时间，若不可能，请你说明理由.本例旨在巩固合作学习的成果，进-步发

9、展学纶的动态思维能力，同吋借助图形，融入 了分类讨论的因子，为后续学习动态问题的打卜扎实的基础，发展学生的动态思维.有了前 而的经验，问题（1）学生很快得到解答，但而对问题（2）有许多学生不知所措，除了少数 学生不知如何识别等腰梯形外（个别辅导），人多数学生是考虑问题不周全，针对这种悄况 我做了提示：点q从d运动到c用时多少？在这个时间范围内点p如何运动？到此，我发现 学欣喜的冃光，学生已开始写起来了；对于还有困惑的学生，做了进一步的提赤：点p从a 到b,再从b到a,最后乂从a向b运动过程中四边形bcqp有可能是等腰梯形吗？经过这一 番的点拨，学生顺利解答了问题.以卜-是学生的解题摘录:（1）

10、秒；（2）不妨令点q移动了 t秒，则dq=3t;如图4过 7b画bh丄cd于h,易求得cw=yjbc2-bh2 =16;若四边形bcqp是等腰梯形，则cq=2ch+bp,即36-3t=32+bp,显然bp是关键.另一方 面，p从b到a用时5秒，q从d到c用时12秒，由于点p在线段ab4 上往返移动,bp的值要分类讨论.当0 </<5时，bp=4t,得:36- 3t=32+4t,解得：t=-;7当 5v/s10 时,bp=40-4t,得：36-3t=32+（40 - 4t）,解得:t=36 （舍去）；当 10 <t<1244 时，bp=4t-40,得：36-3t=32+（

11、4t-40）,解得：t=（舍去）.综上述在整个移动过程74 中，经过一秒时，四边形bcqp是等腰梯形.7三、动静结合提高动态思维标准关于初中“解决问题”的课程目标要求：形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神.有了前两个学年的学习经历，对于动态 问题具备了一些基木的解题策略，为九年级进一步学习动态问题打下了基础.为形成和提高 学生的动态思维，使学生在这一阶段能够独立地解决动态类问题，创造性地使用所学习的知 识.如浙教版九年级（上）46页例2：如图5, b船位于a船正东26km处.现在a、b两船同时出发，a船以12km/h的速度朝 正北方向行驶，b船以5 km

12、/h的速度朝正西方向行驶.何时两船相距最近？最近距离是多少？学习木例，可以选择动与静相结合的策略来解答，构造图形，捕捉 的再现学生已能自主利用勾股定理，用含有时间变量的代数式表示 a b；如：设经过t（h）后，a、b两船分别到达a'、b处，则两船之间的距离为：ab = j（26 5,）2 +（12f二jl69八260/+ 676 但学习屮学生没能进一步深 入，没能与所学的二次函数联系起来，这说明学生的创造性学习的能力不够，抓住这一点， 做提示：通过计算169八260/ + 676 >0,如果169z2 _260r + 676的最小值，那么 j169八260/ + 676是不是就最

13、小?学牛异口同声：“是”，问题自然得到解决.动与静是矛盾的两个方面，动中冇静，静中冇动，它们在一定条件下是能相互转化的.当 遇到动态问题时，要善于动中取i挣，先把动态问题转化为静止状态来解决，然后再从i挣态转 到动态，即：动静结合，这一思维过程要借助图形分析.这种动态思维方式体现了由一般到 特殊，再由特殊到一般的数学思想.这种动态思维方式对解答类题具有指导作用.如：（06湖州）已知二次函数y = f/x + i（1 wbsi）,当b从-1逐渐变化到1的过程 中它所对应的抛物线位置也随之移动，下列关于抛物线的移动方向的描述中正确的是（）a、先往左上方移动，再往左下方移动 b、先往左下方移动，再往

14、左上方移动c、先往右上方移动，再往右下方移动 d、先往右下方移动，再往右上方移动解析用抛物线顶点的移动代表抛物线的移动.抛物线的4-/?2图 6线上=上运动（如图6）,当b从-1逐渐变化到1的过程4中，抛物线先往右上方移动，再往右下方移动，故选c.本例是屮考屮典型的动屮取静试题，考查学牛自主学习和自我发展的能力，提示我们在 平时的教学屮耍注意动态问题的学习，捉高学牛的动态思维能力.纵观教材，编者把标准规定的各块内容根据初中生的年龄特征和认知规律安排在不 同的学段，动态问题三个学年匀冇安排，以螺旋上升的方式出现，上述三则素材就是一个例 证，因此，教师教学时耍弄清教材范例的内涵与外延，用发展的眼光

15、看素材、用素材，通过 范例学习受到启迪，获取打开知识人门的金钥匙.三则素材从不同层而表述动态问题，具有延续性、上升性，包含动态思维训练；范例选 用了冇共性的背景，逐渐深化，构造了一条清晰的发展动态思维的路线图.教帅要把握知识 层次，适时引导，使学生形成良好的动态思维能力，具备分析和解决动态问题的能力；面对 动态问题能找准解题策略，懂得用数形结合法分析问题；理解动态问题与分类思想的紧密关 系，它们好比一对学生姐妹.解动态问题的过程实质是数学建模的过程，是创新的过程，方 程、函数和图形变换等是基础，因此夯实基础是关键；用好素材，适当变式和拓展训练，开 阔学牛的视野，提高应变能力，面对新的动态问题时

16、能够从容应对.如（08绍兴）将一矩形纸片oabc放在平面直角坐标系中，0（0,0）,4(6,0), c(0,3).动点q从点o出发以每秒1个单位长的速度沿oc向终点c运动，运2动一秒时，动点p从点a出发以相等的速度沿ao向终点o运动.当其中一点到达终点时,3另一点也停止运动.设点p的运动时间为/ (秒).(1)用含(的代数式表示op, oq ;(2)当心1时，如图7,将厶opq沿p0翻折，点o恰好落在cb边上的点d处，求点d的坐标;(3) 连结ac,将厶opq沿pq翻折，得到 epq,如图8.问：pq与ac能否平行？ pe与力c能否垂直？若能，求出相应的f值；若不能，说明理由.本例是08年绍兴中考试题中的压轴题，冇相当的难度，但当我们的学生具备了动态思 维能力后，对问题就不再感到陌生，可以创造性地应用所学的知识解本题，在解答的过程中 反映学生的数学素养，展