函数不等式问题

1、O北京华罗庚学校为全国学生提供优质教育函数不等式问题在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇 的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍.实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法.典例(2015全国卷H)设函数f'(x)是奇函数f(x)(xC R)的导函数，f( 1) = 0,当x>0时，xf'(x)f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(巴1)U (0,1)B. (-1,0)U(1, +8)C.(巴 1)U(1,0)D.

2、(0,1) U(1, +8)答案：A思路点拨观察xf' (x) f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，尝试构造函数F(x)x方法演示法一：构造抽象函数求解设F(x)=31因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F' (x) =xxf (xj- f(x )易知当x>0时 F' (x)<0,所以函数F(x)在(0, +8)上单调递减.又f(1)=0则 隼) x=0,于是F(-1)=F(1)=0, f(x) = xF(x),解不等式f(x)>0,即找到x与F(x)的符号相同的区间，易 知当 xC (8, 1)“0,1)时,f(x)>

3、0,故选 A.法二：构造具体函数求解设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项.又f(1) = f( 1) = 0,所以f(x)能被x21整除.因此可取f(x)= x-x3,检验知f(x)满足题设条件.解不 等式 f(x)>0,得 xC ( 8 , 1)U (0,1),故选 A.解题师说抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端，解决此类问题的关键是构造函数，常 见的构造函数方法有如下几种：(1)利用和、差函数求导法则构造函数对于不等式f' (x)+g' (x)>0(或<0),构造函数F(x)= f(x) +g(x);对于不等式f

4、' (x)g' (x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)-g(x);特别地，对于不等式f' (x)> k(或<k)(kw 0),构造函数F(x) = f(x)- kx.(2)利用积、商函数求导法则构造函数对于不等式f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0(或<0),构造函数F(x)=f(x)g(x);对于不等式f(x)g(x)-f(x)gz(x)>0(或<0),构造函数F(x) = fxJ(g(x)0).g x(3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数对于不等式 xf' (x)+f(x

5、)>0(或<0),构造函数 F(x) = xf(x);对于不等式xf' (x)f(x)>0(或<0),构造函数F(x) = *Rxw0)；对于不等式 xf' (x)+nf(x)>0(或<0),构造函数F(x) = xnf(x)；对于不等式 xf' (x)nf(x)>0(或<0),构造函数F(x) =%xw 0); x 、对于不等式 f (x)+f(x)>0(或<0),构造函数F(x) = exf(x)；对于不等式 f (x)-f(x)>0(或<0),构造函数F(x)=Xx-)； e ，对于不等式f(

6、x) + f'(x)tanx>0(或 <0),构造函数F(x) = sin xf(x);对于不等式f(x)-fz(x)tanx>0(或<0),构造函数F(x) =fxJ(sin xw0)；sin x'对于不等式f' (x) f(x)tanx>0(或 <0),构造函数F(x) = cos xf(x);对于不等式f' (x)+f(x)tanx>0(或 <0),构造函数F(x) =cOxx(cos xw0).?(理)对于不等式 f' (x)+kf(x)>0(或<0),构造函数 F(x) = ekxf(

7、x);?(理)对于不等式f' (x)kf(x)>0(或<0),构造函数F(x) =/； e应用体验1lg x+ 11 .定义在R上的函数f(x),满足f(1) = 1,且对任意xCR都有f' (x)<2,则不等式f(lg x)>q2一的 解集为.答案：(0,10)一一，一，、,> 一、一 一一 一一一 x + 1 I ， 一 一 一，一一 1解析：构造函数g(x) = f(x)2，则g (x)=f (x) 2<0,.g(x)在定义域上是减函数.又 g(1) = f(1)1 = 0, .原不等式可化为 g(lg x)>g(1),，lg x

8、<1,解得0Vx<10.，原不等式的解集为x0<x<10. 2,已知定义在o, 2川的函数f(x)的导函数为f1 (x),且对任意的xC o, 2j,都有f' (x)sin x<f(x)cos x,则不等式f(x)<2f 6 sin x的解集为.答案：E 2)上小小"'ffx, f' (x sin x f(x Cos xf疳、，"包,解析：构造函数 g(x)=snx，则g (x)= ' sin2x卜<0,，g(x)在0, 2/内为减函数.由的<2f 6sin X,得住<2f-即 g(x)&

9、lt;g 兀sin26- 6<x<2, .原不等式的解集为dx<2.升级增分训练、选择题1.已知函数f(x)的定义域为R, f'且f(-2)= 1, f(3)=1,则不等式A . (-3, 2)U (2,3)C. (2,3)(x)为其导函数，函数y=f' (x)的图象如图所示,f(x26)>1的解集为()B. (-V2,柩D. ( 8, 72) U (V2 , +8 )解析：选A 由y=f' (x)的图象知，f(x)在(一8, 0上单调递增，在(0, +8)上单调递减，又f(2)=1, f(3)=1,f(x26)>1 可化为2<x2-

10、 6<3,解得3vx<2 或 2Vx<3.2.已知f(x)的定义域为(0, +8),，(x)为f(x)的导函数,且满足f(x)<-xf，(x),则不等式f(x+1)>(x1)f(x21)的解集为()A . (0,1)B. (1, +8)C. (1,2)D. (2, +8)解析：选D 因为f(x)+xf' (x)<0,所以xf(x)' <0,故xf(x)在(0, + °°)上为单调递减函数，又 (x+ 1)f(x+ 1)>(x2- 1)f(x2-1),所以 x+1<x2-1,解得 x>2.3 . (2

11、018沈阳质检)已知定义域为x|xw0的偶函数f(x),其导函数为f (x),对任意正实数x满足，.2xf (x)>-2f(x),右 g(x)=xf(x),则不等式 g(x)<g(1)的解集为()A. ( 8, 1)B. (-1,1)C. ( 8, 0)U (0,1)D. (-1,0)U(0,1)解析：选 D 因为 g(x)= x2f(x),所以 g' (x) = x2f' (x)+2xf(x)=xxf' x) + 2f(x).由题意知，当 x>0 时，xf' (x) + 2f(x)>0,所以g' (x)>0,所以g(x)在

12、(0, + 00)上单调递增，又f(x)为偶函数，则g(x)也 冈<1,一是偶函数，所以 g(x)=g(|x|),由 g(x)<g(1),得 g(|x|)<g(1),所以 i 所以 xC (-1,0) U (0,1).lx”4 .设f(x), g(x)分别是定义在 R上的奇函数和偶函数.当 x<0时，f' (x)g(x)+f(x)g' (x)>0,且g(- 3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集为()A . (-3,0) U (3, +8 )B. ( 3,0) U (0,3)/C.(巴 3)U(3, +8)D.(巴 3) U (0,3)

13、，” / 最解析：选 D 设 F(x)=f(x)g(x),当 x<0 时，F ' (x)=f' (x)g(x)+f(x)g' (x)>0,'1F(x)在(一8, 0)上为增函数.又; F(-x)=f(-x)g(-x) = - f(x)g(x)=- F(x),故 F(x)为 R 上的奇函 数.F(x)在(0, +8)上也为增函数.由 g(-3)=0,得F(-3)= F(3) = 0.画出函数F(x)的大致图象 如图所示，F(x)<0的解集为x|x< 3或0vx<3.5 .已知函数f(x)是定义在(0, +8)上的非负可导函数，且满足x

14、f' (x) + f(x)W0,对于任意正数 a, b,若a<b,则必有()A. af(a)wf(b)B. bf(b)wf(a)C. af(b)<bf(a)D. bf(a)<af(b)解析：选 C . xf，(x) + f(x)<0,且 x>0, f(x)>0.，f' (x)w 3,即 f(x)在(0, +8)上是减函 x数.又 0<a<b, af(b)<bf(a),当 f(x)= 0 时,符合题意，则 af(b) = bf(a),故 af(b)w bf(a).6 .设函数f(x)在R上的导函数为f' (x), 2f

15、(x) + xf' (x)>x2,则下面的不等式在R上恒成立的是()A . f(x)>0B. f(x)<0C, f(x)>xD, f(x)<x1解析：选 A 法一：令 g(x) = x2f(x) 4x4,则 g (x)=2xf(x) + x2，(x)x3=x2f(x) + xf x) x2, 当 x>0 时，g'(x)>0,g(x)>g(0),即x2f(x)-1x4>0,从而 f(x)>4x2>0;当 x<0 时，g'(x)<0,g(x)>g(0),即x2f(x)-1x4>0,从而

16、 f(x)>4x2>0;当x= 0时，由题意可得2f(0)>0,f(0)>0. 综上可知，f(x)>0.法二：2f(x)+xf'(x)>x2,令x=0,则 f(0)>0,故可排除B、D.如果 f(x)=x2+0.1,已知条件2f(x)+xf' (x)>x2成立，但f(x)>x不恒成立，故排除 C,选A.7 .已知函数f(x)的定义域为 R,f(1)=2,对任意xC R,f' (x)>2,则不等式f(x)>2x+ 4的解集为()A . (1,1)B. ( 1, +8)C. (8, 1)D. ( 8, +OO

17、 )解析：选B 令m(x)= f(x) (2x+ 4),则m' (x)=f' (x)2>0,.函数 m(x)在R上为单调递增 函数.又,m(-1)=f(-1)-(-2+4)=0,m(x)>0 的解集为x|x>-1,即 f(x)>2x+4 的解集为(一1,十 °0).8 .设函数f(x), g(x)在区间a, b上连续，在区间(a, b)上可导，且f' (x)<g' (x),则当xC (a, b)时 必有()A . f(x)>g(x) B. f(x)<g(x) C. f(x) + g(a)<g(x) + f

18、(a) D. f(x) + g(b)<g(x)+f(b) 解析：选 C 令函数 h(x) = f(x)g(x).因为 f' (x)<g' (x),故 h' (x)=f(x)g(x)' =f' (x) g' (x)<0,即函数 h(x)在区间a, b上单调递减.所以 xC (a, b)时必有 h(b)<h(x)<h(a),即 f(b) g(b)<f(x) g(x)<f(a) g(a),移项整理得,f(x) + g(a)<g(x) + f(a), f(x)+g(b)>g(x) +f(b),故选项

19、C 正确.9 .函数f(x)是定义在R上的偶函数，f( 2)=0,且x>0时，f(x) + xf' (x)>0,则不等式xf(x)>0的解 集是()A . 2,0B. 0,2C, -2,2D, -2,0 U 2 , +0o )解析：选D 因为x>0时，f(x) + xf' (x)>0,故构造函数 y=xf(x),则该函数 在(0, + 8)上单调递增.又因为f(x)为偶函数，故y=xf(x)为奇函数.结合f( 2)=0,画出函数y=xf(x)的大致图象如图所示.所以不等式xf(x)>0的解集为2,010 .函数f(x)是定义在R上的奇函数，f

20、(3)=0,且x<0时，xf' (x)<f(x),则不等式f(x)>0的解集为()A. ( 8, 0)B. -3,0 U 3,+8)C. 3,3D. 0,3解析：选B 令F(x) = 3,因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以 F(x) x为偶函数，当x<0时，F(x) =奸 x 2Tx <0,故f(x)在(一8,0)上为减函数, x在(0, +8)上为增函数.结合f(3)=0,画出函数F(x) = KxM大致图象如图所示.所以不等式f(x)>0的解集为3,0U3, +811.函数f(x)是定义在R上的可导函数，且 f(x)>f' 是(

21、)A. f(2 018)>e2 018f(0), f(2 018)>ef(2 017)C. f(2 018)<e2 018f(0), f(2 018)>ef(2 017)解析：选D 令函数g(x)=. 由 f(x)>f' (x),).(x)对任意xC R都成立，则下列不等式中成立的B. f(2 018)>e2 018f(0), f(2 018)<ef(2 017)D. f(2 018)<e2 018f(0), f(2 018)<ef(2 017)exf' fxexfx)得 f' (x) f(x)<0,所以 g&

22、#39; (x)=- L J:ex聪明在于勤奋，天才在于积累6f'(x)-ffx口"十业f(x V 斗、m、斗、4bi、，ff2 0181f(2 0171ff01 口'，、<0,即函数 g(x)=k拄 R 上单倜递减.所以：2 018 < < 2 017 <W，即有 f(2 018)<ef(2 017), eee e ef(2 018)<e2 018f(0).12 .设定义在R上的函数f(x)满足f(0)=1,其导函数f' (x)满足f' (x)>k>1,则下列结论中一定错误的是()解析：选Cg(0)令

23、g(x)=f(x)-kx+1,则 g(0)=f(0)+1=0, g3 != fM jk亡+1 = fMj,. g, (x) = 1:, (x)k>0,g(x)在0, + 8)上为增函数.又k>1, . .七>0, . . gk 1k 1后>六>0，即f Sr ,>亡.二、填空题13 .设f(x)是定义在 R上的可导函数，且满足f(x)+xf' (x)>0,则不等式f(，U)>/£7f(Vx2-1)的解集为.答案：1,2)解析：令 g(x) = xf(x),则 g' (x)= f(x) + xf' (x)>0

24、 ,，g(x)是 R 上的增函数.又 f(x+ 1)>.x 1 f( yjx2- 1 )可等价转化为 x+ 1 f(、x+ 1 )><x2_ 1 f(、x2_ 1),即 g«x+ 1 )>gpjx2- 1 ),所以 Nx+ 1>Mx2 1,一一一一,V解得1Wx<2, .原不等式的解集为x|1Wx<2.及一 10,14 .设函数 f(x)是定义在(一00,0)上的可导函数，其导函数为f' (x), 且有 2f(x) + xf' (x)>x； 则不等式(x+2 018)2 f(x+ 2 018)-4f(-2)>0 的解集为 .答案：( 8, 2 020)解析：令 g(x) = x2f(x),则 g' (x)=2xf(x)+x2f' (x).结合条件 2f(x) + xf' (x)>x2,将条件两边同时 乘以 x,彳2 2xf(x) + x2，(x)<x3<0,即 g' (x)<0,g(x)在(一8, 0)上是减函数，又 g(-2)=4f(