第四章声波的辐射概述1声波的辐射过程辐射器振动表面推动

1、第四章声波的辐射4.1概述4.1.1声波的辐射过程辐射器振动表面推动.第四章声波的辐射4.1概述4.1.1声波的辐射过程辐射器振动表面推动周围介质振动，由于介质的惯性和弹性，使 得振动向远处传播。4.1.2本章学习的内容：（1）介质对辐射器振动表面的作用-辐射阻抗的概念；（2）辐射声场的空间分布-轴向：远近场的概念，瑞利距离 -周向：远场指向性的概念（3）辐射声场的数学处理方法：分离变数法求解（要求辐射面规则）；亥姆霍兹方程的积分解：亥姆霍兹积分公式；4.1.3辐射声场的定解问题亥姆霍兹方程+边条件（振源边条件和无穷远边条件）波动方程，如果时间函数为简谐振动,略记,可得:? ?2p(r)?k2

2、p(r)?0;亥姆霍兹方程其中,k?/c;?nr?s?（4-1）?p（r）r?满足无穷远辐射条件（在辐射器振动表面的声场法向振速等于辐射器表面振速）辐射声场的定解问题：?22?p(r)?kp(r)?0; ? u(r)?v(s)其中,k?/c;(不同解法，无穷远辐射条件的表现形式不同)4.2辐射阻抗如果，辐射器的机械振动系统的等效集总参数系统如下图:图4-1系统在无介质环境下的运动方程为：r1)um?j(?mm?o?cf其中 ，u0是等效系统参考点处的振速； (取辐射器表面某点振速)f是电?机转换元件的等效施加力；系统在介质中的运动方程为：r ? j(? m 1mm ? ?c) u 0 ? f

3、? f 阻其中,um0是等效系统参考点处的振速；f是电机转换元件的等效施加力；f阻是介质对辐射器振动系统的阻力；又，因为f阻是声压作用在辐射器振动表面的压力，所以:f 阻？?p(r?ds?z?a(r)tr(r?dssoso上式中,z？a(r)是波阻抗；(?)是声场在辐射器振动表面处的振速。又？ u(r?)s ? v ( s )(0v(s)是辐射器振动表面的振速分布函数)所以：f? r?)ds ? ? z？阻?p( a (r) u(r?)ds ? ?z？a(r)v(s)dssososo此式代入到运动方程中，得：4-2) 4-3) 4-4) 4-5) 4-6)( ( ( (系统在介质中的运动方程为

4、：？(4-7)r ? j (? m ?1) u ?f?？ f(rf?z)v(s)dsmmoa 阻？cm so1?r?j(?m?)u?z(r)v(s)ds?f0? a(4-8) ?cmso?za(r)v(s)l?rm?j(?mm?)?dsu?fo? cm s u(4-9)00定义：辐射阻抗，介质对辐射器振动表面的阻力作用，相当于在 辐射器的机械振动系统中增加了一个机械阻抗。此机械阻抗称为辐射 器的辐射阻抗。记zs;单位：机械欧姆。?za(r)v(s)z s ? ? ds(4-10)so u0分析：1)辐射器的辐射阻抗与辐射器的振动表面及其振速分布、介质 的特性阻抗以及等效系统的参考点选择有关。h

5、) za(r)v(s) z s ? ? ds ? r s ? jx s(4-11) uosors，辐射阻；xs，辐射抗；辐射阻，rs是耗能元件；将机械振动系统中的机械振动能 转化为声场中的声能。所以，辐射阻的消耗功率就是辐射器的辐射声功率。辐射抗，xs是储能元件；不断进行机械振动系统中的机械振 动能与声场中的声能的相互转化。4-212w?r辐射声功率：a s 0 (4-12)2 12(r机械振动系统总消耗功率：w m ?0(4-13)m ?2wa r所以，机/声转换效率：s? 100%(4-14)?a/m4.3球形声源的声福射wmrm?rs4.3.1均匀脉动球面的声辐射(一) 方程和边条件及其

6、解：? ?2p(r?;ej?t?无关)?k2p(r?)?0;其中,k?/c ?u n(r?) v 略 r?a?0 ?p (r?)?？满足无穷远辐射条件 球坐标系下，边条件与？、所以，声场与？、？?p(r)?p(r,?,?)?p(r;有，亥姆霍兹方程为：l?(r)2?r(r 2?p?r)?kp(r)?0?2rp(r)?r2?k2rp(r)?0?rp(r)?aejkr?be?jkra ?p(r,t)? ?jkrjkrre ?b e e ;r又由？条件，得：b?o?p(r,t)?aj(?t?kr)e ?u (r,t)? l?p(rzt) dt ? l?jkraej(?t?kr )?rjkr?cr代入

7、球面处的边条件，有 u(r?azt)?al?jkaej(?t?ka)?voej?ta?cjka?a?cavo(ka)ej(ka?o);tg?(ka)20?lka?均匀脉动球源的辐射声压场和振速场力：p(r,t)?cavo(ka)ej(ka?o)lej(?t?kr)?(ka)2r u(r,t)?cavo(ka)j(ka?o)l?jkrlj(?t?kr)?(ka)2ejkr?cre无关。4-15)4-16)4-17)4-18)4-19)4-20)4-21)(?(二) 声源强度和点声 源的概念定义：谐合律振动声源，排开介质的体积速度的幅值为 声源强度，记q。均匀脉动球源:球面振速,v0ej?t/振动

8、面面积,4?a2;?q.?4?a2vo均匀脉动球源的福射声压场可表示 为：p(r,t)?ckqej(ka?0)l ej(?t?kr) 4?(ka)2r；讨论：ka ?1 时，有：p(r,t)? j?ck qej(?t?kr)4?r这是点声源辐射场。点声源g1)声源尺度远小于介质中波长；(2)辐射的声场各向均匀。由点声源声压场：p(r,t)?j?ckqej(?t?kr)4?r；可得：点声源速度势场：(？ 1p(r,t)dt ?q?r,t )ej (? t? kr )?4?r(三) 均匀脉动球面声源的辐射阻抗：z？波阻抗：p(gt)a(r,?)? jkru(gt)?l?jkr? c?均匀脉动球源的

9、辐射阻抗为：z?v(? vs(?)?za(r,t)s)jkros su?l?jkr?coosor?avo?4 ? a 2 ? cjka2(ka)2l?jka? 4? a ?cl?(ka)?j(ka2)l?(ka)2?c(ka)2辐射阻:r ? 4?a 2s1?(ka )2;辐射抗：xs ?4?a2 ?c(ka)l?(ka)24-22) 4-23) 4-24) 4-25) 4-26) 4-27)图4-3均匀脉动球面声源的辐射阻和辐射抗随ka的变化曲线 分析：(l)a?，大球辐射时(ka?l)(高频)2 2?c(ka)2福射 阻:rs?4?a?4?a?c; 2 l?(ka)ka?l2?c(ka)辐

10、射抗:x?4?a?0 s21?(ka)ka?l (2)a?，小球辐射时(ka?l)(低频)22 ?cs2?c(ka)輻射 阻:rs?4?a?2; 2 ?l?(ka)ka?l432?c(ka)辐射抗:x?4?a?3(?a?)?3m0?s 231?(ka)ka?l 43m?a?(同体积介质球质量)；03辐射器的辐射抗所对应质量元件的质量称作伴振质量，记ms。 小球辐射时的伴振质量为3倍同体积介质球的质量。ms?3m0(四) 均匀脉动球面声源的辐射声功率图4-4(1)用辐射阻抗求辐射声功率：因为，辐射阻的消耗功率全部转化为声场功率，所以：2c(辐射声功率,w ?1r2?14?a2?ka)v2(4-2

11、8)as00221?(ka)2分析：l)a?，大球辐射时(ka?l)(高频)(4-29)辐射声功率,wa?rso?4?a2?cvo 222)a?,小球辐射时(ka?l)(低频)121?s222 辐射声功率,w?r?v?fasoo?2(4-30)22(2)用声场求辐射声功率：？通过包围声源闭曲面的声功率就为声 源的辐射功率，所以：？?辐射声功率,wa?l(r)?ds又?谐合声波，l(r)?p(r,t);(4-31)s0?l22 ?c(4-32)对于均匀扩散谐合球面p(rzt)?； r力r?a的球面，存：闭曲面s0，取与声源同心，半径?a?wa?a?12?2 而，？ dser(4-33)? i (

12、r)?e r ；d s e r ? r sin ?d?d?2?crs022?a22a?ll(r)?ds?) rsin?d?d?4?2?cr2?c?00 (4-34)?cav0(ka)j(ka?0)l?a?e;tg?0?(见前)2ka?(ka)2 22ka4?c(ka? w ? cav0()e j( ka ? ? 0 )? 14?a)v 2(同前)a02?c?(ka)22(l?(ka)2)4.3.2声偶极子及摆动球的声辐射声偶极子：两个相距较近，强度相等，振动相位相反的点声源构 成的声辐射系统。4-5?点声源速度势：qj(?t?kr)?(r,t)?e4?r(4-35 )qj(?t?kr?) ?(

13、,t)?e;4?r?qj(?t?kr?)?(r,t)?e;? 4?r?据迭加原理，有：据迭加原理：(ej?t略记)?(r,?,t)?(r,?,t)?(r,?,t)?qe?jkr?qe?jkr?4?r?4?r?jkrd?r?qq?e?jkr ?e(r?r?)?dcos?r4?r4?rra?e?jkr?cos?;其中,a?qd;为偶极子矩4?rr声偶极了辐射声场的特点：?(r,?,t)?j?(r,?,t)?ta?e?jkr?p(r,?)?j?cos?r(4-36)4? r声压：？p(r,?,t)?结论1，声偶极子的辅射声场在与声传播方向的垂直方向上声压幅值分布不均匀。定义，声源的指向性：在声源辐射

14、声场的远场，声源各方向距声 源等距离处声场幅值的不均匀性称作声源的指向性。!定义，指向性函数：在声源福射声场的远场，以声源为球心的 球面上，在各方向上声场幅值的归一化函数称作声源的指向性函数，p(?z?)d(?,?)? cos声偶极子声源的指向性函数：？(4-36)p(?0,?0)振速：？u?(r,?,t)?(r,?,t)? u (r,?)?r? (r ,?) ?a?24?r2e?jkrr r cos ?u,?)?a?jkrr?(rz?)?e?(r4?r?rrcos?a? e?jkr sin ?4?r?rr结论2，声偶极子的福射声场的质点振速有e? r和e?分量。声能流密度矢量：?w?(r,?

15、,t)?p(r,?,t)u?(c?,t)w (r, ,t ? r j?a? ej(?t?kr)a? 2j(?t?kr)er?)e4?rrcos?re4?r2r cos ?j?a?ej(?t?kr)?a?ej(?t?kr) w ?(r,?,t)? re4?rcos ? r e 4 ? r ? r r sin ?声强:?l?(r,?)?w(r,?,t) ?lr(r,?)?wr(r”t) ?l?(r,?)?w?(r,?,t)?0 ?i(r,?)? i r(rz?) ? wr(r,?)结论3,声偶极子辐射场的声能流矢量的时间均值，只有e? r分量。复习：特殊函数的性质：j(x?(l)h(2)0(kr)

16、的初等函数表示 h(2)e?2)0(x)?(2)jkr)或 h(2)l(kr)、nl(l(kr)、hl(kr)等球函数的递推关系:?lq(l?l)ql?l)dql (x)l?l(x)?l?l(x)?(2dx取 l?0; ?h(2)l(x)?dh(2)0(x)dx前3次勒让德函数p0(x)p3(x)的多项式表示：p(x)?l;pl01(x)?x;p2(x)?(3x2?l);24-37)4-38)4-39)4-40)4-41)(由特殊函数性质,可得:?e?jkrcos?jk2h(2)l(kr)pl(cos?)偶极子矩为a的偶极子声源辐射声场速度势函数:?(r,?)?a?e?jkrcos?4?rr?

17、a4?jk2h(2)l(kr)pl(cos?)摆动球的声辐射：?2?(r?)?k2?(r?)?0;其中,k?/c;ej?t 略？ ?(?r)?r?vocos?r?a? (r?)?r?满足无穷远辐射条件 图4-6球坐标系下，亥母霍兹方程的解为：(见前2?8) ? )a与?无关；所i(r,?,?)?cos( n ? ? n ) p in (cosin" h (1)h(2)i ( kr ) ? b in h i ( kr )l?0n?0(这里，记：pio(cos?)?pi(cos?);因为，轴对称声场， 以：?(r,?)? pi (cos ?) a "i h (11) ( kr

18、)? b"lh(12) (kr )l?0巾？远边条件，得：a"l?0;所以：？?(r,?)?bi"h(2)l(kr)pi(cos?)；代入边条件:?l?04-42) 4-43)(?b"?h(2)l(kr) ?rlpi(cos?)?vocos?vopl(cos?)r?al?o?rr?a(2) ?b,?hl(kr)l?v;?bh?vo?r01(2);r?a?hl(kr)?rr?ab"i?o;(i?1)?摆动球的辐射声场速度势函数为:(，？)？v(2 h (2)1(kr )cos ?h)l(kr) ?rr?a?偶子极矩为a的偶极子声源辐射场的速度势为

19、：(见前)？(r,?)?ajk2h(2)(kr)p(cos?)4?11?摆动球的偶子极矩力:4?v04?a3v0ejkaa ?j?h(kr)2?rk?12)(2?(ka)2)?j2kar?a(2)注*?h(2)dh0(x)l(x)? dx?h(2)dh(2)0(x)1(x)?dx ?j(?，h的初等函数表示：h(2)ex?2)e?jx(2)又 o(kr)o(x)?jxx?hde?jxe?jx (2)jl(x)?(j)?(l?dxxxx)?jx?jx?jx?dh(2)(x)?d?e(l?jx)?jex(l?jx)?ex2(l?j2dxldxxx)2?x3)e?jx x?j?h(2)l(kr)?h

20、(2)l(?rk2?jkr)k3?j21122?j(?3)e?jxx?kak3r?a?krr?axxx ?j2ka?jj(ka)2?2)e?jka(ka)?3k3?(2?(ka)2)?j2kaa?3e?jka4-44) 4-45)(图4-7摆动球的辐射阻抗：？偶子极矩为a的偶极子声源辐射场的声压为:(见前)?j?a?e?jkrp(r,? 4?rrcos?摆动球表面的声压：p(r?a,?)?cvojka(l?jka) (2?(ka)2)?j2kacos?ds面元x方向受力：(ds为球面上圆环，如图4?7) dfx?p(a,?)dscos? ?p(a,?)cos?2?asin?ad?2?2?a p

21、(a,?)? cos ? d cos ?fx?dfx?2?a2?p(a,?)cos?dcos? 0 ? ?2?a2?cvojka(l?jka)cos?cos?dcos?o(2?(ka)2)?j2ka?2?a2?cv?jka)?0jka(l?2(2?(ka)2)?j2kacos?dcos? ?c4?a2v0jka(l?jka)3(2?(ka)2)?j2ka? (?cos2?dcos?lcos3?2 03?)?034-46)(4-47)?fx?fx?csjka(l?jka)?辐射阻抗:zs?u0v03(2?(ka)2)?j2ka? rs? x s(4-48)rs? 4；辐射抗:2m s ? m34

22、?(ka)(s球面表面积)4 ? a ,?cs(ka)4?cs2?(ka)2辐射阻：xs?4 ka 3 4?(ka)(4-49)?伴振质量：0(4-50)22?(ka)4?（ka）4分析：大球（？?a）:（高频）r?cs s?3;ms?0小球(?a)(低频):r?cs(ka)4134;ms?2m0 ?摆动小球的辐射声功率:wa?f44.4柱形声源的声辅射 4.4.1均匀脉动柱面的声辐射 图4-8（一）方程和边条件及其解：?2p（r）?k2p ?0;其中,k?/?c;ej?t 略?un（r)r?a? v?p(r)r?满足无穷远辐射条件柱坐标系下，边条件与？、z无关；所以，声场与？、z无关。4-5

23、1)(柱坐标系下，声压场：?p(r)?p(r,?,z)?p(r);有,亥姆霍兹方程为:lddp(r)(r)?k2p(r)?0 dr dr(4-52)?d2p(r)dr2?ldp(r)rdr?k2p(r)?0 为 0 阶贝塞尔方程其行波场形式解力：p(r,t)?ah(2)?bh(1)0(kr)0( kr ) ej?t由?远边条件，得：b?0；所以,p(r)?ah(2)0(kr)ej?t;代入声源边条件，确定a:代入柱面处的边条件，有：?u ?r(r,t)?p(r,t)(尤拉公式)?t?r ?ur(rzt)r?a?a?o(kr)er?a?voe ? a ? ? j ? vo? j? cvo(2)k

24、dh(2)o(x)hl(ka) dxx?ka注解】利用了 k?c；以及汗克尔函数的递推关系:x?h(2)?(2?(x) ?xh) ?l(ka)取?0,dx ?h(2)?dh(2)0(x)l(xdx ?a?h(2)(kr)ej?t?akh(2)j?tj?rr?aj?l(kr)er?a?v?t00ej ?a ? j ? v 0j ? cv 0?kh(2)(ka)?h(2)(ka)(?k?c)注解毕11?均匀脉动柱声源的福射声压场力：p(r,t)? j?c v0(2)kr) e(2)h0(hl(ka)可见，均匀脉动柱面声源的辐射场为均匀扩散柱面波场。4-53)4-54)4-55)(二) 均匀振动柱面

25、辐射声场的性质在第二章第七节有详细讨 论，这里不再赘述。均匀扩散柱面波的性质声强、波阻抗分别为：该声场的声压、振速、(详见 ch2?7)v0(2)j?tp(rzt)?j?c(2)h0( kr) e(4-56) hl(ka) v u(r,t)?(2)0 h 1 (2 )( kr )ej?t(4-57) hl(ka)2?cv01 l(r)?22)h (? kr(4-58) (ka)l ?n(kr) (4-59) z a ,?)? c 2?j0(kr)jl(kr)0)nl(kr(r2222?kr(jl(kr)?nl(kr)(jl(kr)?nl(kr)(三) 均匀脉动柱面声源的单位长度辐射阻抗因为均匀

26、脉动柱面声源为无限长；所以，其辐射面的面积无限大; 故，无法求整个声源的辐射阻抗；下面求出单位长度柱面的辐射阻抗:位长度的辐射阻抗为：均匀脉动柱面声源，单v?v(s) zs(?)?za(r,?)s?za(r,?)r?ao?za(r,?)r?a2?a?lsu 0 svo(4-60)00 其中:j0(ka)jl(ka)?n0(ka)nl(ka)?2za(r,?)?c?2222r?a?kr(j(ka)?n(ka)(j(ka)?n(ka)(4-61)2?辐射阻:r?2?a?cs?kr(j(ka)2?n)2);(4-62) (kali jo(ka)jl(ka)?no(ka)nl(ka)?辐射抗:x?2?

27、a?c; s2 2(4-63) (jl(ka)?nl(ka)xj(ka)j(ka)?no(ka)nl(ka) ?伴振质景：ms? s ? 22;(4-64)2 ? a ? c01?(jl(ka)?nl(ka)图4-9单位长度均匀脉动柱面的等效机械振动类比电路图4-10单位长度均匀脉动柱面的辐射阻和辐射抗随ka的变化曲 线分析：(l)a?，细柱辐射时(ka?l)(低频)利用贝塞尔函数的奇异性展开(变景z?0的函数近似式)得：j (?1； 0zz?0zj (z?； lz?0222n (z?lnz； n (z?01z?0z?0?z 将上面的近似式代入辐射阻抗表达式中，可得：？ka辐射阻:rs?2?a

28、?c; ?辐射声功 率?f21 辐射抗:xs?2?a?ckaln; ka(2)a?，粗柱辐射时(ka?l)(高频) 2?cos (z?)； ?z423?cos (z?)； ?z4利用贝塞尔函数的渐进展开(变量 z?的函数近似式)得：j (?0zz?n (?0zz?j (?lzz?2?23?sin (z?)； n (z?sin (z?)； iz?z4?z4 将上面的近似式代入 辐射阻抗表达式中，可得：辐射阻:rs?2?a?c;辐射抗:xs?0;(四) 单位长均匀脉动柱面声源的辐射声功率(略)图 4-11均匀脉动柱面声源，单位长度的辐射声功率为rs的消耗功率：(4-65)rs,单位长度均匀脉动柱面

29、的辐射阻；vo,均匀脉动柱而振动的幅值。4.5亥姆霍兹(helmholtz)积、分公式及丼应用4.5.1亥姆霍兹积分公式(1)令s是声场中的闭曲面，s的内部v中各点的速度? 势函数?(r)满足h?方程(a) 式：？2?(r?:)?k2?(r?)?o;r?v,其中,k?/c;取辅助函数?(r?图4-12),令其也满足h?方程(b) 式：？?：?2?(r)?k2?(r)?0;r?v,其中,k?/则有：(b)式?(r?)?(a)式?(r?c;)，得:?(r?)?2?(r?)?(r?)?2?(r?)?(？)？(r?) ?(r?)?(r?0) ? 0上式v内处处成立，作体积分，得：?(r?)?(r?)?

30、(r?)?(r?)dv?o根据奥?高公式：?a?dv?a?d?svs得：?(r?)?(r?)?(r?)?(r?)?d?s?os?(r?)又？?(r)?ds?(r)?nds?nds ?(r?)?(r)?ds?(r)?nds?ds?(r?)?(?n?(r)?n?(r)r)?n ds ?0(* 式)s其中，n为s的外法线方向；4-66)4-67)(?取辅助函数?(r)为空间点m处的点声源辐射场，有： ?e?e?jkrrm?(r)?;其中,rrm?r?rmr?rmrrm?方程显然，此函数在r ? rm处，满足h图4-13?若在以s为边界的v内？(r),?(r)满足h?方程，则：?jkr?rm?(r?)

31、?(r?)?(r?)s?n)?(r)?nds?o (见前;*式)?当r?m?v时(m点在v外)，有下式成立：(记作2?1式)?(r?e?jkrsme?jkrsm?s)?n(r)?r?n?(rs)ds?o;rm?vs? sm ?sm其中，rsm?rs?rm此积分式，对声场计算的作用何在？下面进一步分析，r?m?v时（m点在v内）上式的积分：?e?jk?r?rme?jkrrmr m ? v时（m 点在 v内）函数？（r）?r?rmrrm在v内的m点处是奇点，不满足h?方程；如何作积分？在v内取以m点为球心半径为?的小球面?；则在?e?jkrs 与 rm?之间的区域v'内 r与?满足

32、h?方程,rm（m点不在v'内）?根据2?1式，有:? e ?jkrsm ?jkrsm?（ e?s）（）?（rs'?nr)ds?0r m?v'smrsm?n其中，r?sm?rs?rm;s'?s?小球面?？;n为s '的外法线，图 4-14(4-68)图 4-15?0? s's?s?又?小球面?是以m点为球心半径为?的球面？?(r? ?e?jkrsme?jkrsms) ()?(r? s ) ds?nr smrsm?n 2?嚳 騸?(r?(e?jkr)?e?jkr?(r?s)s)r2sin?d oo?r

33、rr?r?d?r丼中，r?r?r?s?rm;rs?r?rm?(见示意)?n?r 2? ?(r?e?jkre?jkr?2s)()?(rsin?d?d?oo?rrr?rs)rr? 2?(r?s)e?jkr(?jk?l)?e?jkr?(r?2sin?d00rrr?rs)r?d?r?2? 瞻 攀?(r?jkrs)e?r(?(r?(r?s)?jk?s)e?jkrsin?d?d?oo?rr?又,令?0;有：r?s?rmlim?0?2?lim(?)?(r?jkr?jkrs)e?r(?(rs)?jk?(rs)esin?d?d?02?0?0?r?jk?r? ?lim? ?(re?(?(r?jk?m)m)?jk?

34、(?o?rm)esin?d?d?4?(r?00rm)暴? lim ?4?(r?m )s?0?亦：当r?m?v时(m点在v内)，有下式成立：(记作1?2式)？?e?jkrsme?jkrsm ?(r?s) (r)?(rs) ds ?4?(rm ); r m ? vs?nsmrsm ?n其中，r?r?sm?rsm;图 4-16(4-69)(4-70)综上，得结论1:围区域为v，在v中速如果s是声场中的闭曲面，所？度势函数?(r)满足h?方程:?2? ? 2?(r,k ? ?c；)?k?)?0;rv,其中则有 h?积分公式(1): ?jkr?jkrsmsm?ee? ?(rs) ()?s)图 4-17?

35、(rdss?nrsmrsm?n?4?(r?m);rm?vm ? v?0;r 其中，n为v边界面s的外法线；(2)令 s是声场中的闭曲面，s的内部为v ； s外的速度势函数?(r?)满足h?方程和?条件：？?2?(r?)?k2?(r?)?0;r?v,其中,k?/c;?(r?)r?满足无穷远辐射条件4-18如何获得此条件下的h-积分公式？取球心为m点，半径为r的大球面?r,包围v;在s与大球面? r之间的区域v'，利用结论1;得：s?r是声场巾的闭曲面，所围区域为v',在v'巾速度 势函数?(r?)满足h?方程；由h?积分公式(1)有：？ ？ e?j

36、krsm e?jkr sm ?s?(r s ) ? n ' ( r )?(rs)ds?smrsm ? n 'r?4?(r?m ); ?r m ? v'?0;rm?v'其中，n'为v'边界面的外法线；(4-71)图 4-19(4-72)?s?r?； s?r问题？下面计算：？r?r?大球面?r是以m点为球 心半径为r的球®?e?jkrsm?e?jkrsm?(rs)()?(rs)ds?n'rsmrsm?n'?r?e?jk re?jkr?(rs)()?(rs)r2s

37、in?d?d?rrr?r00r?r?其中， r?r?rs?rm;rs?r?rm?n?r(见示意图)2?图 4-20 ?jkr?jkr?2?ee? ?(r)()?(rsin?d?d?ss)r?rrr?r ?r00r?r 2? ?e?jkr?21e?jkr?(r)(?jk?)?(rsin?d?d? ss)rrrr?r00r?r2? ?(rs)e?jkr?r(?(rs)?jk?(rs)e?jkrsin?d?d? ?r00r?r ?又，令r?;利用声场速度势函数?(rs)无穷远条件的 下面表达形式：? ?()满足无穷远条件,是指：(1) limr?(r)?c?常数(有限值条件)r?2? ?lime?j

38、kr?(r)sin?d?d?or? 00?(r) (2) limr(?jk?(r)r?r?0 (辐射条件)r?r2? ?jkr?(r)?lime(?jk?(r)r?rrsin?d?d?o r?r00 (1) ?条件 ？是无穷远声场的熄灭(?2)(也称作索末菲远场条件)? 癩x?rs?r?rm;?limr?(rs)r?r?limr?(r)r?r;limr?(rs)?(r)?rr?rli m?rr?rr?得：?limr?0?rs?rs?r?(r?e?jkrsme?jkrsm?s)s?n'(r)?n'?(rs)dssmrsmm);rm?v?0;r?'m

39、?v'其中，n'为v'边界面的外法线；亦：?e?jkrsme?jkrsm?(rs)()?(r?s)dss?nrsmrsm?n?4?(rr?m);m?v?0;r?m?v其中，n为v边界面s的外法线；?n?n'r?m?v?limr?rm?v'rm?v?limr?rm?v'综上，得结论2:如果s是声场中的闭曲面，所围区域为v，在v外速度势函数?(r?)满足h?方程和?边界条件:?2?(r?)?k2?(r?)?0;r?乂其中,k?/c;?(r?)满足?边界条件则有h?积分公式(2)：?(r? s )? (e

40、?jkrsm)? e?jkrsm?(r?s)dss?nrsmrsm?n?4?(r? ?)；?0;r?rm?vm ? v其中，n为v边界面s的外法线；图 4-21(4-73)结论1与结论2的统一(合并)：如果s是声场中的闭曲面，将 声场分为无源区和有源区；同时?(r)满足?边界条件；亦：？?2?(r)?k2?(r)?0;r?存源区，其中,k?/c;?(r)满足?边界条件?则 有h?积分公式：？?4?(rm);rm?有源 区?e?jkrsm?e?jkrsm?(rs)()?(rs)ds? s? n r smr sm ? n? 0;rm ?(4-73)有源区其中，n为边界面s由有源区指向无源区的法线；

41、关于亥姆霍兹(helmholtz)积分公式的物理意义讨论： ?jkrsm?jkrsm4?(r);r?ee? mm?有源区?(rs)()?(rs)ds?nrsmrsm?no;rsm?有源区？(1) 可巾场的边界值求出场值。(方程?边条件可求场)(2) 场值由边界处子声源辐射场迭加构成。(子声源包括两类？ 点声源和偶极子声源?修正的惠更斯原理)限场不能唯一确定源。(3)源可唯一确定场；存h?积分公式：2亥姆霍兹积分公式在计算声辐射问题中的应用1)无限大刚性障板上辐射器的辐射声场的瑞利公式表示： ?v(s)e?jkrosj?t?(r)?e?ds?瑞利公式 2?ross 式中：v(s)?声源的振速分布

42、；ros?$§射微元ds到场点的距离；辐射面s ?图 4-222)无限大刚性障板上圆面活塞辐射器的辐射声场 (1)远场速度势函数.由瑞利公式:?v(s)e?jkrosj?t?(r)?e? 2?ross?ej?tv0e?jkra?2?rass?半径为a的圆面;r a ?面积微元ds到场点m的距离；图4-23场点m的位置：用球坐标变量(,?)表示；在辐射器振动圆面上取(o?)极坐标，有:ds?d?d?又若，r?a,有：ra?r?cos?sin?在被积函数的分母上，取ra?r在被积函数的指 数因子中，取ra?r?cos?sin?得：?(r?)?e?t?vjkr jaoe?s2?ra v(?

43、t?kr)a2?oejjk?cos?sin?2?r ?0?0e? d? d?图 4-242?又?j?10(x)?e?jxcos?2?d?;xjl(x)?o?xjo(x)dx?v(?t?kr)a2? ?(r)?oej?e?jk?sin?cos?2?r?d?d?00vj(?t?kr)a2? ?0e2?r2?j0(k?sin?)?d?;(?j(x)?l02?e?jxcos?d?)0 ej(?t?kr)va?0r?jo(k?sin?)k?sin?2dk?sin?o(ksin?)(?t?kr)?ejv)k?sin?aojl(k?sin?r(ksin?)2;(?xjl(x)?o?xjo(x)dx)ej(?t?kr)v?0a2jl(kasin?) r(kasin?)?qej(?t?kr)2j l(kasin?)2?r(kasin?);(q ? ? a2 vo)(2) 远场声压和指向