第四章导热问题的数值求解

1、第四章导热问题的数值求解随着计算机的普及应用和性能的不断改善，以及相关的数值计算方法的发展和应用程 序的开发，传热学数值计算方法作为数值求解传热问题的有效工具也得到了相应的发展， 利用计算机求解传热学问题愈来愈受到人们的普遍重视，而且在计算复杂传热问题中显示 出它的优越性，因而成为传热学的一个重要的分支。数值传热的相关内容也很自然地成为 工程类学生学习传热学课程的不可缺少的部分。为了使学生能简要地掌握传热学数值计算 的基本方法，在这里我们以导热问题为例对传热学数值计算方法做一个简单的介绍。4-1导热问题数值解概述在笫二章和笫三章中我们对较为简单的导热问题，如一维、二维简单儿何形状利边界 条件的

2、稳态导热和非稳态导热、以及一些特殊导热问题，象通过肋片的导热和忽略内肌的 集总导热系统，进行了分析求解。然而对于一些更为复杂的导热问题，如复杂的几何形状 和边界条件以及物性变化较大的情况，分析求解往往很复杂或者根本不可能。此时求解问 题的唯一途径是利用数值分析的办法获得数值解。数值求解通常是对微分方程克接进行数值积分或者把微分方程转化为一组代数方程组 再求解。这里耍介绍的是后一种方法。如何实现从微分方程到代数方程的转化又可以采用 不同的数学方法，如有限差分法、有限元法和边界元法等。作为-本入门的教材，这里仅 向读者简要地介绍用有限差分析方法从微分方 程确立代数方程的处理过程。有限差分法的基本

3、思想是把原來在时间和空间坐标中连续变化的 物理量（如温度、压力、速度和热流等），用有 限个离散点上的数值集合来近似表示。有限差分 的数学基础是用差商代替微商（导数），而几何 意义是用函数在某区域内的平均变化率代替函 数的真实变化率。在图41屮可以看出有限差分 表示的温度场与真实温度场的区别。图中用几、 t、门表示连续的温度场t； 4丸为步长，它将 区域的x方向划分为有限个数的区域，4宓j x】、力池，它们可以相等，也可以不相等。当 4 /相等时，力处的真实变化率a可以用平均变 化率方、c或来表示，其中b、c和分别表示 三种不同差分格式下的温度随吋间的变化率， 即：b为向后差分格式如弘）-八2）

4、; dxaxc九向前差分格式岂一©+a）7'（udxaxd为中心差分格式如八21（2）。dxax这种差分格式也可以推广到高阶微商的情形。对于二阶微商的差分格式可以在一阶差 分格式的基础上得出：d't、一 丁（州+心）一2丁（兀）+ 八兀ar）乔 q（ao5°采用这样的处理之后，反映温度场随时间、空间连续变化的微分方程就可以用反映离 散点间温度线性变化规律的代数方程来表示。当利用相应的数学办法求解这些代数方程组 z后，我们就能获得离散点上的温度值。这些温度值就可以近似表示温度场的连续的温度 分布。从上面的分析不难看岀，当我们要对导热问题进行数值求解时一定耍采取

5、三个大的步 骤，即研究区域的离散化；离散点（节点）差分方程的建立；节点方程（代数方程）的求 解。下面我们将导热问题的数值求解进行较为详细的讨论。4-2研究区域温度场的离散化导热问题的温度场是假设为时间和空问的连续函数，当进行数值求解时首先要做的事 情是在所研究的时间和空间区域内把时间和空间分割成为有限人小的小区域，尤如地球被 人为地划分为不同的地域且冠以不同的名称，时间被年、月、口和时、分、秒分割。如果 在所分割的每一个时间间隔和空间区域内均用同一个温度值來农示，那么原來连续变化的温度场就被一个离散的阶跃变化的 温度分布所代替。这就是连续变化 的温度场离散化处理的基本思路。这里我们以一个矩形长

6、柱休的 非稳态导热过程为例来讨论区域离 散化问题。如果不考虑矩形长林体 长度方向上的温度变化，那么它是 一个二维非稳态导热问题，图4-2 表示了长柱体矩形截而上区域离散 化的情况。图中可见，対于给定的 空间区域，在/方向上的步长为你, 在），方向上的步长为用它们作 为空间尺度可以将矩形区域划分成 纵横交错的网格，交点称为节点。 然后以节点为中心，在两个节点的 中心处划分界限，定出节点的控制 面积，对于三维情况则为控制体积 或控制容积，因而常在-般意义上称之为节点的控制体。控制体的形状是随着坐标系的不 同而改变的，这里的控制体是一个个的矩形面积。网格的步长在每一个方向上可以均匀划 分，也可以不均

7、匀的划分。因此，选用不同的步长和不同的划分方法，可以将同一区域划 分出不同大小、不同数日的控制区域，以及不同数id的节点数。显然，随着步长的不断减 小，节点数目的不断增加，由节点温度表示的离散的温度场就会更加接近连续的温度场， 但计算工作量也会随之增加。在时间方向上离散化的步长常用/厂来表示，4厂的选取也是可大可小的，也可以随 时间的进程而变化。显然，无限小的时间步反4厂亦会使得离散温度变化接近连续的温度 改变，但随z而来的是相应的计算工作量的增加。4-3温度场节点方程的建立为了得出所研究区域的节点温度，必须建立相应的节点方程。建立节点方程可以采 用不同的方法，为了更好地理解节点方程的物理意义

8、和学握节点方程的建立方法，我们 采用控制体热平衡法来建立节点方程。下而我们以实例的形式介绍不同节点的节点方程 的建立过程。1控制体的内节点方程控制体热平衡法建立节点方程的过程是将能量导恒方程应用于控制体，建立该节点与 周围节点z间的能量平衡关系式，再利用傅立叶的导热定律，最后获得控制体节点温度与 周围节点温度z间的关系式。考察图4-2中的节点户及其控制体，由能量平衡关系应冇qw+qe+ 2+ qv+ qv =亚、4-1式中，、幺和a分別为邻近节点代e、s和艸通过传导方式传给节点p的热流量；& 为单位时间控制体内热源的发热量；/月为控制体单位时间内热能的增加量。由导热傅立 叶定律，在线性

9、温度分布的假设下，时刻周围节点传给节点p的热流量分别为：qw =（r；-t；）ay.l;ar0二f皿-砒）ay；ax以及控制体的发热流量q =(7varay-l, (g为内热源强度，即单位时间单位体积的内热 源发热量。)控制体单位时间的内能增加量为丁 k+i t kt k t k1ararae = pc axay -1或= pc 一axay -1，前者为时间上的向前差分，而厉者为时间上向厉差分。以上关系式中温度t的上标为所在时刻，下标为所在空间 位置。将以上关系式一并代入方程4-1中，且假设/x二力产经整理可以得岀二维非稳态导热 问题的内节点的两种差分格式的差分方程，即显示差分格式7/+| =

10、窘(t© +t/+ 7/ + )+ (1 - 4 答)7/ + 4心/4-2axar/ w和隐示差分格式11+ ° ax24-3比较上面两种差分格式可以看岀，显示差分格式最突岀的优点是节点温度表达式的右 边只涉及斤时刻的节点温度值，那么只要知道这-时刻周围节点的温度值就可以求出该节 点的卜一时刻的温度值；血隐示差分格式却相反，温度衣达式的两端都是同一时刻的节 点温度值，这就意味着必须同吋计算同一时刻所有节点的温度值，即必须联立求解斤时刻 所有节点的差分方程组，增大计算工作量是显而易见的。虽然显示差分格式计算比较方便，但它却存在着一个缺点，即计算式中沁厂/4壬值 必须满足一定

11、的条件才不至于引起数值计算出现不收敛的问题，这在数值计算中称为差分 格式的不稳說性。这里差分方程稳立性的条件是方程4-2中的变量t前面的系数必须大于4-/7 a t或筹于零，分析一下差分方程中的各项系数，在t/前的系数应为1>0,改写成 为47ar / 1z- <-4-424此式称为显示差分格式的稳处性判据，从中看出时间步长和空间步长是相互制约的。 为了获得较为精确的节点温度值，空间步长4x的选择不能太小，按照稳定性判据的要求 势必会使时间步长4 丁也要相应地不能太大，因而必须在增加节点数目的同时增多时问问 隔，从而使计算工作量加大。与显示差分格式相反，由于隐示差分格式的节点方程中

12、没有会使方程系数成为负值的 系数项，因而不存在方程求解的不稳定性的问题。也就是说，对于隐示差分格式，无论a/i r/zi/中的ax和4 7取什么样的数值，均不会出现数值计算结果的不收敛问题，因而 是无条件稳立的。这样就使得我们能在满足一立精度的情况下尽可能地加大时i'可步长或空 间步长，亦可以在计算过程中随意改变步长，而不必担心会造成计算结果的不收敛。2控制体的边界节点方程在数值计算屮所研究的区域的边界条件是通过边界节点的节点方程來反映的，因而边 界节点的差分方程的建立十分重要。这里同样采用边界节点的控制体热平衡來确立边界节 点的差分方程。卜面将具体讨论一些典型的边界节点的节点方程。对

13、流换热边界条件下的节点方程。如图4-3所示的边界节点p,其控制体的热平衡关 系式为qw + qs + qn + qv +qc = ae ,4-5式屮各项可以写成：t k t k图43对流换热边界节点示意图ax5ay 2q严芒卩知ay 2qv = qv 4y 1; ec=a(7-7/)arl;se = pct' arl(显示格式)；ar 2e = pcttayk隐示格式)。ar 2将上述关系式一并代入4-5式屮，经整理可得出在二维非稳态导热过程屮处于平宜边界上的边界节点在对流换热边界条件下的节点差分方程（当力"”）,即:对于显示差分格式冇芈曲+吋+砒）+2字晳肴八a aat小+

14、(r2ax ar2 ay2qm（2t： +tf +t加46t：= .,.aav o ax ar 心 对于隐示差分格式有x7+anx ct k k /丁 tv®a ax4-7分析公式4-6,可以得到其稳定性判据为也擎5',不难看出条件要比内ar 4+2节点的情形更加苛刻一些。衡关系式为qe + qs + © + 0 二 ae*， 式中各项可写成：t k t k0=2 e ； p 纽，1；ax'止吗；绝热边界条件下的边界节点方程。如图4-4所示的绝热边界节点p,其控制体的热平n|qn 匸qe1eaysiiaxv图44热绝缘边界节点示意图g八2刃4-8ay 2心叮

15、养ay 2axqv = qv har 2"e = pc" ”仝 01（隐示格式）。e = pct t'显示格式）；ar 2将上述关系式代入4-8式屮，可以整理得到绝热边界条件下的节点方程（当 x=ay）, w：对于显示差分格式有7/+】=空（27/ + 7/ +加）+（1 _ 4 空）帶+弘ajtax4-9对于隐示差分格式有ax24-10对于其它边界节点也可以釆用上述的控制体热平衡的办法建立对应的节点差分方程 式。从以上的节点方程中可以发现两个特别的系数项，即必"心2和必工/2,它们分别是控制 体（元体）的傅立叶数和毕欧数，其物理意义是前者衣征控制体的导热

16、性能与热储蓄性能 的对比关系，反映控制体温度随时间变化的动态特性；而后者则体现控制体和环境间的换 热性能与其导热性能的对比关系。另外，还要一个常数项以r/（0）,它则反映了内热源产生 的热流引起的节点温度升高值。下面我们归纳性地给出二维非稳态导热问题的两种差分格式的节点方程式，见农4-10 表4t 一维非稳态导热节点差分方程（式中fo=a t/ax, bi=ci ax/a）节点内型差分方程（稳定性条件内节点 | 1q+ i-l，|2e"显示耳分格式t,.r=fo m+tl+t爲+tjm)十(l4fo) tjfowl/4隐示力分格式t山fo (tb,j+t,j+th+tdg + tj-

17、!/ (1+4fo)无条件平直自i，j色热边界节点显示并分格式tjjfo (2t j+t, j+t jj + (l-4fo) t,./fowl/4hii-li|$g隐示羞分格式t/二fo(21：j+t：宀+td+ t/j/ (l+4fo)无条件平直乂寸流边界节点显示耳分格式tt.r=fo (2八1+於,1+卅沖)+2fobit+ (l-2fobi-4fo) t,/fow l/2(2+bi)i-l，j叫0r隐示湼分格式t.- f=i'o (2tl e j.,+t j) + 2fobit+ td'1/ (l+2fobi+4fo)无条件平直车厶射边i+ld界节点too£ s

18、显示耳分格式t. ffl=fo (2t：. j+tj-,十 1 j) + (1 41'o) t., f-2£ s (tj) (t门/(p c 4 x)1 一 4fo -2b莎兀、0 pchi-l，j也i-u t隐示差分格式t,j (l-4fo) + 2o°£s(tj)/(p cax)=fo (27w+ts + tf+ 2o0es (tj)v(p cax)无条件4-4节点方程的求解由上面的讨论可以看出，对应于离散温度场的每一个节点均可以列出相应的差分方程, 这样就可以得出与节点数h相同的一组代数方程组。当联立求解这个代数方程组时，最后 就可以得出每一个节点的

19、温度值。一般情况下，差分方程组是线性代数方程组，而线性代 数方程组是可以用直接法和迭代法求解的。常用的直接法有高斯消元法、列主元素消去法 和矩阵求逆法，而迭代法常用的有高斯一赛徳尔迭代和超（欠）松弛迭代。下面我们仅介 绍迭代法求解代数方程组的过程，并在例题中加以应用。今有一线性代数方程组：6?11tj + %°乙 + a + cijtj + a + 卑=b、+ °22八 +a 十 jtj +a + antn = b?aaaaaaaaaaaaaaaaaaaij + ai2t2 +a + aijtj +a + aintn = biaaaaaaaaaaaaaaaaaaanjx +

20、 an2t2 +人 + njtj +人 += bn迭代求解该方程组的思路为，寻找一个山 g t2,tq组成的列向量，使其收 敛于某一个极限向量（门：t2：,t/）但该极限向量就是该方程的精确解。当这个线性代数方程组的系数项$¥0 （i二1,2,，小时，可将其改写成迭代形式， 有：t =（勺-佝2丁2-如丁3 -a 7jtj -卜-axntn）/ant2 = （b2a23t3 a -。2刀-a -。2几）/如aaaaaaaaaaaaaaaaaati = air ai2t2 - a aijtj a ai,tnv aiiaaaaaaaaaaaaaaaaaatn = （bn anj an2t

21、2 - 人一。点人 - _£_1 ） / %以上各式可以用一个通用的形式来表示：ti = （bi - £。討川5 i=l,2,小利用上式就可以进行迭代求解了，其步骤是，合理选择（假设）各节点的初始温度， 将其作为第零次迭代的近似温度值，记为7；（i=l,2,-n）;将乃代入上式的右端，得到第 一次迭代的近似值7；"丿；之后将7；"'再代入上式的右端，则得出第二次的近似值7；如此反复进行下去，直至进行到k次，使相邻的两次近似解卩严和乃代 gw,/丿之间的偏差 小于预先设定的小量占时，即满足/t!k+,)-t!k) /a=i,2,n)或/ cr!k+

22、h-tik)/t1k)/ w e (i=l,2,肋。此时各节点的温度值g,寸),.几®已经冇足够的精度用来表示代 数方程组的解，从而可以结束方程求解的迭代过程。从上述的迭代过程不难发现，当我们用第零次迭代值去进行第一次迭代时，乃的值已 经不断地产生出来，当计算7；时，到m的7；"丿已经求出。如果此时在计算几"咐涉及到 的ti() (i=l,2f,门丿全部用已求出的t)(i=i,2,，门丿代替，这势必会加快迭代收敛的速度。 这种改进后的迭代方法被称z为高斯一赛德尔迭代法。高斯一赛德尔迭代法的方程组迭代 形式为：t尸' =(b厂丈叩广-亍叩/w，2,，“。归纳

23、起來，高斯一赛德尔迭代法的求解步骤町表述为，将代数方程组写成迭代形式； 设初始值经迭代得出节点新值；有新值则去掉旧值，不断以新换旧，且在迭代过程中应用； 在迭代获得满足给定精度的节点温度值后结束方程纽的迭代。4-5导热问题数值求解举例为了使读者对导热问题的数值求解过程冇一个完整的认识，下陶将以无限大平板对称 加热的非稳态导热过程为例，阐明显示差分格式和隐示差分格式的计算求解过程。冇一厚度为0.12m的无限大平板，初始温 度为20°c,两侧表面同时受到温度为150°c的 流体加热，流体与平板表wiz间的对流换热系 数为24w/ (m2 -c ),平板材料的导热系数为 0. 2

24、4w/ (m °c )，而热扩散系数为0. 147 x 10v/so试计算平板温度分布随时间的变化。由于大平板是对称受热，利用温度场的对 称性可以只对平板的一半进行数值计算。于是 就可以给出该导热问题的边界条件为一-侧是 平板与环境迹行対流换热的第三类边界条件， 另一侧(即对称中心面)是处于绝热状态的第 二类边界条件。下面我们分别用显示差分格式 和隐示差分格式对其进行数值分析求解。1显示差分格式求解过程介绍图45大平板非稳态导热数值解区域离散化 示意图针对该问题可从表4-1中简化出中心节点 和边界节点的差分方程，即内节点方程：丁严=fog +硝)+ (1-2丽)7/绝热边界节点方程：

25、=2fot； + (1 - 2fo)“对流边界节点方程：t黑=2fotf + (丄- bi - 1)昭+ bitf 2fo相应的稳定性条件在目前情况卜有两个，一个是内节点和绝热边界节点应满足的fo=a a t /ax21/2； 一个是对流边界节点应满足的f0w(2+bi)。在这两个条件中后一个要求要苛 刻一些，故只需满足后一个稳定性条件即可。rh稳定性条件可见，空间步长和时间步 长4 r是相互关联的，当选定你z后4 丁也随z被确定下来。在此我们选取心=0.006m, 从稳定性条件计算出4 v76.3s,计算中选取4 r=50so计算程序的框图如图4-6所示，而程序中的变量标识符则说明于表4-2

26、中。输入入ji k, a, dt, tp t to n mdx=l/n,bio=hdx/kfo=adt/dx2t(ij)=t0c> do 20 j=2,m+1计算t(1j)中心节点计算t(ijj)内节点(2wijwn 计算t(n+1j)边界节点aa=float(m)*i continue图4-6显示差分格式计算机程序框图表4-2计算机程序中的标识符（含显示和隐示差分格式用到的变量和常数）a平板材料的导温系数k平板材料的导热系数ab(1,j)节点温度中间变最i表示空间的下标变量aa计算的累计时间ij表示空间的下标变量bio网格毕欧数j表示时间的下标变量bi中间变量l平板厚度的一半b2中间变

27、量m计算的时间间隔数目dt时间步长n计算的空间间隔数目dx空间步长t(i,j)节点温度变量i'o网格傅立叶数tf坏境流体温度h对流换热系数to平板初始温度计算机程序采用fortran语言编写，详细清单如下:real k, i.dimension t(50, 50)read (*, *) h, k, a, dt, tf, l, to, n, mdx=l/float (n)bio=(h*dx)/kfo二(a*dt)/(dx*2)if(fo. gt. (1. 0/(2. 0+2. 0*bi0) goto 60do 10 1=1, n+l10 t(t, l)=t0do 20 j=2, m+lt

28、(l, j)=2. 0*fo*t(2, j-l) + (1.0-2. 0*f0)*t(1, j-1)do 30 ij=2,nt(1j, j)=fo*(t(1j-1, j-1)+t(1j+1, j-1)30 t(tj, j)=t(tj, j) + (l. 0-2. o*fo)*t(tj, j-1)t(n+1, j) =2. 0*f0* (t (n, j-1)+tf*bio)t (n+l, j) =t (n+l, j) + (1. 0-2. 0*fo-2 9*fo*bio*t (n+l, j-1)ab-float(j-1)*dtwrite (*,40) ab40 format(f9. 2)writ

29、e(*, 50 (t(ii, j),ii=1,n+1)50format(11f7. 2)20c0nttnl1e60stopend利用以上程序经过49次运算，即计算到非稳态导热过程进行2400s后的结果，将英显示于 表4-3 +表中x为平板的坐标位置，x二0为对称中心平面，x二0.06m为平板的外表面。从表 中可见经过2400s后，温度为150°c的流体仍然在向平板加热。进一步的计算表明，平板 被均匀加热到150°c的时间大约到96000s (26. 7h),共需计算1920次。表4-3算例迹行了 49次迭代后所得的结果xm0.00.0060.0120.0180.0240.0

30、300.0360.0420.0480.0560.06t°c23.0223.5825.252&3433.1740.1649.6962.0577.2995.21115.312隐示差分格式计算机程序的编制从表41中同样可以简化出该算例的隐示差分格式的内节点及边界节点的差分方程式 如下：tik=fo(ti+fk+ti.k)-ti.1k'lj/(j+2fo)(内节点)；tik=2fot2k+tk-,)/(1+2fo)(对称中心边界节点)；tn+ik=(2fotnk+2fobit+tn+lki)/(l+2fobi+2fo)(对流换热边界节点)。由于隐示差分格式是无条件稳定的，故在

31、编制程序时不必设立稳定性判别语句，但确 要联立求解所有的节点方程组。这里我们采用高斯一赛徳尔迭代法，程序用for77mn语 言编写。程序中的eps是精度控制的允许误差，计算中取为().01。若时间步长也取4 丁 = 5os,计算到2000s时可以得到与表43所示的相近似的结果;若取4 r=2000s,只需计 算48次即可接近平板被均匀加热到150°c的稳立工况。当然随着力厂的增大，计算结果的 谋差也会相应增人。计算程序框图如图4-7所示。图4-7隐示差分格式计算机程用框图按上面的框图编写的计算机程序如下:real k,ldimension t(50,50), ab(50,50)rea

32、d(*, *) h,k,a,dt,df,l,to,eps,n,mdx=l/float(n)bio=(h*dx)/kfo=(a*dt)/dx*2b1=1.0+2.0*fob2=l .0+2.0*fo+2.0*fo*biodo 10i=l,n+l10t(i,l)=t0do 20 j=2,m+1do 3()ij=1,n+1t(ij,j)=to30 ab(ij,j)=to35t(1 j)=(t(1 ,j-1 +2.0*fo*t(2,j)/b 1do 40 ik=2,n40t(ik,j)=(t(n+1 ,j-1)+fo*(t(ik+1 ,j)+t(ik-1 ,j)/b 1t(n+1 ,j)=(t(n+1

33、 ,j-1 )+2.0*fo*bio*tf+2.0*fo*t(n,j)/b2 do 50 ii=1,n+1if(abs(t( 11,j)-ab( 11 j) gt eps) goto 6550 continuegoto 7565 do 70 im=1.n=170 ab(im,j)=t(im,j)goto 3575 aa=float(j-1)*dtwrite(*,80)80 format(f9.2)wr1te(*,9o) (t(il,j),il=1,n+1)90 format(11f7.2)20 continue60 stopend思考题1 试简要说明对导热问题进行冇限差分数值计算的基本思想与步

34、骤。2 试说明用节点控制体热平街法建立节点温度差分方程的基本思想。3推导导热微分方程的步骤和过程与用热平衡法建立节点温度离散的差分方程的过程十分相似，什么前者 得到的是温度场的粘确描写，而由后者解出的却是温度场的近似分布。4 第三类边界条件的边界节点也可以采用将第三类边界条件表达式中的一阶导数用差分公式表示来建立 其节点差分方程。试比较这样建立起来的差分方程与川热平衡法建立起来的差分方程的异同与优劣。5什么是显式格式，而什么是隐示差分格式？为什么显式格式在计算屮存在稳定性问题而隐示茅分格式却 不存在？6 用高斯赛德尔迭代法求解代数方程组时是否-淀可以得到收敛的解?在不能得出收敛的解时是否是因为

35、 初场的假设不合适造成的？习 题一般性数值计算4-1试用数值计算证实，对方程组x1 + 2x2 一 2x3 = 1 xi + x2 + x3 = 32x + 2 工2 + 工3 = 5用高斯赛徳尔迭代法求解，其结果是发散的，并分析其原因。42试对附图所示的常物性、无内热源的三维稳态导热问题用高斯赛德尔迭代法计算切s 值。习题43附图习题42附图4-3试对附图所示的等截而直肋的稳态导热问题，用数值方法求解节点2、3的温隊 图中g85°c、沪25 c、/,=30w/(m2 - k)o 肋高 h=4cm,纵剖面面积 at=4cm2,导热系数人=20w/(mk)。离散方程建立4-4试将直角坐

36、标中的常物性、无内热源的三维非稳态导热微分方程化为显式差分格式，并指出其稳定性 条件(4-5极坐标中常物性、无内热源的非稳态导热方程为试利用木题附图中的符号列出节点©力的差分方程式。4-6 金属短圆柱在炉内受热后被竖直地移習到空气中冷却，底而可认为是绝热的。为用数值法确处冷却 过程中柱体温度的变化，取屮心角为lmd的区域來研究(如木题附图所示)。已知柱体表面发射率j自然 对流表面传热系数从环境温度5 金属的热扩散率试列出图中节点(1,1)、(m)、(m, n)r(m,n)的 离散方程式。在厂及z方向上网格是各自均分的。习题45附图 极坐标中的网格习题46附图4-7 一个三维物体的竖直

37、表面受液体自然对流冷却,为考虑局部表面传热系数的影响,表面传热系数采用 h=c（mf严來表示。试列出附图所示的稳态、无内热源物体边界节点（m/）的温度方私 并对如何求解这一 方程组提出你的看法。设网格均分。49在附图所示的冇内热源的三维导热区域屮，一个界面绝热，一个界面等温（包括节点4）,其余两个界而 与温度为"的流体对流换热,h均匀，内热源强度为升。试列出节点1、2、5、6、9、10的离散方程式。习h4-7附图ar ay习题4-8*图一维稳态导热计算4-9 一等截面直肋，高h,厚讥肋根温度为g流体温度为巧表而传热系数为九肋片导热系数为o将它 均分成4个节点（见附图），并对肋端为绝热

38、及为对流边界条件（h同侧面）的两种情况列出节点2、3、4的离 散方程式。设 h=45mm, =10mm, /u50w/（m2 k）久=50w/（m k）尸loocj尸20°c,计算节点 2、3、4 的温度（对于肋端的两种边界条件）。:习题49附图4-10复合材料在航空航天及化丁等t业中11益得到广泛的应用。附图所示为双层関筒壁，假设层间接触紧密，无接触热阻存在。 已矢ii r；=12.5mm ,厂?=16mm , r?=18mm, 久 /=40w/(m k), a 2=120w/(m k), =150oc,hl=1000w/(m2 k), r/2=60 °c,h2=380w

39、/(m2 k)。试用数值方法确定稳态时双层圆筒壁截面上“j温 度分布。一维非稳态导热计算4-11 一直径为lcm、长4cm的钢制圆柱形肋片,初始温度为25°c。其 后，肋基温度突然升高到200°c,同时温度为25°c的气流横向掠过该肋 片，肋片的端部及侧血的表血传热系数均为100w/(m2 - k)o试将该肋片 等分成两段(见附图)，并用有限差分法的显式差分格式讣算从开始加热 时刻起相邻4个时刻上的温度分布(以稳定性条件所允许的时间间隔为 计算依据)。已知久=43w/(mk), a=1.333xl0 5m2/s.(提示:节点4的离 散方程可按端而的对流散热与从节点

40、3到节点4的导热和平衡这一条件 列出。)4-12 一厚为2.54cm的钢板，初始温度为650c,后置于水中淬火, 其表面温度突然下降为935°c并保持不变。试用数值方法计算中 心温度下降到450°c所需的时间。已知。a=1.16xl0-5m2/so建议将 平板8等分，取9个节点，并把数值计算的结果与按海斯勒图计 算的结杲作比较。习题410附图习题4j1附图4-13 一火箭燃烧器,壳体内径为400mm,厚10mm,壳体内壁上 涂了一层厚2mm的包覆层。火箭发动时，推进剂燃烧生成的温度 为3000°c的烟气，经燃烧器端部的喷筲喷往人气。人气温度为30 °c。设包覆层内壁与燃气间的表而传热系数为2500w/(m2 - k), 外壳表面与人气间的表面传热系数为350w/(m2 - k),外壳材料的 最高允许温度为1500°c。试川数值法确定:为使外壳免受损坏，燃 烧过程应在多长时间内完成。包覆材料的a=0.3w/(m k)/=2xl0 7m2/s;外壳的 a=10w/(m k)=5xl0'6m2/so4-14锅炉汽包从冷态开始启动时，汽包壁温度随时间而变化。为控制热应力，需要计算汽包壁内的温度场。试用数值方法计算:当汽包