函数模型及其应用

1、函数模型及其应用考纲传真1.了解指数函数、对数函数、幕函数的增长特征，结合具体实例体 会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.2.了解函数模型(如 指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 ) 的广泛应用.【知识通关】1 .常见的几种函数模型(1) 一次函数模型：y= kx+ b(k w0).k(2)反比例函数模型：y=-+b(k, b为常数且k*0).x(3)二次函数模型：y= ax2+bx+c(a, b, c为常数，aw0).(4)指数函数模型：y= a bx + c(a, b, c为常数，b>0, b*1, a*0).(5)对数函数模型：

2、y= mlogax+n(m, n, a 为常数，a>0, aw 1, mw0).(6)幕函数模型：y= a xn + b(a半0).2 .三种函数模型之间增长速度的比较函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y= xn(n > 0)在(0, +8)上的 增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢因n而异图象的变化随x的增大逐渐表 现为与y轴平行随x的增大逐渐表 现为与x轴平行随n值及化而各有/、同值的比较存在一个 xo,当 x>x0 时，有 logax<xn<ax3 .解函数应用问题的步骤(四步八字)审题：弄清题意，分清条件和结论

3、，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；解模：求解数学模型，得出数学结论；还原：将数学问题还原为实际问题.以上过程用框图表示如下：实墨问匐一抽象、转化一匡生华蚂答数学推演实总果卜1融学结果常用结论a形如f(x) = x + a(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型： x该函数在(一8, g和的，+8)内单调递增，在«, 0和(0,京上单调递减.(2)当x>o时，x=，a时取最小值24a,当x<o时，x=，a时取最大值一24a.【基础自测】1 .(思考辨析)判断下列结论的正误

4、.(正确的打“，”，错误的打"X”)(1)函数y= 2x与函数y= x2的图象有且只有两个公共点.()幕函数增长比直线增长更快.()不存在 x0,使 ax0<xn< logax0.()(4)f(x) = x2,g(x) = 2x, h(x)= log2x,当 x (4, +00)时，包有 h(x)<f(x)<g(x).()答案(1)X (2)X (3)X (4)V2.在某个物理实验中，测量得变量 x和变量y的几组数据，如下表，则x, y最适合的函数是()x0. 500. 992. 013. 98y 0.990. 010. 982. 00A.y= 2xB . y

5、= x2 1C. y=2x2D. y=log2xD3. 一个工厂生产一种产品的总成本 y(单位：万元)与产量x(单位：台)之间的函数 关系是y=0. 1x2+ 10x + 300(0<x<240, x C N),若每台产品的售价为 25万元， 生产的产品全部卖出，则该工厂获得最大利润(利润=销售收入一产品成本)时的 产量是()A. 70 台B. 75 台C. 80 台D. 85 台B4 .某商品价格前两年每年递增 20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与 原来价格比较，变化的情况是（）A .减少 7. 84%B .增力口 7. 84%C .减少9. 5%D .不增不减A5 .

6、某城市客运公司确定客票价格的方法是： 如果行程不超过100 km,票价是0.5 元/km,如果超过100 km,超过100 km的部分按0.4元/km定价，则客运票 价y（元）与行驶千米数x（km）之间的函数关系式是 .0. 5x, 0<x<100y=八， 一 一0. 4x+ 10, x>100【题型突破】用函数图象刻画变化过程1 .如图，在不规则图形 ABCD中，AB和CD是线段，AD和BC 是圆弧，直线lAB于E,当l从左至右移动（与线段AB有公共点） 时，把图形ABCD分成两部分，设AE=x,左侧部分面积为y,则 y关于x的大致图象为（）ABCD9D2 .物价上涨是当前

7、的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案.据预测，这四种方案均能在规定的时间 T内完成预测的 运输任务Q。，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方 案中，运输效率（单位时间的运输量）逐步提高的是（）B3 .汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、 乙、内三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是 （ ）燃油效R/km/LJ040 so 速度 rkne)A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶 5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D

8、.某城市机动车最高限速 80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车 更省油D方法总结判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法1构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时 ，先建立函数模型，再结合模 型选图象.2验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特 点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出 符合实际情况的答案.应用所给函数模型解决实际问题I题型2|【例11 小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查， 生产某小型电子产品需投入年固定成本为 3万元，每生产x万件，需另投入流动1 C成本为 W(x)万兀

9、，在年产量不足 8万件时，W(x)=gx2+x(万兀).在年产量不小于8万件时，W(x) = 6x+ ¥0 38(万元).每件产品售价为5元.通过市场分析， x小王生产的商品能当年全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润=年销 售收入固定成本流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多 少？解(1)因为每件商品售价为5元，则x万件商品销售收入为5x万元，依题意得，当0<x<8时,L(x)=5x 3x2 + x _3=_$2+4x_3;当 x18 时，L(x) = 5x- 6x+38 3

10、 = 35- x+ . xx所以L(x) =1 2 ,3x + 4x 3, 0< x< 8,35 x+100x>8.(2)当 0<x<8 时，L(x)= 3(x 6)2+9.此时，当x=6时，L(x)取得最大值L(6) = 9万元,当 x8 时，L(x)=35 x + 100 <35-2a lx35- 20= 15,止匕时，当且仅当 x = 100,即x= 10时，L(x)取得最大值15万元.因为9<15,所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大 ，最大利润为15万元.方法总结求解所给函数模型解决实际问题的关注点1认清所给函数模型，

11、弄清哪些量为待定系数.2根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数 .3利用该模型求解实际问题.易错警示：1解决实际问题时要注意自变量的取值范围.2利用模型f x =ax+b求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件. x部除缮习(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可 食用率”.在特定条件下，可食用率 P与加工时间t(单位：V11 V分钟)满足函数关系p = at2+bt+c(a, b, c是常数)，如图记。丁* ;录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可 以 以得到最佳加工时间为() 一03 45,A. 3. 50分钟B. 3. 75分钟C. 4. 00分

12、钟D. 4. 25分钟(2)(2019沈阳卞K拟)一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢 慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y=aeTbt(cm3),经过8 min后发现容器内 还有一半的沙子，则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.(1)B (2)16构建函数模型解决实际问题I题型3|【例2】某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租.该景区有 50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超出1元, 租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算，每辆自行车的日租

13、金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y(元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).(1)求函数y= f(x)的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解(1)当 x06 时，y=50x115 令 50x115>0,解得 x>2.3. xC N*, - 3<x<6, x N*.当 x>6 时，y=50 3(x6)x115.令50 3(x 6)x 115>0,有 3x268x+ 115<0.又 x C N , . 6< x0

14、20(x C N ), 一一 一 一一* 50x 115 3<x< 6, x N ,故y- 3x2+ 68x-1156<x<20, xCN*.对于 y= 50x-115(3<x<6, xCN),显然当 x = 6 时，ymax=185.对于 y= 3x2+68x115= 3 x34 2+811(6<x<20, x N*),当 x=11 时，ymax = 270.又270> 185,一当每辆自行车的日租金定为11元时，才能使一日的净收入最多.方法总结构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法(1)构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类

15、讨论思想求解.(2)构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.(3)构建可刈=乂 + ；仁>0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解.易错警示：求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.跟(2016四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若 该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金 比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过 200万元的年份是(参 考数据：lg 1.12弋 0.05, lg 1.3=0.11, lg 2 = 0. 30)()A. 2018 年B. 2019 年C. 2020 年D. 2021 年B函数模型

16、的选择I题型4|【例3】(2019沈阳模拟)某种特色水果每年的上市时间从 4月1号开始仅能持 续5个月的时间.上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在 原有价格基础之上继续下跌.现有三种价格变化的模拟函数可供选择：f(x)=p qx;f(x) = px2+qx+ 7;f(x) = logq(x+p).其中 p, q 均为常数且 q>1.(注: x表示上市时间，f(x)表示价格，记x=0表示4月1号，x=1表示5月1号，, 以此类推x 0,5)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你 选择，并简要说明理由；f x -2x-13 一、， (2)对(1

17、)中所选的函数 f(x),若 f(2)=11, f(3) = 10,记 g(x) =,经过x十1多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请 预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？解(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后一直单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，故应该选择 f(x) = px2+ qx + 7.(2)由 f(2)=11, f(3)=10解得 f(x) = x2 + 4x+7.f x -2x-13g(x) =1T1一x2 2x+6 = "x+ 19x+ 1+ x+ 1 4一 .9因为-77+ x+1 -4 < -2, x I 1当且仅当x+1 = 3,即x = 2时等号成立.所以明年拓展外销的时间应为 6月1号.方法总结根据实际问题选择函数模型时应注意以下几点：1若能够根据实际问题作出满足题意的函数图象 ，可结合图象特征选择.2当研究的问题呈现先增长后减少的特点时,可以选用二次函数模型v= ax2+ bx + ca, b, c均为常