第3篇线性规划模型-题目

1、第3篇线性规划模型线性规划通常研究资源的最优利川问题.例如，在任务确定的条件k，如 何用最少的资源（如资金、原材料、人工、时叫、设备等）去完成确定的任 务；在资源一定的条件下，如何组织生产，使得成本敁小，或者利润鉍大， 等等.线性规划可以分为连续规划、整数规划和0-1规划.3.1生产计划问题例3.1个奶制品加工厂用牛奶生产a,、a2两种奶制品，1桶t奶可以在甲车间川12小吋加工成3千克a,或者在乙车间川8小吋加工成4千克a2.根据市场需求，生产出的ap八2能够全部笆出，且每获利24元，每千克a2获利16元.现在加工厂毎天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动吋间为480小时，卯且甲车间的

2、设备每天至多能加工100千克ap乙车fuj的设备的加工能力可以认为没柯上限限制，（即加工能力足够人），试为 该厂制订一个生产计划，使得每天的获利敁大.3.2零件配套问题例3. 2某产品由2件甲零件和3件乙零件组装而成。两种零件必须在设备 a、b上加工，每仲甲零什在a、b上的加工时問分别为5分钟和9分钟，每件乙 零件在a、b上的加工时间分别为4分钟和10分钟。现冇2台设备a和3台设备b， 每天可供加工时间为8小时。为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备 每天的加工总吋间不超过另一种设备总吋间1小时。怎样安排设备的加工时间 使得每天加工的产品的产暈最人？3.3背包问题例3. 3 个旅行者的竹包

3、最多只能装20千克物品.现有4件物品的重跫 分别为4千克、6千克、6千克、8千克，4件物品的价值分别为1000元,1500 元，900元，2100元.这位旅行者应携带哪些物品使得携带物品的总价位最人？3.4选择加工方式问题例3. 4企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、外协加工 任意一种形式尖产.已知每种生产的固定成本、屮产该产品的单件成本以及 每种生产形式的最人加工数景如表3-1所示，怎样安排产品的加工使总成本 最小.3.5灵敏度分析在线性规划模型（3-6）屮，对于价值系数q、资源系数z?z.和工艺系数，当其屮的某些参数发生微小的变化时，最优解和最优位的变化情况怎样？这 就是线性

4、规划的灵敏度分析.具体来说，乂敏度分析主要分析以下2个方iflf:1. 系数变化吋，最优解有什么变化；2. 系数在什么范围内变化吋，原最优解不变.我们以例3.1为例來说明灵敏度分析的方法.2.5.1对价值系数进行灵敏度分析在模型（3-6）中，假设每千克砟获利由24元提髙到25元，那么b标函数为f = 75%, + 64x2 .枚型的其余部分都不变，使用lingo软件求解，程序和结果见附录9.从求解结果来看，最优解没有变化，仍然是/=（20,30）'当然由于价格变人了，最优位必然会增加的（增加了60元）.反复实验，可以发现，只要 价格在21，31内，最优解都是不变的.这说明最优生产方案对

5、于奶制品的价格变化不是很敏感.类似地吋以分析奶制品戍对价格的敏感性.2.5.2对资源系数进行灵敏度分析在模型（3-6）巾，假设每天能得到51桶牛奶的供应，那么，原料供应约束为其余部分都不变，使用lingo软件求解，程序和结果见附录10.从求解结果来看，最优解发生了变化，是£=（18,33/.最优值增加了48元.这说明最优生产方案对于牛奶的供俺朵的变化是非常敏感的.我们把48元 叫做1桶十奶的影子价格，它记录在“dual price” 一栏.影了价格的功能是， 如果购买1桶牛奶的成本低于48元，就可以扩大购买量来扩大生产规模，因为 这样可以增加利润；如果购买1桶牛奶的成本高于48元，就

6、可以卖掉牛奶來压 缩生产规模，因为这样也可以增加利润；其实，柯关资源系数的灵敏度分析可以h接根裾原模型（3-6）的求解结 果“dual price” 一栏的数据进行，而不必重新建模.比如，对于劳动时间约 束，每增加1小吋，总收入增加2元.而对于设备甲的加工能力约束，就完全没 有敏感性了，因为此吋还剩余46小吋没有用完.2.5.3对工艺系数进行灵敏度分析在模型（3-6）中，假设1桶牛奶可以在甲车间用13小时加工成3千克a,（加工时间增加了1小时），劳动时间约朿变为13x, +8x2 < 480.-其余部分都不变，使用lingo软件求解，程序和结果见附录11.从求解结果來看，最优解发生了变化

7、，足/二（16,34/.生产奶制品4的牛奶减少4桶，而生产奶制品a2的卞奶增加4桶，这说明敁优生产方案对于人的工艺系数是非常敏感的.曲于生产效率降低了，所以应该减少奶制品、的 生产规模.并不是对每个系数都要进行灵敏度分析.比如，在本例屮，工艺系数在一 定时期内是相对间定的，除非企业要进行技术改造，因此对工艺系数就没有 必要进行灵敏度分析.3.6两辆铁路平板车的装货问题例3. 5有7种规格的包装箱要装到两辆平板车上去，包装筘的宽和m是 一样的，但厚度t （以厘米计）及重量w （以千克计是不同的。表2-2给出了每种毡装箱的厚度，以及数s,每辆平板车有10.2米k：的地方可用来装 乜装箱（象面包片那

8、样，如图1所示），载車:为40吨，山于地区货运的限制， 对（25、c6 、（27类包装箱的总数有一个特别的限制：这三类箱子所占的总空间（厚度）不能超过302.7厘米.请设计一种装车方案，使剩余的空叫 鉍小（1988年美国数学建模竞赛b题）.表3-2已知数据信息表包装箱类型ctc2c：ic,gcoc7厚度t （厘米）48.75261.37248.75264重萤w（千克）200030001000500400020001000件数8796648图1平板车装箱示意图习题1.某水泥； '有三个仓库，供成四个建设工地的需要，仓库储存量，工地需 求fi以及每吨水泥的运费由表3-3给出，问如何安排调运

9、方案使总运费敁少？表3-3已知数据信息表工地1工地2工地3工地4供应虽仓痄1311610700仓库21928400仓库374105900需求呈30060050060020002.某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格足：锡不少于28%，锌不 多于15%,铅恰好10%，镍要界于35%55%之间，不允许有其他成分.钢铁公 司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含虽和价格如表3 4 所示.矿石杂质在冶炼过程中废弃，现耍求每吨合金成本最低的矿物数量.假 设矿石在冶炼过程中，合金含鲎没有发生变化.表3-4已知数据信息表合金矿石锡锌银杂质赞用（元/t ）12510102530340240003

10、03026030155206018042020040202305851517551903. 国内某手机生产尚考虑生产甲、乙、丙、丁型号的叫款手机，每款手 机都耑要依次经过a、b、c三个车间加工完成。假设每款手机耑要各车间加 丄的丄时（单位：时）、各车间的最大生产能力以及每款手机预期的利润都已 知，具体数裾参见表3-5.表3-5已知数据信息表甲乙丙丁牢间锻大生产能力a1.53131200小时b8203123000小时c38352400小时中-位利润200元1200 元100元400元如果你足主管，应该投产哪儿款手机，各生产多少，才能获得尽可能多 的利润？4. 某商场决定：营业员每周连续工作5天活

11、连续休息2天，轮流休息。 根据统计，商场每天需耍的营业员如表3-6所示。商场人力资源部应如何安 排毎天的上班人数，使商场总的营业员最少。表3-6已知数据信息表星期需耍人数星期需耍人数-300五480二300 >. 4/600三350550四4005. 某游泳队准备选川甲、乙、丙、丁四名运动员纟ii成一个4x100米混合 泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100米自由泳、蛙泳、蝶泳、仰泳的 成绩如表所示。甲、乙、内、丁四名运动员各自游什么姿势，才冇可能取得 好成绩？表3-7已知数据信息表自由泳（秒）蛙泳（秒蝶泳（秒）仰泳（秒）甲56746163乙63696571内57776367丁5576

12、62626. 某公司准备投资100万元在rp乙两座城市修建健身中心，经过多方考 察，最后选定al, a2，a3，a4，a5五个位置，并且决定在甲城市的a1, a2, a3三个位置中最多投建两个，在乙城市的a4, a5两个位置中最少投建 一个，如果己知各点的投资金额和年利润如表3-8所示，问：投建在哪些位 置才会使总的年利润最人？表3-8已知数据信息表a1a2a3a4a5投资总额投资金额（万元）2030254045100年利润（万元）10252025307. 假定一个成年人毎天需要从食物屮获取3000卡路里热景，55克蛋白质 和800毫克钙。如果市场上只奋四种食品可供选择，它们每千克所含热景和

13、营养成份以及市场价格如表3-9所示。问如何选择冰能使4:满足营养的前提 下使购买食品的总费用最小？表3-9已知数据信息表序号食品名称热蛍（卡路申.）蛋白质（鬼）钙（毫克）价格（元）1猪肉1000504001028006020063大米9002030034白菜2001050028. 某公司经调研分析知，在今后三年|入冇四种投资机会。第1种方案是 在三年内每年年初投资，年底可获利15%,井可将木金收第ii种是在第 一年的年初投资，第二年的年底可获利45%,并将本金收回，俏该项投资不 得超过2万元；第iii种是在第二年的年初投资，第三年的年底讨获利65%, 并将木金收回，但该项投资不得超过1.5万元

14、；第iv种是在第三年的年初投 资，年底收回本金，且可获利35%,似该项投资不得超过1万元。现在本公 司准备拿出3万元来投资，问如何计划讨使到笫三年年末本利和最大？9. 袈用一批长度为7.4米的园钢做100套钢架，每套钢架由2.9米、2.1 米、1.5米的h钢各一根组成，fuj:应如何k料冰能使所用的原料最省？10. 捷运公司拟在下一年度的1-4月的4个月内需租川仓库堆放物资.己知 各月份所需仓库而积数列于表3-1()屮.仓库租借费用随合同期而定，期限越长， 折扣越人，具体数字见表2.租借仓库的合同每71初都可办理，每份合同具体规 定租用面积数和期限.因此该厂可根据需要，在任何一个月初办理租借合

15、m.每 次办理时可签-份，也可签若干份租川面积和租借期限不同的合同，试确定该 公司签订租借合同的最优决策，h的是使所付租借费川最小.表3-10已知数据信息表月份1234所需仓痄曲积(100m2)15102012表3-11已知数据信息表合同租借期限1个月2个月3个月4个片所需仓库面积(元/100m2)280045006000730011. 某糖果厂用原料a，b，c加工成三种不同牌号的糖果甲，乙，丙.己知各 种牌号糖果中a，b，c含跫，原料成本，各种原料的每月限制用量，三种牌号糖果 的单位加工费及竹价如表3-12所示该厂每月生产这三种牌号糖果各多少 时，使该厂获利敁大.试建立这个闷题的线性规划模型.表3-12已知数据信息表乙内原料成本(元/kg)每月限制呈(kg)a>60%>30%2.002000b1.502500c<20%<50%<60%1.001200加r费(元/kg)0.500.40().30价(冗/kg